资源描述
黔东南州2016年高考模拟考试试卷数学(理科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1. 已知集合，则集合=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合，集合，故选D.2. 若复数则的共轭复数对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】由，其对应的点的坐标为，故复数对应的点所在的象限为第二象限，故选B.3. 某几何体三视图如右图所示，图中三个等腰直角三角形的直角边长都是，该几何体的体积为 ( )A. B. C. 4 D. 163【答案】A【解析】试题分析：该几何体是底面是等腰直角三角形的三棱锥，顶点在底面的射影是底面直角顶点，所以几何体的体积是考点：三视图4. 下列命题中正确的是（ ）A. cos0是2k+2kZ的充分必要条件B. 函数fx=3lnx的零点是1,0和1,0C. 设随机变量服从正态分布N0,1,若P1=p，则P=11=p，则P（01）=12p，即P（11，则(x2)2+y2的最小值为（ ）A. 322 B. 5 C. D. 5【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，(x2)2+y2表示可行域内的点到点距离的平方，很显然，点B（0，1）到（2，0）的距离最小，最小值是，故选D考点：线性规划8. 在平行四边形ABCD中，ACCB=0,AC=2,BC=1,若将其沿AC折成直二面角DACB,则AC与BD所成的角的余弦值为（ ）A. B. 22 C. 32 D. 33【答案】B【解析】ACCB=0，AC=2,BC=1，如图ACCB，AC=CD=3，过点A作AECD，在RtCAD和RtAEC，sinACD=ADCD=13=AEAC，则AE=63，CE=233，在空间四边形中，直二面角D-AC-B，BCAC，BCCD，BC平面ACD，以C点为原点，以CD为y轴，CB为x轴，过点C与EA平行的直线为x轴，建立空间直角坐标系，C（0，0，0），A63,233,0，B（0，0，1），D（0，3，0），CA=（63，233，0），BD=（0，3，1），|CA|=2，BD=2，CABD=2，设AC与BD所成的角为，则cos=CABDCABD=222=22，故选B.点睛：本题考查异面直线夹角求解，利用向量的方法，能降低了思维难度注意一般地异面直线所成角与两直线方向向量夹角相等或互补，余弦的绝对值相等；由ACCB=0得到ACCB，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量方法求出异面直线AC与BD所成角的余弦值.9. 过点(2,0)的直线l与圆x2y25相交于M、N两点，且线段MN=2，则直线l的斜率为()A. 3 B. 33 C. 1 D. 32【答案】C【解析】设直线的斜率为，则直线的方程为，圆的圆心，半径，圆心到直线：的距离，过点的直线与圆相交于、两点，且线段，由勾股定理得，即，解得，故选C.10. 设不等式组0x30y1表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ）A. 33+218 B. 36 C. 3+312 D. 4【答案】A【解析】试题分析：区域D的面积是3，做到原点的距离等于2的圆，圆与矩形的公共部分就是区域内到原点的距离小于2的点的集合，所以阴影面积=扇形EAF的面积+三角形ADE的面积=，所以概率就是，故选A考点：几何概型11. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点。若四边形为矩形，则的离心率是( )A. B. C. D. 62【答案】D【解析】设AF1=x，AF2=y，点A为椭圆C1：x24+y2=1上的点，2a=4，b=1，c=3；AF1+AF2=2a=4，即x+y=4；又四边形AF1BF2为矩形，AF12+AF22=F1F22，即x2+y2=（2c）2=(23)2=12，由得：x+y=4x2+y2=12，解得x=22，y=2+2，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=AF2AF1=yx=22，2n=2c=23，双曲线C2的离心率e=nm=32=62，故选D.12. 