连续LTI系统微分方程式的建立.ppt

1 第二章连续时间系统的时域分析 2 1引言 2 2微分方程的建立与求解 2 3起始点的跳变 从0 到0 2 4零输入响应和零状态响应 2 5冲激响应和阶跃响应 2 6卷积 2 7卷积的性质 2 元阶微分方程 一 系统数学模型的时域表示法 输入输出描述 状态变量描述 一 N N 一 元阶微分方程 2 1引言 3 二 系统分析过程 列方程 解方程 经典法 双零法 零输入 零状态 变换域法 全解 齐次解 特解 可用经典法 卷积积分法 新方法 FT LT 4 一 微分方程的建立 根据元件特性约束和网络拓扑约束 2 2微分方程的建立与求解 5 例2 2 1 求并联电路的端电压与激励间关系 解 一 微分方程的建立 6 解 一 微分方程的建立 例2 2 2如下图机械位移系统 质量为m的刚体一端由弹簧 牵引 弹簧的另一端固定在壁上 刚体与地面间的摩擦系数为f 外加牵引力为Fs t 求其外加牵引力Fs t 与刚体运动速度v t 间的关系 7 二 n阶LTI系统微分方程的一般形式 一个n阶LTI系统 e t 与r t 的关系可以用下面一般形式的n阶线性常微分方程描述 Ci Ei均为常数 8 一 齐次解rh t 三 线性时不变系统经典法求解 写出齐次解形式 由特征方程 求出特征根 9 三 线性时不变系统经典法求解 10 系统的特征方程为 特征根 因而对应的齐次解为 三 线性时不变系统经典法求解 11 三 线性时不变系统经典法求解 二 特解rp t 比较系数定出特解 由微分方程右端e t 形式 设具有系数的特解r t 代入原方程 12 已知 求两种情况下的特解 例2 2 4给定微分方程式 三 线性时不变系统经典法求解 13 齐次解 特解 由初始条件定出齐次解系数 例2 2 5 求如下微分方程的全解 三 线性时不变系统经典法求解 三 全解 14 解 齐次方程为特征方程 特征根 该方程的齐次解为 激励函数中 1 与微分方程的一个特征根相同 因此特解为 三 线性时不变系统经典法求解 15 代入原微分方程得 求得 所以特解为 全解为 代入初始条件 求得 所以有 三 线性时不变系统经典法求解 16 三 线性时不变系统经典法求解 17 根据电路形式 列回路方程 列结点电压方程 1 1 列写电路的微分方程 18 2 求系统的完全响应 系统的特征方程 特征根 齐次解 方程右端自由项为 代入式 1 要求系统的完全响应为 特解 19 换路前 3 20 因而有 由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变 21 4 要求的完全响应为 22 2 3起始点的跳变 23 一 起始点的跳变 状态 起始状态 状态 初始条件 也称导出的起始状态 24 4 如果微分方程右端包含及其各阶导数项 则系统从0 到0 状态有跳变 2 一般情况下换路期间满足换路定则 1 对于电路 系统0 状态就是系统中储能元件的储能情况 3 但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感 0 到0 状态就会发生跳变 一 起始点的跳变 说明 25 一 电容电压的跳变 由伏安关系 当有冲激电流作用于电容时0 到0 有跳变 26 例2 3 1 当有阶跃电压作用于电容时 0 到0 有跳变 27 二 电感电流的跳变 如果为有限值 当有冲激电压作用于电感时 0 到0 有跳变 28 例2 3 2 当有阶跃电流作用于电感时 0 到0 有跳变 29 原理 t 0时刻微分方程左右两端 t 及各阶导数应相等 例2 3 3 二 冲激函数匹配法确定初始条件 数学描述 分析过程 30 分析过程 31 数学描述 设 则 代入方程 得出 所以得 即 即 方程右端含项 它一定属于 32 例2 3 4 描述LTIS的微分方程为输入如图 已知用冲激函数匹配法求 二 冲激函数匹配法确定初始条件 解 将代入微分方程 t 0 得 33 方程右端的冲激函数项最高阶次是 因而有 代入微分方程 二 冲激函数匹配法确定初始条件 34 求得 因而有 所以 二 冲激函数匹配法确定初始条件 35 习题2 5 二 冲激函数匹配法确定初始条件 36 2 4零输入响应和零状态响应 37 一 系统响应的划分 自由响应 强迫响应 Natural Forced 零输入响应 零状态响应 Zero input Zero state 暂态响应 