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专题30 小题不小-比较大小【热点聚焦与扩展】 高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.（一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数例如：等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可 （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1） （2） （3） （4）换底公式： 进而有两个推论： （令） （二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、导数运算法则：（1）（2）3、常见描述单调性的形式（1）导数形式：单调递增；单调递减（2）定义形式：或：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较（三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2017课标1，理11】设x、y、z为正数，且，则（ ）A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2xbc B. acb C. cba D. cab【答案】D【解析】分析：借助于中间值1和0，利用各实数的范围可比较大小.详解：a=2-13(0,1)，b=log2131，cab，故选D.点睛：比较大小常用的方法有：（1）作差法（作商法）；（2）利用函数单调性比较大小；（3）借助中间变量比较大小. 例5.【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数fx=ex+e-xex-e-x，若a=f-12，b=fln2，c=fln13，则有（ ）A. cba B. bac C. cab D. bca【答案】D【解析】分析：首先分离常数得出fx=1+2e2x-1，可判断出fx在-,0上单调递减，且x0时，fx0，x0时，fx0,a,c-ln3，-12ln13，fx在-,0上单调递减，f-12a, bca，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间-,0,0,1,1,+ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用例6.【2018届天津市十二校二模】已知定义在R上的函数fx=x+cosx，则三个数a=f7log314，b=f17log1295，c=f1，则a，b，c之间的大小关系是（ ）A. acb B. abc C. bca D. cba【答案】C由指数函数的性质可得07log3141,由log1295=-log2951,所以7log3141ca，故选C.例7【2018届华大新高考联盟4月检测】已知fx为定义在 R上的偶函数，且fx+2=fx，当x0,1时，fx=2x+1，记a=flog0.56,b=flog27,c=f8，则a,b,c的大小关系为（ ）A. abc B. acbC. cba D. cabc B. bac C. cba D. cab【答案】D【解析】fx=lnx2+1-xf(x)=ln(x2+1-x)=ln1x2+1+xf(-x)=ln(x2+1+x)当x0时，x2+1+x1；当x0时，0x2+1+x0时，f(x)=ln(x2+1-x)=-ln(x2+1-x)=ln(x2+1+x)，f(-x)=ln(x2+1+x)；当xab故选D.例10.【2018届安徽省六安市第一中学三模】设fx是函数fxxR的导数，且满足xfx-2fx0，若A、B、C是锐角三角形ABC的三个内角，则（）A. fsinAsin2BfsinBsin2A B. fsinAsin2BfsinBcos2A D. fcosAsin2B0，则有h（x）0， 则函数fx在（0，+） 上为增函数，若ABC 是锐角三角形，则有A+B2， 即2A2-B0， 即有sinAcosB 或cosAsinB， 故选：D【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数h（x）并分析其单调性【精选精练】1.【2018届北京市海淀区二模】已知xy0，则( )A. 1x1y B. (12)x(12)y C. cosxcosy D. ln(x+1)ln(y+1)【答案】D【解析】分析：取x=2，y=1，利用排除法，逐一排除即可的结果.详解：因为x=2，y=1时，1x1y , (12)x(12)y , cosxa B. cab C. acb D. cab【答案】A故选A3.【2017年高考山东卷】若ab0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，且，所以 ，所以选B.4【2018届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数的大小关系正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知， ， ，即， ， ，故选C.5【2018届福建省龙岩市4月检查】已知定义在R上的偶函数f(x)对于0,+)上任意两个不相等实数x1和x2，f(x)都满足f(x2)-f(x1)x1-x20，若a=f(0),b=f(log0.23),c=f(log25)，则a,b,c的大小关系为（ ）A. cba B. cab C. acb D. abbc B. bac C. acb D. cab【答案】A【解析】此题可采用特值法，(2,34)，故可取=23，此时a=sin=32，b=cos=-12，c=tan=-3，即abc成立，故选A.8.【2018年4月8日 每周一测】已知函数为偶函数，当时， ，设， ， ，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先判断出在上为增函数，由奇偶性可得 根据对数函数与指数函数的性质得到、的范围，可比较其大小，利用单调性可得结果.由单调性可得，故选A.9【2018届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记A=cos12,B=cos32,C=sin32-sin12, 则A,B,C的大小关系是（ ）A. ABC B. ACB C. BAC D. CBA 【答案】B【解析】A-C=cos12-sin32+sin12=2sin(12+4)-sin32，412+41，2sin(12+4)-sin320，即AC，B-C=cos32-sin32+sin12=sin12-2sin(32-4)，12-32+4=-1+40，1232-4，0122,032-42，sin12sin(32-4)2sin(32-4)，sin12-2sin(32-4)0，即BCB.本题选择B选项.10【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知 ，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】令， ， ，令在R上单调递减，所以,即ac,又因为，在（0,1）上单调递增，所以,即ab,所以，选D.11.【2018届天津市9校联考】定义在上的奇函数满足，当时， ，设， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A又，且在上单调递增，即故选：A点睛：点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小12.【2018届重庆市巴蜀中学月考七】已知f(x)= sin(x+ )cos(x+ )+ (x+ )- (|),若f(0)= ,a=f(),b=f(），c=f（），则（ ）A. acb B. abc C. cab D. cba【答案】B【解析】 由题意得， 选B
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