已知函数f(x)=xlnx+k，在区间1e,e上任取三个数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形，则k的取值范围是（ ）A. (1，+) B. (,1) C. (,e3) D. (e3，+)【答案】D【解析】试题分析：，函数在区间时，时，时，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以函数的最小值是，最大值是，端点值，因为在区间1e,e上任取三个数a,b,c均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，所以只需满足，即，解得，故选D考点：导数的应用【思路点睛】考察了导数的应用，属于中档题型，当考察导数的应用时，离不开求函数的导数，求极值点并确定函数的单调性，最后确定最值的问题，但如何满足在区间1e,e上任取三个数a,b,c均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，因为三角形的任两边之和要大于第三边，所以转化为区间上的最小值+最小值最大值，那么就满足了任两边和大于第三边，所以问题转化为求函数在区间的最大值与最小值，问题就迎刃而解了二、填空题（本大题共计4小题，每小题5分.）13. 已知向量OAAB，OA=3，则OAOB=_。【答案】9【解析】试题分析：因为OAAB，所以OAAB=0，所以OAOB=OA(OA+AB)=|OA|2+OAAB=32=9考点：1、向量垂直的充要条件；2、向量的加减运算14. 在(1x3)n(nN*)的展开式中，所有项的系数和为32，则的系数等于_。【答案】270【解析】解：因为令x=1,则有(2)n=32n=5，那么利用通项公式C5r(1x)5r(3)r，令x的次数为-1，则求解得到r=2,则其常数项为C53(3)3=27015. 已知函数f(x)=x,x0x24x,x0，若f(x)ax1恒成立，则实数a的取值范围是_。【答案】6,0【解析】由题意，f(x)ax-1恒成立，等价于y=ax-1始终在y=f(x)的下方，即直线夹在与y=x2-4x(x0)相切的直线和y=-1之间，所以转化为求切线斜率由y=x2-4xy=ax-1，可得x2-(4+a)x+1=0，令=(4+a)2-4=0，解得a=-6或a=-2，a=-6时，x=-1 成立；a=-2时，x=1不成立，实数a的取值范围是6，0，故答案为-6,0.16. 已知数列an满足a1=2,an+1=an2-nan+1，令bn=1anan+1 ，则数列bn的前n项和Sn=_。【答案】121n+2【解析】当n=1时，a2=a12a1+1=42+1=3，当n=2时，a3=a222a2+1=96+1=4，当n=3时，a4=a323a3+1=1612+1=5，当n=4时，a5=a424a4+1=2520+1=6，则由归纳法可知an=n+1，则bn=1anan+1=1n+1n+2=1n+11n+2，则数列bn的前n项和Sn=1213+1314+1n+11n+2=121n+2，故答案为12-1n+2.点睛：本题主要考查数列的求和计算，根据条件归纳出数列数列an的通项公式，利用裂项法是解决本题的关键；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于cn=an+bn，其中an和bn分别为特殊数列，裂项相消法类似于an=1nn+1，错位相减法类似于cn=anbn，其中an为等差数列，bn为等比数列等.三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知3cosAcosC+2=3sinAsinC+2cos2B.（I）求角B的大小；（II）若a+c=1，求b的取值范围.【答案】（I）3；（II）12b1.【解析】试题分析：（）由题意和三角函数公式化简可得cosB=12，可得B=3；（）由余弦定理和基本不等式可得14b2，再由三角形三边关系可得.试题解析：（I）由已知得2cos2B-3cosAcosC+3sinAsinC-2=0，即2cos2B-3cos(A+C)-2=0，即2cos2B+3cosB-2=0，解得cosB=12或cosB=-2（舍去），又因为0B，所以B=3（II）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB，因为a+c=1，cosB=12,所以b2=3(a-12)2+14，又因为0a1，所以14b21，即12b1.18. 为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，某学校抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在寒假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间2,4的有8人（I）求直方图中a的值及甲班学生平均每天学习时间在区间(10,12的人数；（II）从甲、乙两个班平均每天学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为k，求k的分布列和数学期望【答案】（I）3；（II）127.【解析】试题分析：（I）由直方图能求出a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12的人数；（II）由已知得的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.