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18.2.2菱形(第2课时)学习目标1.通过动手操作,归纳菱形的判定方法,并加以证明.(重点)2.会用菱形的判定方法进行有关的计算和论证.(难点)3.经历探索菱形的判定方法的过程,发展主动探究的能力和说理的能力.学习过程一、知识回顾1.菱形的定义是什么?2.平行四边形、矩形、菱形各有什么性质?列表进行比较.边角对角线平行四边形矩形菱形3.菱形和平行四边形的关系是什么?二、合作探究【问题探究一】用定义判定四边形是菱形阅读教材本节中的第一个“思考”前内容,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:平行四边形的定义可以作为性质,也可以作为判定,那么菱形的定义可以作为菱形的判定方法吗?如果可以,怎么判定?归纳总结:有一组邻边的是菱形.几何语言:【问题探究二】菱形的判定阅读教材本节中的第二个“思考”内容,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:1.你能否通过研究菱形性质定理的逆命题获得判定四边形是菱形?并完成表格菱形性质菱形判定菱形的对交线互相垂直猜想1:菱形的四条边都相等猜想2:2.证明猜想1与猜想2的正确性(1)已知:平行四边形ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证:四边形ABCD是菱形.归纳总结:判定定理1对角线的平行四边形是菱形.几何语言:四边形ABCD是,且,是菱形.探究二、四边相等的四边形是菱形.猜想2:如果一个四边形的四条边相等,那么这个平行四边形是菱形,已知:四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,求证:四边形ABCD是菱形.归纳总结:1.的四边形是菱形.2.几何语言:三、自主练习【例1】如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AO=4,BO=3.求证:平行四边形ABCD是菱形.【例2】已知:如图,ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于E,F.求证:四边形AFCE是菱形.四、跟踪练习1.下列图形中,不一定是菱形的是()A.两条对角线互相垂直平分的四边形B.四条边都相等的四边形C.对角线互相垂直的四边形D.用两个能完全重合的等边三角形拼成的四边形2.ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:ACBD;AB=BC;AC平分BAD;AO=DO.其中使得ABCD是菱形的条件有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知:如图,在四边形ABCD中,AC=BD,E,F,G,H分别为四边中点.求证:四边形EFGH为菱形.五、变式演练1.(xx沈阳中考)如图,ABCABD,点E在边AB上,CEBD,连接DE.求证:(1)CEB=CBE;(2)四边形BCED是菱形.2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P,Q分别是AD,BC,BD,AC的中点.求证:MN与PQ互相垂直平分.六、达标检测1.如图,在ABCD中,对角线ACAB,O为AC的中点,经过点O的直线交AD于E,交BC于F,连接AF,CE,现在添加一个适当的条件,使四边形AFCE是菱形,下列条件:OE=OA;EFAC;AF平分BAC;E为AD中点,正确的有()个.A.1B.2C.3D.42.下列说法:四边相等的四边形一定是菱形;顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形;对角线相等的四边形一定是矩形;经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的有()个.A.4B.3C.2D.13.如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定ABCD是菱形的只有()A.ACBDB.AB=BCC.AC=BDD.1=24.在ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DEAC,DFAB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是()A.若ADBC,则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分BAC,则四边形AEDF是菱形5.四边形ABCD的四边相等,且面积为120 cm2,对角线AC=24 cm,则四边形ABCD的周长为()A.52 cmB.40 cmC.39 cmD.26 cm6.如图,四边形ABCD是轴对称图形,且直线AC是对称轴,ABCD,则下列结论:ACBD;ADBC;四边形ABCD是菱形;ABDCDB其中正确的是(只填写序号).7.