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3.3.2 简单的线性规划问题 1简单线性规划的有关概念（1）约束条件：由变量x，y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的约束条件例如，就是一个关于x，y的约束条件（2）线性约束条件：约束条件中都是关于变量x，y的一次不等式(或一次方程)，这样的不等式组称为x，y的线性约束条件例如，就是一个关于x，y的线性约束条件（3）目标函数：把要求最大值或最小值的函数称为目标函数例如，已知x，y满足约束条件，分别确定x，y的值，使取得最小值，取得最大值，其中和均为目标函数（4）线性目标函数：目标函数是关于变量x，y的一次解析式的称为线性目标函数例如，上述例子中是线性目标函数，而不是线性目标函数（5）线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题（6）可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解（7）可行域：由所有_组成的集合叫做可行域（8）最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解注：（1）约束条件也可以是方程，线性约束条件也可以是二元一次不等式与二元一次方程的组合，而一般意义上的约束条件可以是多样化的不等式或者方程形式的组合；（2）可行解必须使线性约束条件成立，而可行域是所有可行解构成的平面区域2简单线性规划问题的解法（1）目标函数zaxby(b0)的几何意义将目标函数zaxby变形为的形式，它表示斜率为，在y轴上的截距为，并随z变化的一组平行直线把直线axby0向上平移时，在y轴上的截距逐渐增大，当b0时，z的值随之_；当b0时，z的值随之_把直线axby0向下平移时，在y轴上的截距逐渐减小，当b0时，z的值随之_；当b0时，z的值随之_（2）线性规划问题的求解方法图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即： 画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线axby0(目标函数为zaxby)； 移：平行移动直线axby0，确定使zaxby取得最大值或最小值的点；求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；答：给出正确答案K知识参考答案：1可行解 2增大 减小 减小 增大 K重点相关概念的理解：（线性）约束条件、（线性）目标函数、可行域、最优解K难点简单线性规划问题的实际应用、寻找最优整数解K易错作图不准确导致错误简单线性规划的有关概念问题（1）在线性规划中，下列命题正确的是A最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值B最优解指的是目标函数的最大值或最小值C最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解（2）目标函数zxy，将其看作直线方程时，z的意义是A该直线的截距B该直线的纵截距C该直线的横截距D该直线纵截距的相反数【答案】（1）D ；（2）D【解析】（1）最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解，即满足线性约束条件的解(x，y)，它是一个有序实数对，ABC错误，D正确 （2）目标函数可化为yxz，从而z的意义是该直线纵截距的相反数【名师点睛】熟练掌握相关概念是解决此类问题的关键，注意区分可行域、可行解与最优解求线性目标函数的最值求线性目标函数最值的两种方法：（1）平移直线作出可行域，正确理解z的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移直线得到最优解（2）顶点代入法依约束条件画出可行域，解方程组得出可行域各顶点的坐标，分别计算出各顶点处目标函数zaxby的值，经比较后得出z的最大（小）值对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的顶点处取得，在求解此类问题时可由此快速找到最大值点或最小值点（1）若变量x，y满足约束条件，则z3x2y的最小值为_；（2）若x，y满足约束条件，则z3xy的最大值为_；（3）如图1，及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z2x3y的最大值为_ 图1图2图3【答案】（1）；（2）4；（3）7【解析】（1）作出可行域，如图2中阴影部分所示，当直线经过点A时z取得最小值由解得，此时，zmin312（2）作出不等式组表示的可行域，如图3中阴影部分所示，作直线l0：3xy0，平移直线l0，当直线3xyz过点(1，1)时，zmax314 【名师点睛】（1）目标函数本质是函数的解析式zf(x，y)，线性目标函数即关于x，y的线性组合；（2）线性规划的最优解的个数不确定，只有一组(x，y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个，如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值；同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个，如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线重合时，会有多个最优解；可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解线性规划在实际问题中的应用（1）线性规划的实际问题的类型：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小常见问题有：物资调运问题：例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小?产品安排问题：例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A，B，C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大?下料问题：例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小?