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第二讲圆锥曲线的方程与性质考点一圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析不妨设B(0，b)，由2，F(c,0)，可得A，代入双曲线C的方程可得1，即，又|4，c2a2b2，a22b216，由可得，a24，b26，双曲线C的方程为1，故选D.答案D3抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线的方程为()Ay26x By28xCy216x Dy2x解析设M(x，y)，因为|OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由抛物线定义知x2p，所以xp，所以yp，又MFO的面积为4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以抛物线的方程为y28x.答案B4(2018安徽淮南三校联考)已知双曲线1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则APF周长的最小值为()A4 B4(1)C2() D.3解析由题意知F(，0)，设左焦点为F0，则F0(，0)，由题可知APF的周长l为|PA|PF|AF|，而|PF|2a|PF0|，l|PA|PF0|2a|AF|AF0|AF|2a22444(1)，当且仅当A、F0、P三点共线时取得“”，故选B.答案B快速审题看到求圆锥曲线方程，想到待定系数法、定义法；看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形，想到定义的应用求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程(2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a2，b2或p.考点二圆锥曲线的几何性质1在椭圆中：a2b2c2，离心率为e .2在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.3双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.解析 答案(1)A(2)D 解析 答案 解析 答案 解析 答案C 解析 答案A考点三抛物线中的最值问题 解析(1)由题意得圆x2(y4)21的圆心A(0,4)，半径r1，抛物线的焦点F(1,0)由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|r11.选C.(2)过P作PMl于M，则由抛物线定义知|PM|PF|，故|PA|PF|PA|PM|.当A、P、M三点共线时，|PA|PM|最小，此时点P坐标为(2,2)，故选C.答案(1)C(2)C与抛物线最值有关问题的两种转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决对点训练1(2018郑州检测)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B. C1 D2解析由题意知，抛物线的准线l：y1，过点A作AA1l交l于点A1，过点B作BB1l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1l交l于点M1，则|MM1|.因为|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，所以|AA1|BB1|6，2|MM1|6，|MM1|3，故点M到x轴的距离d2，选D.答案D2已知点F为抛物线y28x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|4，则|PA|PO|的最小值为()A6 B24C2 D4解析由已知可得抛物线y28x的焦点为F(2,0)，准线方程为x2.设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2x04，所以x02，y04.O关于准线的对称点为O(4,0)，则当点P为AO与准线x2的交点时，|PA|PO|有最小值，且最小值为|AO|2.答案C1(2018浙江卷)双曲线y21的焦点坐标是()A(，0)，(，0) B(2,0)，(2,0)C(0，)，(0，) D(0，2)，(0,2)解析a23，b21，c2.又焦点在x轴上，双曲线的焦点坐标为(2,0)，(2,0)答案B2(2018天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析双曲线1(a0，b0)的离心率为2，e214，3，即b23a2，c2a2b24a2，由题意可设A(2a,3a)，B(2a，3a)，3，渐近线方程为yx，则点A与点B到直线xy0的距离分别为d1a，d2a，又d1d26，aa6，解得a，b29，双曲线的方程为1，故选C.答案C3(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B. C. D.解析由题意易知直线AP的方程为y(xa)，直线PF2的方程为y(xc)联立得y(ac)，如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则|PH|(ac)因为PF2H60，|PF2|F1F2|2c，|PH|(ac)，所以sin60，即ac5c，即a4c，所以e.故选D.答案D4(2018江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是_解析双曲线的一条渐近线方程为bxay0，则F(c,0)到这条渐近线的距离为c，bc，b2c2，又b2c2a2，c24a2，e2.答案25(2018北京卷)已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_解析解法一：如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为yx，.设mk，则nk，则双曲线N的离心率e22.连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得F1CF290，CF1F230.设椭圆的焦距为2c，则|CF2|c，|CF1|c，再由椭圆的定义得|CF1|CF2|2a，即(1)c2a，椭圆M的离心率e11.解法二：双曲线N的离心率同解法一由题意可得C点坐标为，代入椭圆M的方程，并结合a，b，c的关系，联立得方程组解得1.答案12圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择、填空题的形式考查，常出现在第411或1516题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等热点课题15几何情境下的圆锥曲线问题 感悟体验1(2018福建福州质检)已知双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|，则E的离心率是()A2 B. C. D.