稳态响应 Transient Steady state 全响应 38 外加激励e t 0 只由起始状态x 0 产生的响应 将e t 代入方程求齐次解加特解 由冲激函数匹配法求r 0 再求全解rzs t 的待定系数 零输入响应rzi t 零状态响应rzs t 零输入响应 零状态响应 是系统方程的齐次解 由于无外加激励 则由r 0 r 0 求出齐次解rzi t 的待定系数 起始状态r 0 0 只由外加激励e t 0产生的响应 一 系统响应的划分 H 39 由系统本身特性决定 对应于齐次解 形式取决于e t 对应于特解 t 时 响应趋于零的部分 t 时 响应留下的部分 自由响应 暂态响应 稳态响应 强迫响应 一 系统响应的划分 40 例2 4 1 求系统的零输入响应 解 特征方程 特征根 零输入响应 由起始条件 得零输入响应为 二 零输入响应 41 三 零状态响应 例2 4 2 求系统的零状态响应 零状态响应的齐次解 零状态响应的特解 零状态响应 由冲激函数匹配法 则 解 rzsp t B 则2B 3 B 3 2 42 四 全响应 自由响应 暂态响应 稳态响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应 43 习题2 6 2 四 全响应 44 解 四 全响应 45 解得 四 全响应 46 2 5冲激响应和阶跃响应 47 一 冲激响应 1 定义 系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应 称为单位冲激响应 简称冲激响应 一般用h t 表示 48 响应及其各阶导数 最高阶为n次 2 冲激响应的数学模型 线性时不变系统可以用一个高阶微分方程表示 激励及其各阶导数 最高阶为m次 一 冲激响应 49 设特征根为简单根 无重根的单根 由于 t 及其导数在t 0 时都为零 因而方程式右端的自由项恒等于零 这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同 与n m相对大小有关 与特征根有关 3 h t 解的形式 一 冲激响应 h n 0 0 50 解 求特征根 冲激响应 例2 5 1求如下系统的冲激响应 将e t t r t h t 带u t 一 冲激响应 51 代入h t 得 1 用冲激函数匹配法求待定系数 52 2 用奇异函数项相平衡法求待定系数 根据系数平衡 得 53 二 阶跃响应 系统方程右端含阶跃函数u t 所以 齐次解 特解 系统在单位阶跃信号u t 作用下的零状态响应 称为单位阶跃响应 简称阶跃响应 1 定义 54 2 阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微 积分特性 二 阶跃响应 习题2 9 1 3 H 55 欧拉Euler 泊松Poisson 2 6卷积 Convolution 2 6卷积 56 一 卷积的定义 2 6卷积 Convolution 57 二 卷积的物理意义 任意信号和冲击响应的卷积是系统的零状态响应 58 三 卷积的计算 图示法 59 步骤 60 0 5 步骤 61 步骤 62 四 卷积的计算 阶跃函数表示法 1 列写KVL方程 2 冲激响应为 例2 6 1 63 4 定积分限 关键 64 波形 习题2 14 1 2 65 1 交换律 2 分配律 3 结合律 Convolutionandtheproperty 2 7卷积的性质 一 卷积代数 66 2 7卷积的性质 1 交换律f1 t f2 t f2 t f1 t 证 dx x t x 67 图2 6 1交换律的实际意义 h t e t r t 2 7卷积的性质 68 2 分配律f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f1 t f3 t 证 2 7卷积的性质 69 图2 6 2分配律 并联系统 h1 t h2 t e t e t r t r t h1 t h2 t 2 7卷积的性质 h t 70 3 结合律 f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t 证 t x x dx 2 7卷积的性质 71 图2 6 3结合律 串联系统 h2 t h1 t e t r t e t r t 2 7卷积的性质 