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2.菱形的判定1.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是(B)(A)一组邻边相等的四边形是菱形(B)四边相等的四边形是菱形(C)对角线互相垂直的平行四边形是菱形(D)每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是(B)(A)BA=BC (B)AC,BD互相平分(C)AC=BD (D)ABCD3.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论不正确的是(D)(A)当AB=BC时,它是菱形(B)当ACBD时,它是菱形(C)当ABC=90时,它是矩形(D)当AC=BD时,它是菱形4.(xx扬州改编)如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA=9,点F是AB的中点,连结DF并延长,交CB的延长线于点E,连结AE,则四边形AEBD的周长是36.5.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧相交于C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是菱形.6.ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若BAO=DAO,则ABCD是菱形.第6题图7.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是ACBD(或AB=BC或BC=CD或CD=DA或AB=AD)(答案不唯一)(添加一个条件即可).第7题图8.将三角形纸片ABC(ABAC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图;再次折叠该三角形纸片,使点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连结DE,DF,如图.求证:四边形AEDF是菱形.证明:由第一次折叠得AD为CAB的平分线,所以1=2.由第二次折叠得CAB=EDF,所以3=4.因为AD=AD,所以AEDAFD.所以AE=AF,DE=DF.由第二次折叠得AE=ED,AF=DF,所以AE=ED=DF=AF.所以四边形AEDF是菱形.9.(xx内江)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且AED=CFD.求证:(1)AEDCFD;(2)四边形ABCD是菱形.证明:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以A=C.因为AE=CF,AED=CFD,所以AEDCFD.(2)因为AEDCFD,所以AD=CD.因为四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.10.已知:如图,在ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连结BE,DF.(1)求证:DOEBOF;(2)当DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?请说明理由.(1)证明:在ABCD中,因为ADBC,所以ADB=CBD.因为OB=OD,DOE=BOF,所以DOEBOF.(2)解:当DOE=90时,四边形BFDE为菱形.因为DOEBOF,所以OE=OF.因为OB=OD,所以四边形BFDE为平行四边形.因为DOE=90,所以EFBD,所以BFDE为菱形.11.(拓展探究题)如图,已知ABC,按如下步骤作图:分别以A,C为圆心,大于12AC的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点;作直线PQ,分别交AB,AC于点E,D,连结CE;过C作CFAB交PQ于点F,连结AF.(1)求证:AEDCFD;(2)求证:四边形AECF是菱形.证明:(1)根据题中作图步骤和可知PQ是AC的垂直平分线.所以CD=AD,EDAC.因为CFAB,所以DCF=DAE.因为DCF=DAE,CD=AD,CDF=ADE,所以AEDCFD.(2)因为AEDCFD,所以FD=ED,AD=CD.所以四边形AECF为平行四边形.又因为PQ是AC的垂直平分线,所以四边形AECF是菱形.
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