解析如图所示，设PF1、PF2分别与PAF2的内切圆切于M、N，依题意，有|MA|AQ|，|NP|MP|，|NF2|QF2|，|AF1|AF2|QA|QF2|，2a|PF1|PF2|(|AF1|MA|MP|)(|NP|NF2|)2|QA|2，故a，从而e，故选C.答案C2.(2018贵阳监测)已知点P是双曲线C：1(a0，b0)左支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1PF2，PF2与两条渐近线相交于M、N两点(如图)，点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是_解析由题意可知，ON为PF1F2的中位线，PF1ON，tanPF1F2tanNOF2kON，解得又|PF2|PF1|2a，2b2a2a，b2a，ca，e.答案专题跟踪训练(二十五)一、选择题1(2018广西三市第一次联合调研)若抛物线y22px(p0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A. B1 C. D2解析由题意3x0x0，x0，则2，p0，p2.故选D.答案D2(2018深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x28y224有相同焦点的椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析椭圆3x28y224的焦点为(，0)，可得c，设所求椭圆的方程为1，可得1，又a2b25，得b210，a215，所以所求的椭圆方程为1.故选C.答案C3(2018福州模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右顶点与抛物线y28x的焦点重合，且其离心率e，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析易知抛物线y28x的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a2.又双曲线的离心率e，所以c3，b2c2a25，所以双曲线的方程为1，选A.答案A4(2018合肥二模)若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析根据题意，该双曲线的离心率为，即e，则有ca，进而ba.又由该双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程为yxx.故选B.答案B5(2018郑州一模)已知双曲线x21的两条渐近线分别与抛物线y22px(p0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积为1，则p的值为()A1 B. C2 D4解析双曲线x21的两条渐近线方程是y2x，抛物线y22px(p0)的准线方程是x，故A，B两点的纵坐标分别是yp.又AOB的面积为1，2p1.p0，得p.故选B.答案B6(2018东北三校联考)已知F1，F2是双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1的直线l与E的左支交于P，Q两点，若|PF1|2|F1Q|，且F2QPQ，则E的离心率是()A. B. C. D.解析设|F1Q|t(t0)，则|PF1|2t，由双曲线的定义有，|F2Q|t2a，|PF2|2t2a，又F2QPQ，所以F1F2Q，PQF2都为直角三角形由勾股定理有即解得故离心率e.故选D.答案D7(2018长沙一模)A是抛物线y22px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的准线方程是()Ax1 By1Cx2 Dy2解析过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为OFA120，所以ABF为等边三角形，DBF30，从而p|DF|2，因此抛物线的准线方程为x1.选A.答案A8(2018陕西西安三模)已知圆x2y24x30与双曲线1的渐近线相切，则双曲线的离心率为()A. B2 C2 D.解析将圆的一般方程x2y24x30化为标准方程(x2)2y21.由圆心(2,0)到直线xy0的距离为1，得1，解得2，所以双曲线的离心率为e .故选D.答案D9(2018宁夏银川一中二模)已知直线yx和椭圆1(ab0)交于不同的两点M，N，若M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析由题意可知，M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M点坐标为，则c，则3b22ac，即3c22ac3a20.上式两边同除以a2，整理得3e22e30，解得e或e.由0eb0)，B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，b)(c，b)0，得b2ac，即a2c20，即e2e10，e或e，又0e1，e0)和抛物线y28x有相同的焦点，则双曲线的离心率为_解析易知抛物线y28x的焦点为(2,0)，所以双曲线1的焦点为(2,0)，则a2222，即a，所以双曲线的离心率e.答案14(2018湖北八校联考)如图所示，已知椭圆C的中心为原点O，F(5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|且|PF|6，则椭圆C的方程为_解析由题意可得c5，设右焦点为F，连接PF，由|OP|OF|OF|知，PFFFPO，OFPOPF，PFFOFPFPOOPF，FPOOPF90，即PFPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|8，由椭圆的定义，得|PF|PF|2a6814，从而a7，a249，于是b2a2c2495224，椭圆C的方程为1.答案115(2018西安四校联考)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P、Q两点，若P恰为线段F1Q的中点，且QF1QF2，则此双曲线的渐近线方程为_解析根据题意，P是线段F1Q的中点，QF1QF2，且O是线段F1F2的中点，故OPF1Q，而两条渐近线关于y轴对称，故POF1QOF2，又POF1POQ，所以QOF260，渐近线的斜率为，故渐近线方程为yx.答案yx16.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_解析由已知条件易得B，C，F(c,0)，由BFC90，可得0，所以20，c2a2b20，即4c23a2(a2c2)0，亦即3c22a2，所以，则e.答案
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