（2）解答线性规划实际应用题的步骤：模型建立正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法；模型求解画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解；模型应用将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案甲、乙两厂生产某种产品，它们可调运的数量分别是300吨、750吨，A、B、C三地需要该产品的数量分别是200吨、450吨、400吨甲厂运往三地的费用分别是6元/吨、3元/吨、5元/吨；乙厂运往三地的费用分别是5元/吨、9元/吨、6元/吨则怎样调运可使总费用最少？【答案】甲厂的产品全运往B地，乙厂运往A、B、C三地的产品分别是200吨、150吨、400吨时，总费用最少，为5650元【解析】设甲厂运往A、B、C三地的产量分别是x吨、y吨、(300xy)吨，则乙厂运往A、B、C三地的产品分别是(200x)吨、(450y)吨、(100xy)吨，设总费用为z元用表格理清关系如下：A地B地C地可调运数量单价运量单价运量单价运量甲厂6x3y5300xy300乙厂5200x9450y6100xy750需求量2004504001050依题意可得，即，目标函数z6x3y5(300xy)5(200x)9(450y)6(100xy)2x5y7150作出可行域，如图中阴影部分所示， 作直线2x5y0，并上下平移，由图知，当2x5yz7150过点(0，300)时，目标函数取得最小值，zmin5650故甲厂的产品全运往B地，乙厂运往A、B、C三地的产品分别是200吨、150吨、400吨时，总费用最少，为5650元【名师点睛】（1）在线性规划的应用问题中，题中的条件较多，应认真审题，仔细判断线性约束条件中有无等号，判断未知数x，y是否有限制（如x，y为正整数、非负数等），分清线性约束条件和线性目标函数（线性约束条件一般是不等式组，而目标函数是一个等式）；（2）图形对解决线性规划问题至关重要，最关键的步骤是通过数形结合完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范（作图中必然会有误差，假如图上的最优解并不明显易辨时，需将几个有可能是最优解的坐标都求出来，然后逐一检验，以确定最优解）线性规划中的整数解问题已知x，y满足不等式组，求使4x3y取得最大值的整数x，y【答案】使4x3y取得最大值的整数，或， 设4x3yz(z)，则z4337，取z37，由4x3y37，得x，代入约束条件解得y9， 所以取y9，而此时x非整数，故不成立再取z36，即4x3y36，得x，代入约束条件得y12，取y7，8，9，10，11，12，分别代入x，可知当x3，y8；x0，y12时为整数解，经验算得，最优整数解为(3，8)，(0，12)【名师点睛】对于线性规划中最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数时，可用下面的方法求解：（1）平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解；（2）检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解；（3）调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优解非线性目标函数的最值问题（1）形如型的目标函数这是一个两点间的距离的模型，也可视为圆的模型，可化归为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的最值问题常见的类似形式有或等已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为_【答案】【解析】将目标函数化为，原问题等价于求可行域内的点(x，y)与点(2，0)距离的平方的最小值，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由图易得点(2，0)到直线的距离的平方即为所求，zmin【名师点睛】此模型借助于两点间的距离公式，利用数形结合思想巧妙求得最值，比较简捷（2）形如型的目标函数这是一个斜率模型，可先变形为，将问题化归为求可行域内的点(x，y)与点(，)连线的斜率的倍的范围或最值等问题常见的类似形式有或等已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是A2 B2C1 D1【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示， 的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点A(0，1)所在直线的斜率，由图象可知当P位于点D(1，0)时，直线AP的斜率最小，此时的最小值为，故选D【名师点睛】斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的因此有必要总结常见模型或其变形形式（3）形如型的目标函数这是一个点到直线的距离模型，可先变形为，将问题化归为求可行域内的点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍的最值问题实数x，y满足不等式组，则z|x2y4|的最大值为_【答案】21【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示 z|x2y4|，其几何含义为可行域内的点到直线x2y40的距离的倍由得点B的坐标为(7，9)，显然点B到直线x2y40的距离最大，此时zmax21【名师点睛】认真体会数形结合思想以及目标函数的特征不难发现，无论可行域是线性条件表示的区域，还是非线性条件表示的区域，还是目标函数形式特别，其本质都是在研究二元函数的最值问题，其求解的方法都是数形结合思想线性规划中的参数问题（1）已知a0，x，y满足约束条件，若z2xy的最小值为1，则aABC1D2（2）若变量x，y满足约束条件，且z2xy的最小值为6，则k_；（3）已知变量x，y满足约束条件，且有无穷多个点(x，y)使目标函数zxmy取得最小值，则m_【答案】（1）B；（2）2；（3）1 （3）作出线性约束条件表示的平面区域，如图3中阴影部分所示， 若m0，则zx，目标函数zxmy取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若m0，目标函数zxmy可看作动直线，若m0，则0，数形结合可知使zxmy取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m0，则0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数zxmy取得最小值，即1，则m1 