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第九部分立体几何第八讲空间直角坐标系 1 通过具体情境 感受建立空间直角坐标系的必要性 2 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标系刻画点的位置 3 通过表示特殊长方体 所有棱与坐标轴平行 顶点的坐标 探索并得出空间两点间的距离公式 1 在空间直角坐标系中 点P 3 2 1 到yOz平面的距离是 A 2B 1C 3D 3 D 解 点P x y z 到坐标平面yOz的距离为 x 3 选D 2 点P x y z 在xOz平面上的射影为P1 则P1的坐标为 A x y 0 B 0 y z C x 0 z D 0 y 0 C 解 x y z 在xOz的射影为 x 0 z x z的坐标不变 y的坐标为0 选C 3 点P 3 2 1 关于坐标平面yOz的对称点的坐标为 4 ABC中 A 2 0 1 B 4 2 3 C 3 1 2 则AB边上的中线CM的长为 3 2 1 解 因为M为AB的中点 所以M的坐标为 即M 1 1 2 所以 CM 题型1 空间直角坐标系的建立及点的坐标例1如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是一直角梯形 BAD 90 AD BC AB BC a AD 2a PA 底面ABCD PDA 30 AE BD 试建立适当的坐标系 求出各点的坐标 因为平面PAD 平面ABCD 作EF AD于F 则F为E在底面ABCD的射影 在Rt ADE中 因为 EDA 30 所以AE AD a 在Rt EFA中 EAF 60 所以EF AEsin60 a a AF AE cos60 故E 点评 建立空间坐标系的原则是让更多的点落在坐标轴上 点的坐标的概念是求空间中的点的坐标的依据 即点的空间坐标为该点在坐标轴上的射影在这些坐标轴上的坐标 变式迁移 1 已知正四棱锥P ABCD的底面边长为4 侧棱长为10 试建立适当的空间直角坐标系 写出各顶点的坐标 解 因为正四棱锥P ABCD的底面边长为4 侧棱长为10 所以正四棱的高为2 以正四棱锥的底面中心为原点 平行于BC AB所在的直线分别为x轴 y轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A 2 2 0 B 2 2 0 C 2 2 0 D 2 2 0 P 0 0 2 题型2 空间直角坐标系的中点公式及两点间的距离公式例2 1 已知ABCD为平行四边形 且A 4 1 3 B 2 5 1 C 3 7 5 求顶点D的坐标 2 空间坐标系中 A 1 t 1 t t B 2 t t 求 AB 的最小值 解 1 因为平行四边形的对角线互相平分 所以AC的中点即为BD的中点 又AC的中点O 所以x 5 y 13 z 3 故D 5 13 3 2 AB 即 AB 的最小值为 点评 求中点坐标和距离可类比平面直角坐标系中的方法进行 求最值时要建立函数模型 利用求函数的值域的方法求解 变式迁移 2 1 若点P x y z 关于点A 1 0 3 的对称点为B 2 1 4 则P关于xOy平面的对称点C的坐标为 2 已知A x 5 x 2x 1 B 1 x 2 2 x 则A B两点间的距离取得最小值时 x的值为 0 1 2 C 解 1 因为点P x y z 和B 2 1 4 的对称中心为A 1 0 3 所以解之得所以P点坐标为 0 1 2 又C与点P 0 1 2 关于xOy平面对称 所以C的坐标为 0 1 2 题型3 空间直角坐标系的应用例3正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为a 建立适当的坐标系 写出A B A1 C1的坐标 求出AC1与其在侧面ABB1A1内的射影所成的角 解法1 如图所示 以点A为坐标原点 以AB所在直线为y轴 以AA1所在直线为z轴 以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为x轴 建立空间直角坐标系 由已知 得A 0 0 0 B 0 a 0 A1 0 0 a C1取A1B1的中点M 则M 在Rt AMC1中 C1M AM 所以tan MAC1 所以 MAC1 30 所以AC1与其侧面ABB1A1上的射影所成的角为30 连接AM MC1 则MC1 A1B1 所以AC1在平面ABB1A1上的射影为AM 所以 MAC1为AC1与其在平面ABB1A1上的射影所成的角 解法2 设AB的中点为D 以C为坐标原点 CD所成直线为x轴 过点C与AB平行的直线为y轴 以CC1所在直线为z轴 建立如图所示的坐标系 点评 利用空间直角坐标系可以解决长度 角 距离等问题 但要注意角和距离仍需通过图中的线面关系找到所求角或距离 再利用坐标求得相应长度 通过解三角形解决问题 变式迁移 3 在正四棱锥S ABCD中 底面边长为a 侧棱长也为a 以底面中心O为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 P点在侧棱SC上 Q点在底面对角线BD上 试求P Q两点间的最小距离 解 由于S ABCD是正四棱锥 所以P点在底面上的射影R在OC上 又底面边长为a 所以OC a 而侧棱长也为a 所以SO OC 于是RP RC 故可以设P点的坐标为 x 0 又Q点在底面对角线BD上 所以可设Q点的坐标为 y y 0 因此 P Q两点间的距离d 显然当x y 0时 d取得最小值 d的最小值等于 这时P恰好为SC的中点 Q恰好为底面中心