试题解析：（I） 由直方图知，(0.15+0.125+0.1+0.0875+a)2=1，解得a=0.0375，因为甲班学习时间在区间2,4的有8人，所以甲班的学生人数为80.2=40，所以甲、乙两班人数均为40人所以甲班学习时间在区间(10,12的人数为400.0375=3（人）（II）乙班学习时间在区间(10,12的人数为400.052=4（人）由知甲班学习时间在区间(10,12的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，k的所有可能取值为0，1，2，3P(k=0)=C30C44C74=135，P(k=1)=C31C43C74=1235，P(k=2)=C32C42C74=1835，P(k=3)=C33C41C74=435所以随机变量k的分布列为：k0123P13512351835435Ek=0135+11235+21835+3435=127 19. 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ADC=60，面PCD 面ABCD，PC=PD=CD=2,点M为线段PB上异于P、B的点.（I）当点M为PB的中点时，求证：PD/平面ACM；（II）当二面角BACM的余弦值为55时，试确定点M的位置.【答案】（I）见解析；（II）点M为线段PB的中点.【解析】试题分析：（）当点M为PB的中点时，根据线面平行的判定定理即可证明PD/平面ACM（）建立坐标系设出点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可.试题解析：（I）设AC、BD的交点为N，连结MN，因为M、N分别为BP、BD的中点，所以PD/MN，又MN平面ACM， 所以PD/平面ACM. （II）设CD的中点为O，因为PC=PD=CD=2，面PCD面ABCD所以PO面ABCD，又因为在菱形ABCD中，ADC=60所以OACD，分别以OA、OC、OP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(3,0,0),B(3,2,0)，C(0,1,0)，P(0,0,3)， 设BM=BP(01)， 则CM=CB+BM=CB+BP=(3-3,1-2,3),CA=(3,-1,0)， 设平面ACM的法向量为n=(x,y,z)由nCA=0nCM=0得3x-y=0(3-3)x+(1-2)y+3z=0令x=1，则n=(1,3,3-2) 又平面ABCD的法向量为OP=(0,0,3) 所以|cos|=|OPn|OP|n|=33-2313-42-123=55，=12或=1（舍去）， 所以点M为线段PB的中点.点睛：本题主要考查空间线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键，考查学生的运算和推理能力；通过线线平行证明线面平行主要的途径有：1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；平面的法向量所成的角与二面角之间相等或互补，主要是通过图形确定.20. 已知抛物线E:y2=2px(p0) 的准线与x轴交于点K，过K点作曲线C:x24x+3+y2=0的切线，切点M到x轴的距离为223,（I）求抛物线E的方程；（II）设A,B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且OAOB=94（其中O为坐标原点）（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；（ii）过点Q作AB的垂线与抛物线交G,D于两点，求四边形AGBD面积的最小值.【答案】（I）y2=4x；（II）（i）恒过定点Q(92,0)；（ii）88.【解析】试题分析：（I）求得的坐标，圆心坐标和半径，由切线的性质和相似三角形解出，从而得出，进而得到抛物线方程；（II）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点；（ii）运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值.