图1 图2图3【名师点睛】（1）对于含有参数的线性规划问题，无论参数是在约束条件中还是在目标函数中，解题的关键是从参数的几何意义入手，数形结合进行求解；（2）最优解不唯一或者有无穷多个，即目标函数所对应的直线与约束条件中二元一次不等式所表示的边界直线重合 1若变量x，y满足约束条件，则目标函数zx2y的最大值为A9B0C9D152已知满足，则的最小值是A1B2C5D3已知、满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是ABCD4在中，三个顶点分别为A(2，4)，B(1，2)，C(1，0)，点P(x，y)在的内部及其边界上运动，则yx的取值范围为A1，3B3，1C1，3D3，15已知变量满足约束条件则的最小值是A1BCD06设，其中实数满足，若的最大值为6，则的最小值为ABCD07已知实数满足且数列为等差数列，则实数的最大值是_8已知实数满足则的最小值为_9已知x，y满足条件，求：（1）4x3y的最大值；（2）x2+y2的最大值；（3）的最小值10制订投资计划时，不仅要考虑可能要获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 11已知实数x，y满足，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于A7 B5C4 D312若满足条件，当且仅当时，取得最大值，则实数的取值范围是ABCD13已知满足约束条件，则的取值范围是ABCD14若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是ABCD15设、满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为ABCD16已知实数，且点在不等式组表示的平面区域内，则的取值范围为_，的取值范围为_17已知，则的最小值为_18若目标函数zxy在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是_19已知x，y满足约束条件，若zaxy的最大值为4，则a_20某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下表所示的数据(以班级为单位)：学段硬件建设(万元)配备教师数教师年薪(万元)初中26/班2/班2/人高中54/班3/班2/人因生源和环境等因素，全校总班级至少20个班，至多30个班（1）请用数学关系式表示上述的限制条件；(设开设初中班x个，高中班y个)（2）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？ 21（2018天津文理）设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为ABCD22（2018新课标全国文）若变量，满足约束条件，则的最大值为_23（2018浙江）若，满足约束条件，则的最小值是_，最大值是_24（2018北京文理）若，满足，则的最小值是_25（2018新课标全国理）若，满足约束条件，则的最大值为_26（2018新课标全国文理）若，满足约束条件，则的最大值为_27（2017新课标全国II文理）设，满足约束条件，则的最小值是ABCD28（2017天津理）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为AB1CD329（2017北京文理）若满足，则的最大值为A1B3C5D930（2017浙江）若，满足约束条件，则的取值范围是A0，6B0，4C6，D4，31（2017新课标全国I文）设x，y满足约束条件，则的最大值为A0B1C2D332（2017新课标全国III文）设x，y满足约束条件，则的取值范围是A3,0B3,2C0,2D0,333（2017新课标全国III理）若，满足约束条件，则的最小值为_34（2017新课标全国I理）设x，y满足约束条件，则的最小值为_35（2016新课标全国III理）若x，y满足约束条件，则的最大值为_36（2016新课标全国I文）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元 1【答案】D【解析】不等式组对应的区域为直线所夹的区域，区域顶点为，将其代入目标函数得的最大值为15故选D2【答案】D【解析】作出可行域如下图中阴影部分所示，由，解得，代入，就可以求得的最小值为故选D 4【答案】C【解析】先画出三角形区域（如下图），然后转化为线性规划问题，求线性目标函数zyx的取值范围由图易知当yxz过点C时，z取得最小值为011；当yxz过点B时，z取得最大值为2(1)3故yx的取值范围是1，3，故选C 5【答案】C【解析】不等式组对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，可看作点连线的斜率，结合图形可知当点位于直线的交点时取得最小值故选C 7【答案】【解析】因为数列为等差数列，所以，即目标函数为，画出可行域如图所示，由图可知，当直线过点时取到最大值，最大值为 8【答案】4【解析】画出约束条件表示的可行域，如下图中阴影部分所示，令，则目标函数可以看作可行域内点与定点连线的斜率观察图象可知当定点与点A连线时斜率最小，由解得则，此时目标函数取得最小值，所以的最小值为4 9【答案】（1）最大值为13；（2）最大值为37；（3）最小值为9 （2）x2+y2的最大值表示为区域内与原点距离平方的最大值，因此点（1，6）满足题意，最大值为37（3）表示的为区域内的点与（5，8）连线的斜率，可知过点（4，1）取得最小值为910【答案】投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大【解析】设投资人分别用万元，万元投资甲、乙两个项目，获得的利润为z万元，则，由题意知，上述不等式组表示的平面区域如下图所示，阴影部分（含边界）即为可行域 作直线，并作出平行于直线的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点，这里点是直线和的交点解方程组得，此时（万元）答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大 