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第一讲三角函数的图象与性质(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在平面直角坐标系中,角的始边为x轴的正半轴,终边经过点P(1,-2),则20cos +19sin 的值是()A.-1855B.3855C.1855D.-18【解析】选A.由题意,cos =15,sin =-25,所以20cos +19sin =2015-1925=-185=-1855.2.已知0,函数f(x)=sinx+4在2,上单调递减,则的取值范围是()A.12,54B.12,34C.0,12D.(0,2【解析】选A.当=2时,x+454,94,不合题意,排除D.当=1时,x+434,54,合题意,排除B,C.3.若将函数f(x)=2sin2x+3的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是()A.512B.3C.23D.-56【解析】选A.把该函数的图象向右平移个单位,所得图象对应的函数解析式为:y=2sin2x+3-2,又所得图象关于y轴对称,则 3-2=k+2,kZ, 所以当k=-1时,有最小正值是 512.4.设函数f(x)=sin(x+)0,00,0)的最小正周期为,所以=2,又因为对于任意的实数x都有f(x)f8,所以28+=2+2k(kZ),因为00,0,0)的部分图象如图所示,KMN为等腰直角三角形,KMN=90,则f13的值为()A.-34B.14C.-12D.34【解析】选B.由题图知函数的周期T=232-12=2,由2=2,得=.因为KMN为等腰直角三角形,KMN=90,知点M到x轴的距离是12,则f(x)=12cos(x+),因为f(x)是偶函数,00),若存在x1,x20,4,使得f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围是_.【解析】函数f(x)=sin 2x+23cos2x-3=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+3.因为x10,4,所以32x1+356,所以sin2x1+312,1,故得函数f(x1)的值域为1,2.函数g(x)=mcos2x-6-2m+3(m0),因为x20,4,所以-62x2-63,所以cos2x2-612,1,故得函数g(x2)的值域为3-32m,3-m.由题意存在x1,x20,4,使得f(x1)=g(x2)成立,则需满足:3-m1且3-32m2,解得实数m的取值范围是23,2.答案:23,27.已知a=(3cos x,2sin x),b=(2cos x,-cos x),函数f(x)=ab-3,下面四个结论中正确的是_.(把所有正确命题的序号填写在横线上)函数f(x)的最小正周期为;函数f(x)的图象关于直线x=6对称;函数f(x)的图象是由的y=2cos 2x图象向左平移6个单位得到的;函数fx+6是奇函数.【解析】f(x)=ab-3=23cos2 x-2sin xcos x-3=3cos 2x-sin 2x=2cos2x+6.因为最小正周期为T=22=,所以正确;因为当x=6时,2x+6=2,所以f6=0,所以错误;由y=2cos 2x的图象向左平移6个单位得到函数y=2cos 2x+6=2cos2x+3,所以错误;因为fx+6=2cos2x+6+6=2cos2x+2=-2sin 2x是奇函数,所以正确.答案:8.已知函数f(x)=Acos(x+)的图象如图所示,f2=-23,则f(0)=_.【解析】由图象可得最小正周期为23,于是f(0)=f23,注意到23与2关于712对称,所以f23=-f2=23,故f(0)=23.答案:23三、解答题(每小题10分,共30分)9.向量a=(sin x,3cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=ab+32.(1)求函数y=f(x)的对称轴的方程.(2)求函数f(x)在0,2上的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=sin xcos x-3cos2x+32=12sin 2x-32(1+cos 2x)+32=12sin 2x-32cos 2x=sin2x-3,对称轴的方程为2x-3=k+2,kZ,解得x=k2+512,kZ.(2)因为x0,2,则2x-3-3,23,所以sin2x-3-32,1,所以f(x)max=1,f(x)min=-32.10.已知向量a=(x+3,x),b=(-sin 2,-csin -ccos ).(1)当x=-1,=时,有|a-b|=2,求实数c的值.(2)对于任意的实数x和任意的,32,均有|a-b|24,求实数c的取值范围.