h t 72 二 微分积分性质 1 微分性质 推广 两端对t求导 交换律 证明 73 r t 的积分 2 积分性质 二 微分积分性质 推广 74 二 微分积分性质 3 微分性质积分性质联合使用 对于求卷积很方便 特别是下面这个公式 微分n次 积分m次 m n 微分次数 积分次数 75 三 与冲激函数或阶跃函数的卷积 推广 76 例2 7 1 注意 77 注意 用微积分性质 充要条件是 78 例2 7 2图 a 由三个子系统构成 已知各子系统的冲激响应如图 b 所示 求复合系统的冲激响应 并画出它的波形 a b 解 如图 c 所示 c 79 经典法 双零法卷积积分法 第二章复习 求解系统响应 定初始条件 满足换路定则起始点有跳变 求跳变量 零输入响应 用经典法求解零状态响应 卷积积分法求解 求零状态响应 80 例题 例题2 1 连续时间系统求解 经典法 双零法 例题2 2 求冲激响应 n m 例题2 3 求冲激响应 n m 例题2 4 求系统的零状态响应例题2 5 卷积 81 例2 1 82 分别利用 求零状态响应和完全响应 需先确定微分方程的特解 这三个量之间的关系是 分析 在求解系统的完全响应时 要用到有关的三个量是 起始状态 它决定零输入响应 跳变量 它决定零状态响应 初始条件 它决定完全响应 83 解 本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应 84 方法一 该完全响应是方程 1 方程 1 的特征方程为 特征根为 完全响应 85 方程 1 的齐次解为 因为方程 1 在t 0时 可写为 显然 方程 1 的特解可设为常数D 把D代入方程 2 求得 所以方程 1 的解为 下面由冲激函数匹配法定初始条件 2 86 由冲激函数匹配法定初始条件 据方程 1 可设 代入方程 1 得 匹配方程两端的 及其各阶导数项 得 87 所以 所以系统的完全响应为 88 2 求零输入响应 3 3 式的特征根为 方程 3 的齐次解即系统的零输入响应为 89 所以 系统的零输入响应为 下面求零状态响应 90 3 求零状态响应 零状态响应 完全响应 零输入响应 即 因为特解为3 所以强迫响应是3 自由响应是 91 方法二 5 以上分析可用下面的数学过程描述 92 代入 5 式 根据在t 0时刻 微分方程两端的及其各阶导数应该平衡相等 得 于是 t 0时 方程为 93 齐次解为 特解为3 于是有 所以 系统的零状态响应为 方法一求出系统的零输入响应为 完全响应 零状态响应 零输入响应 即 94 例2 2 冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应 95 奇异函数项相平衡法 首先求方程的特征根 得 因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次 冲激响应为 对上式求导 得 1 96 则得 解得 代入 1 得 97 例2 3 2 9 3 方法一 奇异函数项相平衡法方法二 冲激函数匹配法 1 98 方法一 奇异函数项相平衡法 由于微分方程的右端比左端还高一阶 故冲激响应设成 将 2 式代入 1 式 得 解得冲激响应 阶跃响应 2 99 方法二 冲激函数匹配法 微分方程的齐次解为 下面用冲激函数匹配法求初始条件 设 上述两等式代入方程 1 经整理得 3 1 100 根据在t 0时刻 微分方程两端的冲激函数及其各阶导数应该平衡相等 解得 于是 3 式 考虑n 1 m 2 n m 故冲激响应为 说明 一般说来 第二种方法比第一种方法简单 特别是对高阶方程 X 101 对激励和响应分别微分一次 得 例2 4 已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示 求该系统对激励的零状态响应 102 103 此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算 将得出错误的结果 例2 5 104 显然 所有的时限信号都满足上式 对于时限信号 可以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算 从原理上看 如果 则应有 很容易证明 上式成立的充要条件是 此题若将f1 t 看成两个信号的叠加 则也可以利用该性质计算 105 106