12【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，因为目标函数仅在处取得最大值，所以直线的斜率需满足且，故选C 13【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，目标函数表示可行域内的点与定点连线的斜率，由图可知，解方程组得所以，解方程组得所以，所以，所以的范围是，故选C 14【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由得A(1，2)，由得B(2，1)，由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两条平行直线间的距离最小，因为，所以选B 15【答案】C 16【答案】 【解析】由题意得，画出不等式组所表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 作直线：，平移，从而可知当，时，当，时，故的取值范围是而的几何意义为点与原点距离的平方，故取值范围是17【答案】【解析】设，则，所以当最小时，取得最小值作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为表示可行域内的点到坐标原点距离的平方，所以当位于点时，取最小值，由方程组解得，即，所以，的最小值为 18【答案】(2，) 【解析】先根据作出如下图中阴影部分所示的平面区域，欲使目标函数zxy取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线xy20，当且仅当n2时，可行域才包含xy20这条直线上的线段BC或线段BC的一部分 19【答案】2【解析】画出可行域，如下图中阴影部分所示，由zaxy得yaxz当a1，即a1时，只能在点O(0，0)处取最大值，zmax0，与已知矛盾；当0a1，即1a0时，在点B(1，1)处取最大值，此时a14，无解；当a1，即a1时，在点A(2，0)处取得最大值，此时2a04，a2；当1a0，即0a1时，在点B(1，1)处取最大值，此时a14，无解综上，a2 20【答案】（1）见解析；（2）见解析 （2）设年利润为z万元，则目标函数为，由（1）作出可行域（图略）由方程组得则交点M(20，10)作直线，平移，当平移后的直线过点M(20，10)时，z取最大值70开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元21【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示， 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为，所以故选C22【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示， 由图可知目标函数在直线与的交点处取得最大值，最大值为23【答案】 【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，则直线过点时取最大值，过点时取最小值 【名师点睛】线性规划问题有三类：简单的线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数的取值范围；线性规划的实际应用本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围24【答案】【解析】不等式可转化为，即，作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，故的最小值为 【名师点睛】此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大25【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示， 由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点时，取得最大值，由，解得，此时26【答案】9【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当，时， 【名师点睛】线性规划问题是高考中的常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等27【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，故选A 【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需要注意的是：准确无误地作出可行域；画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得29【答案】D【解析】如图，画出可行域， 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D30【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，故选D 31【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D 32【答案】B 33【答案】【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示 目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，为34【答案】【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得，由得在轴上的截距越大，就越小，所以，当直线过点时，取得最小值，所以的最小值为 35【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，由图可知当目标函数经过点A(1，)时取得最大值，即 作出二元一次不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 将z2 100x900y变形得，当直线经过点时，z取得最大值，解方程组，得点的坐标为(60，100)所以当x60，y100时，210060900100216 000故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元
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