【解析】(1)当x=-1,=时,a=(2,-1),b=(0,c),因为|a-b|=2,所以4+(c+1)2=2,所以c=-1.(2)对任意的xR与,32,有(x+3+2sin cos )2+(x+csin +ccos )218恒成立令m=3+2sin cos ,n=csin +ccos ,则(x+m)2+(x+n)2182x2+2(m+n)x+m2+n2-180=4(m+n)2-8m2+n2-180(m-n)214m-n-12或m-n12.令t=sin +cos 2sin cos =t2-1,t=sin +cos =2sin+4-2,-1,即m=t2+2,n=ct,m-n=t2-ct+2,则t2-ct+2-12或t2-ct+212.ctt2+52或ctt2+32ct+52t或ct+32t(t-2,-1)由单调性可得c-72或c-6.综上可得实数c的取值范围为-,-72或-6,+).11.某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180而成,如图2.已知圆O的半径为10 cm,设BAO=,02,圆锥的侧面积为S cm2.(1)求S关于的函数关系式.(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.【解析】(1)设AO交BC于点D,过O作OEAB,垂足为E,在RtAOE中,AE=10cos ,则AB=2AE=20cos ,在RtABD中,BD=ABsin =20cos sin ,所以S=12220sin cos 20cos =400sin cos202.(2)要使侧面积最大,由(1)得:S=400sin cos2=400(sin -sin3).设f(x)=x-x3,(0x0,当x33,1时,f(x)0,所以f(x)在区间0,33上单调递增,在区间33,1上单调递减,所以f(x)在x=33处取得极大值,也是最大值;所以当sin =33时,侧面积S取得最大值,此时等腰三角形的腰长AB=20cos =201-sin2=201-332=2063(cm).答:侧面积S取得最大值时,等腰三角形ABC的腰AB的长度为2063 cm.【提分备选】1.(2017山东高考)设函数f(x)=sinx-6+sinx-2,其中03.已知f6=0.(1)求.(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-4,34上的最小值.【解析】(1)因为f(x)=sinx-6+sinx-2,所以f(x)=32sin x-12cos x-cos x=32sin x-32cos x=312sinx-32cosx=3sinx-3.由题设知f6=0,所以6-3=k,kZ.故=6k+2,kZ,又00,|0)的最小正周期为23.(1)求的值.(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移2个单位长度得到,求y=g(x)的单调递增区间、对称轴和对称中心.【解析】(1)f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x=sin2 x+cos2x+sin 2x +1+cos 2x=sin 2x+cos 2x+2=2sin2x+4+2,依题意得22=23,故的值为32.(2)依题意得: g(x)=2sin3x-2+4+2=2sin3x-54+2,由2k-23x-542k+2(kZ),解得23k+4x23k+712(kZ),故y=g(x)的单调递增区间为 23k+4,23k+712(kZ),因为g(x)=2sin3x-54+2,所以由3x-54=k+2,kZ,得x=k3+712,kZ,所以y=g(x)的对称轴为x=k3+712,kZ.由3x-54=k,kZ,得x=k3+512,kZ,所以y=g(x)的对称中心为k3+512,0kZ.综上所述,y=g(x)的单调递增区间为 23k+4,23k+712(kZ),对称轴为x=k3+712,kZ,对称中心为k3+512,0,kZ.2.(10分)已知函数f(x)=sin2-xsin x-3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)讨论f(x)在6,23上的单调性.【解析】(1)f(x)=sin2-xsin x-3cos2x=cos xsin x-32(1+cos 2x)=12sin 2x-32cos 2x-32=sin2x-3-32,因此f(x)的最小正周期为,最大值为2-32.(2)当x6,23时,02x-3,从而当02x-32,即6x512时,f(x)单调递增,当22x-3,即512x23时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在6,512上单调递增;在512,23上单调递减.
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