如图,已知正方形ABCD的对角线交于O点,点E,F分别是AO,CO的中点,连接BE,BF,DE,DF,则下列结论中一定成立的是(把所有正确结论的序号都填在横线上)BF=DE;ABO=2ABE;SAED=14SACD;四边形BFDE是菱形.8.如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,在BC边上取一点E,使BE=4,连接AE,沿AE剪下ABE,将它平移至DCF的位置,拼成四边形AEFD.(1)CF=;(2)四边形AEFD是什么特殊四边形,你认为最准确的是:.9.如图,在ABC中,AB=BC,D,E,F分别是BC,AC,AB边上的中点.(1)求证:四边形BDEF是菱形.(2)若AB=12 cm,求菱形BDEF的周长.10.如图ABC与CDE都是等边三角形,点E,F分别在AC,BC上,且EFAB.(1)求证:四边形EFCD是菱形.(2)设CD=4,求D,F两点间的距离.参考答案一、知识回顾1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.平行四边形、矩形、菱形各有什么性质?列表进行比较.边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等,邻角互补对角线互相平分矩形对边平行且相等4个角都相等,且等于90对角线互相平分且相等菱形四条边都相等对角相等,邻角互补对角线互相平分且垂直3.菱形是特殊的平行四边形.二、合作探究【问题探究一】略【问题探究二】菱形的判定菱形性质菱形判定菱形的对角线互相垂直猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形续表菱形性质菱形判定菱形的四条边都相等猜想2:四条边相等的四边形是菱形2.证明猜想1与猜想2的正确性(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC(平行四边形对角线相互平分).又ACBD,BD所在直线是线段AC的垂直平分线,AB=BC,四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).归纳总结:判定定理1对角线互相垂直的平行四边形是菱形.几何语言:四边形ABCD是平行四边形,ACBD,平行四边形ABCD是菱形.探究二四边相等的四边形是菱形.证明:AB=BC=CD=AD,AB=CD,BC=AD.四边形ABCD是平行四边形.又AB=BC,四边形ABCD是菱形.归纳总结:1.四条边相等的四边形是菱形.2.几何语言:四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是菱形.三、自主练习【例1】证明:AB=5,AO=4,BO=3,AB2=AO2+BO2.OAB是直角三角形,ACBD.ABCD是菱形.【例2】证明:四边形ABCD是平行四边形,AEBC,1=2.又AOE=COF,AO=CO,AOECOF,EO=FO.四边形AFCE是平行四边形.又EFAC,AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).四、跟踪练习1.C2.C3.解:如图,E,F,G,H分别是线段AB,BC,CD,AD的中点,EH,FG分别是ABD,BCD的中位线,EF,HG分别是ABC,ACD的中位线,根据三角形的中位线的性质知,EH=FG=12BD,EF=HG=12AC,又AC=BD,EH=FG=EF=HG,四边形EFGH是菱形.五、变式演练1.证明:(1)ABCABD,ABC=ABD.CEBD,CEB=DBE,CEB=CBE;(2)ABCABD,BC=BD.CEB=CBE,CE=CB,CE=BD.CEBD,四边形CEDB是平行四边形.BC=BD,四边形BCED是菱形.2.证明:连接MP,PN,NQ,QM,AM=MD,BP=PD,PM是ABD的中位线,PM=12AB,PMAB;同理NQ=12AB,NQAB,MQ=12DC,PM=NQ,且PMNQ.四边形MPNQ是平行四边形.又AB=DC,PM=MQ,平行四边形MPNQ是菱形.MN与PQ互相垂直平分.六、达标检测1.B2.B3.C4.D5.A6.7.8.4;菱形9.(1)证明:D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,DEAB,EFBC,DE=12AB,EF=12BC,四边形BDEF是平行四边形,又AB=BC,DE=EF,四边形BDEF是菱形.(2)解:AB=12 cm,F为AB中点,BF=6 cm,菱形BDEF的周长为64=24 cm.10.(1)证明:ABC与CDE都是等边三角形,ED=CD,A=DCE=BCA=DEC=60.ABCD,DECF.又EFAB,EFCD,四边形EFCD是菱形.(2)解:连接DF,与CE相交于点G,由CD=4,可知CG=2,DG=42-22=23,DF=43.
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