金融数学课件第一章数学预备知识.ppt

金融数学 第一章数学预备知识 后期学习所要使用的数学上的结论复习和加强已经学过的数学的认识对部分数学概念的经济应用进行说明分为以下4个部分 线性代数基础数学模型和建立模型优化问题求解效用函数 凸函数和凹函数 第一节线性代数基础 普遍涉及到的和需要强调的概念正交矩阵 对称矩阵对角化 特征值二次型 正定矩阵欧氏空间 向量的内积 innerproduct 向量的长度 向量的距离distance柯西布尼亚科夫斯基不等式向量的夹角 正交orthogonal投影Project 最小二乘法leastsquare 其他两个内积的定义 两个随机变量X和Y的内积协方差 X Y cov X Y 相关系数 两个函数f x 和g x 的内积在此基础上同样有 距离 长度 正交 投影等几何空间中的概念 矩阵和行列式的微分 几个结论 X是向量 A是矩阵 第二节数学模型和模型的建立 模型来源于原型 对原型的抽象数学模型需要量化和假设数学模型表现形式可以是数学公式 包括等式或不等式 也可以是图表数学模型的最佳结果是数学公式自然科学中数学公式较多 并且应用效果好社会科学中数学公式少 且效果差经济和金融学中有很多数学模型本教材后面几章介绍金融中的几个著名数学模型 建立模型的步骤 建模 建立模型或模型建立 modeling建模准备 了解实际问题的背景模型假设 对问题进行简化建立数学模型 用数学方式 公式 图表 表现出实际问题 尽量简单化原则模型求解 求解出结果 优化求解较多模型分析 得到结论 做出预测模型检验和修正 与实际比较 模拟实际 建模举例 问题的背景 资金总量为M 可投资于n 1种资产Si i 0 1 n 0表示存银行Si的平均收益率为ri 风险损失率为qi总体风险 Si中的最大风险投资Si的交易费率为pi 低于ui按ui计算同期银行存款为r0 5 无交易费用和损失问题 如何总资金M如何投资 使得尽可能收益大 总体风险尽可能小 对问题的分析 两个目标 净收益大 风险损失小两个目标不可能同时满足限定其中一个目标的范围 另一个尽可能最优最优解是不唯一的 用数学符号和公式表示模型 xi表示购买的Si资金量 ci xi 是交易费 投资于Si的净收益 Ri xi rixi ci xi 总净收益 R 投资于Si的风险损失 Qi xi qixi总风险损失 Q 投资于Si所需资金 Fi xi xi ci xi 约束条件为总资金的限制M F xi ci xi 交易费用的数学表达式和图形 几个优化模型 两目标优化模型 属于多目标规划问题单目标优化模型 分三种情况确定风险不能超过k 求最大收益确定收益水平不能低于h 求最小损失 假定相对偏好1 0 上面模型不容易求解 简化费用的表达式可以将模型简化问题 假设费用 ci xi pixi资金约束条件变成 F x 1 pi xi M前面的三个模型都可以变成线性规划问题 对此已经有成熟的方法解决 线性规划linearprogram 第三节极值和条件极值的求解 多元函数的极值及其判断一阶偏导数为0 必要条件 二阶偏导数 海森矩阵Hessianmatrix的正定和负定正定 极小值 负定 极大值二次多项式的极值点如果是凹函数或凸函数 则一阶条件也是充分条件 计算条件极值的拉格朗日乘子法 约束条件 gi x1 xn bi i 1 2 mLagrangemultiplier将有约束条件问题转化成无约束条件极值 引入拉格朗日乘数 构造新的函数m n个方程为一阶条件拉格朗日乘子法与线性规划的区别 约束条件中的等式和不等式应用实例 求解收益相同风险最小的投资组合 有n种资产 R是资产的期望收益率向量 W是资产的投资比例向量 需要求解 V是资产协方差矩阵 该问题是下面的优化问题该优化问题有解的充分必要条件是拉格朗日乘子函数的一阶导数等于0 第四节凹函数 凸函数和效用函数 效用utility是主观感受 人为设定的满意程度效用函数utilityfunction是对满意程度的量化效用函数分为 序数效用 基数效用函数序数效用ordinalutility 效用之间只能排序基数效用cardinalutility 用具体数值表示效用的大小期望效用 有多种结果时用效用的数学期望E u 或积分 两个效用的例子 例一 商品配置问题 用确定数量资金购买商品 如何确定每种商品的数量x1效用函数是多元函数u x1 x2 xn 例二 生活质量问题 收入和休息之间的协调效用函数是收入L和休息y的函数u l y T是总时间 r表示每小时工资效用函数成为一元函数u l y u rx T x 偏好关系preferencerelation 选择集经过处理可以成为凸子集其中任何两个元素可以比较 好坏 关系 偏好关系 满足 自反性 完备性 传递性无差异关系和严格偏好关系字典序dictionaryorder 确定状态下的效用函数具有偏好关系的效用函数u u x u y 当且仅当x y满足 保序 中值 有界性序数效用函数存在性定理 假设投资有两种结果x和y 概率是p和1 p投资的结果是 彩票 xp 1 p y根据各自具体情况定义偏好关系 需要满足10个条件不确定状态下 基数和序数效用函数存在定理将选择问题转换成数值大小的比较 不确定状态下的效用函数 风险态度 效用函数应用 凸 凹函数定义 分一元和多元函数风险态度 厌恶 偏好 中性彩票的例子 两种彩票A和BA 100 B 随机变量x 500 概率 p or 100两种的期望所得应该相同 因此 p 1 3有下面3种可能的决策 选择A 风险厌恶选择B 风险偏好随意选择AB 风险中性 用效用函数u x 分析3种态度 有了效用函数u x 后选择A得到的效用 u 100 选择B得到的是期望效用E u x u 500 3 2u 100 3比较E u x 和u E x 的大小 得到风险态度u E x E u x u是凹函数 风险厌恶u E x E u x u是凸函数 风险偏好u E x E u x 风险中性 风险态度的图形表示 U a U b U b U a U a a a a b b b 效用函数例子 绝对风险厌恶函数 A x u x u x 相对风险厌恶函数 R x xA x 风险容忍函数 T x 1 A x 二次效用函数 u x ax bx2幂效用函数 u x x 1双曲线绝对风险回避效用函数 负指数效用函数 u x e ax