试题解析：（I）由已知可得K(-p2,0)，圆C:(x-2)2+y2=1的圆心C(2,0)，半径为1，过M点作MRx轴，且与x轴垂直相交于点R，由题意可知MR=223,MC=1,KC=2+p2，则RC=13,而MKCRMC,则MCRC=KCMC,即113=2+p21，则p=2，抛物线E的方程为y2=4x. （II）（i）设直线AB:x=my+t(y0),A(y124,y1),B(y224,y2)，由x=my+ty2=4x可得y2-4my-4t=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-4t，又OAOB=94，即(y1y24)2+y1y2=94，解得y1y2=-18或y1y2=2（舍去），所以-4t=-18，解得t=92，则有AB恒过定点Q(92,0). （ii）由题意得m0，由（i）可得AB=1+m2y2-y1=1+m216m2+72，同理GD=1+1m216m2+72，则四边形AGBD面积S=12ABGD=121+m216m2+721+1m216m2+72 =42+(m2+1m2)85+18(m2+1m2)，令m2+1m2=(2)，则S=4182+121+170是关于的增函数，则当=2时，S取得最小值，且为88.即当且仅当m=1时，四边形AGBD面积的最小值为88. 21. 已知函数f(x)=a2+1alnx+1xx3(a1)（I）讨论函数f(x)在(0,1)上的单调区间；（II）当a3时，曲线y=f(x)上总存在相异两点P,Q,使得曲线y=f(x)在P,Q处的切线互相平行，求线段PQ中点横坐标的取值范围.【答案】（I）fx在0,1a上单调递减，在1a,1上单调递增；（II）35,+.【解析】试题分析：（）求出fx，当x（0，1）时，解不等式fx0，fx0，且x1x2），由此可得a+1a=x1+x2x1x24x1+x2，从而x1+x24a+1a，只要求出4a+1a在3，+）的最大值即可.试题解析：（I）函数fx的定义域为0,+ ，求导数得fx=a+1ax-1x2-1=-x2-a+1ax+1x2=-x-ax-1ax2 令fx=0解得x=a或x=1a，a1，01a1，当0x1a时fx0，当1ax0；故fx在0,1a上单调递减，在1a,1上单调递增.（II）由题得，当a3时，fx1=fx2 x1,x20且x1x2，即a+1ax1-1x12-1=a+1ax2-1x22-1，a+1a=1x1+1x2=x1+x2x1x2，x1,x20且x1x2x1x2x1+x222恒成立，1x1x20，a+1a=x1+x2x1x24x1+x2，整理得x1+x24a+1a，令ga=4a+1a=4aa2+1，则ga=41-a2a2+12，ga在3,+上单调递减，ga在3,+上的最大值为g3=65，x1+x265线段PQ中点横坐标的取值范围为35,+.请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。22. 选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（1）求证：BE=2AD；（2）当AC=3,EC=6时，求AD的长.【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：（I）连接DE，证明DBE，利用AB=AC，结合角平分线性质，即可证明=2D；（II）根据割线定理得BDBA=BEBC，从而可求AD的长试题解析：（）连接,因为是圆内接四边形，所以又,即有又因为，可得因为是的平分线，所以,从而（）由条件知，设，则，根据割线定理得,即即，解得或（舍去），则AD=32考点：与圆有关的性质的应用23. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C:9x2+4y2=36，直线l:x=2+2tsin56y=2+4tcos23（a3+b3为参数）（I）写出曲线a,b的参数方程，直线2a+3b=6的普通方程；（II）过曲线C上任意一点P作与夹角为300的直线，交于点A，求PA的最大值与最小值.【答案】（）2x+y6=0；（）见解析.【解析】试题分析：（I）曲线C:9x2+4y2=36，化为y29+x24=1，利用cos2+sin2=1可得参数方程直线即x=2+ty=22t，即可化为普通方程；（）点P2cos,3sin到的距离为d=554cos+3sin-6，利用PA=dsin30=2555sin+-6，即可得出.试题解析：（）曲线C的参数方程为x=2cosy=3sin（为参数）直线的普通方程为2x+y-6=0（）曲线C上任意一点P2cos,3sin到的距离为d=554cos+3sin-6 则PA=dsin30=2555sin+-6，其中为锐角，且tan=43 当sin(+)=-1时，PA取得最大值，最大值为2255 当sin(+)=1时，PA取得最小值，最小值为255.24. 选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x1|+2,g(x)=|x+2|+3.（I）解不等式：；（II）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：()根据公式解含绝对值不等式，即；（）第一步，先化简函数，得到，对应恒成立问题，转化为试题解析：()由得，解得所以不等式的解集是（）设则所以所以对应任意，不等式恒成立，得，得所以最后的取值范围是考点：1解含绝对值不等式；2零点分段法；3含绝对值不等式的最值问题
展开阅读全文