2019-2020年高考数学第二轮复习 立体几何教学案.doc

2019-2020年高考数学第二轮复习 立体几何教学案第1课时 直线、平面、空间几何体考纲指要：立体几何在高考中占据重要的地位，考察的重点及难点是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定，而查空间线面的位置关系问题，又常以空间几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式。考点扫描：1空间两条直线的位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。2直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行。3两个平面的位置关系有两种：（1）两平面相交；（2）两平面平行。4多面体的面积和体积公式，旋转体的面积和体积公式。考题先知：EFDABCP例1在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。解：通过类比，得命题：过四面体的内切球的球心作一截面，将四面体分成的两部分的表面积比等于其体积比。证明：如图，设四面体P-ABC的内切球的球心为O，过O作截面DEF交三条棱于点E、D、F，记内切圆半径为r,则r也表示点O到各面的距离，利用体积的“割补法”知：=，从而。例2（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角？（2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：ABC中，以BAC为例。解：（1）记RtABC，BAC=900，记直角顶点A在平面上的正投影为A1，且AA1=，则因为，所以BA1C为钝角，即直角在平面内的正投影是钝角；（2）原猜想错误。对于ABC， ，记直角顶点A在平面上的正投影为A1，设AA1=，则，令BAC=BA1C，则由余弦定理得：=，解之得：，即当点A离平面的距离是时，BAC在一个平面内的正投影BA1C等于它本身；若取，则，从而，可知B A1CBAC，即BAC在一个平面内的正投影BA1C小于它本身。复习智略：PACD图11B图21ABCDD1C1B1A1主视图俯视图左视图例3一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图与左视图是腰长为6的等腰直角三角形，俯视图是正方形。（）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论；（）在（）的情形下,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.分析：本题的构图方式是通过三视图来给出，并且更为重视对空间几何体的认识.解：（）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的正方形，高PD=6，故所求体积是 （）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，即由四棱锥D1-ABCD，D1-BB1C1C，D1-BB1A1A组成。其拼法如图2所示. （）因AB1E的边长AB1=，B1E=，AE=9，所以，而，所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值=。点评：对于立体几何问题，新课标更注重将其视为认识空间的一种方式方法，因此对于立体几何问题要重点关注其构图方式， 因此，我们要特别重视空间重点线面的构成方式，可以是三视图还原位直观图，也可以是折叠问题，当然也可以是直接两个面的构成.检测评估：1 一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一个底角为450，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ）A B C D2异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都是60，则的取值可能是（ ）A30 B50 C60 D903下面的集合中三个元素不可能分别是长方体(一只“盒子”) 的三条外对角线的长度(一条外对角线就是这盒子的一个矩形面的一条对角线) 是( )A、. B、. C、. D、.4在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球的球心O，且与BC、DC、分别交于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与A-EFC的表面积分别为S1、S2，则必有（ ）AS1S2 BS1S2 CS1=S2 D无法判断5在一个棱长为4的正方体内，你认为能放入几个直径为1的球（ ）A64 B65 C66 D676命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的正投影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。则命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。7水平桌面儿上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCDA1B1C1D1，其中装有V的水。（1）把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中水的形状始终是柱体；（2）在（1）中的运动过程中，水面始终是矩形；（3）把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内的一个定点；（4）在（3）中水与容器的接触面积始终不变。以上说法正确的是_.8. 将锐角A为60，边长a的菱形ABCD沿对角线BD折成二面角，已知，则AC、BD之间的距离的最大值和最小值 9如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _ _。10如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，则这个球的表面积是 。11.如图所示的一组图形为某一四棱锥SABCD的侧面与底面，(1)请画出四棱锥SABCD的示意图，使SA平面ABCD，并指出各侧棱长；（2）在（1）的条件下，过A且垂直于SC的平面分别交于SB、SC、SD于E、F、G.（3）求（1）（2）的条件下，求二面角ASCB的大小.图112如图1，在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且ac，bd，两底面间的距离为h。（）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；（）证明：EF面ABCD；（）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面h来计算.已知它的体积公式是V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明。（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）点拨与全解：1解：由题意得原四边形是一个上底为1，下底为，高为2的直角梯形，所以其面积等于，故选A。2解：过点O分别作a、b，则过点O有三条直线与a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与所成角都为60，其中一条正是角的平分线。从而可得选项为C。B提示：令a，b，c(abc) 表示长方体三条边的长度.p，q，r(pqr) 表示三个对角线的长度. 由勾股定理, 得,.则 .经验证, 只有不满足这个关系.4解：参考例1可知：选C。5解：第一层放16个球；第二层在空档中放9个球，使每个球均与底层的16个球中的4个球相切；第三层再放16个球；第四层又放9个球；第五层再放16个球，这样共放了66个球，且五层球的高度为，故选C。6答：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等）。这是因为要使命题B与命题A等价，则只需保证顶点在底面上的正投影S是底面正三角形的外心即可，因此，据射影定理，得侧棱长相等。7解：因运动过程中水始终是矩形，且水柱部分始终与空柱部分分别与中心O成中心对称。所以（1）（2）（3）（4）均正确。8解：当时，；当时，提示：，沿BD折起，AOC是二面角的平面角，BD=AB=AD=a，故OA=OC=a，d=OA因为，所以当时，；当时，9.解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。10.解：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=a,且P在ABC内的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得 =2r,r=a。又根据球的截面的性质，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O共线，球的半径R=。又PO=a，OO=R a=d=,(Ra)2=R2 (a)2，解得R=a,S球=4R2=3a2。11（1）画出示意图，其中，SA= （2）SC平面AEFG，A又AE平面AEFG，AESC，SA平面BD，又BC平面BD，SABC.又ABBC，SAAB=A, BC平面SBC，AF在平面SBC上射影为EF. 由三垂线定理得AFE为二面角ASCB的平面角，易得AF= AE平面SBC，又SB平面SBC， AESB. AE=ASCB的大小为arcsin12.（）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1GPQ，垂足为G。如图所示：平面ABCD平面A1B1C1D1，A1B1C1=90，ABPQ，ABB1P.B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1HPQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形。PG=（bd），又B1G=h，tanB1PG=（bd），B1PG=arctan，即所求二面角的大小为arctan.（）证明：AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有ABCD，又CD是面ABCD与面CDEF的交线，AB面CDEF。EF是面ABFE与面CDEF的交线，ABEF。AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，EF面ABCD。（）V估V。证明：ac，bd，VV估=2cd+2ab+2（a+c）（b+d）3（a+c）（b+d）=（ac）（bd）0。V估V。第2课时 空间向量考纲指要：在立体几何中，以多面体和旋转体为载体，空间向量为运算技巧，解决有关线面位置关系的论证，角与距离的探求。考点扫描：1两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。2点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；3平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；zPPQyxD1C1B1A1DCBA考题先知：例1如图，设直四棱柱所有的棱长都为2，动点P在四棱柱内部，且到顶点A的距离与它到底面ABCD的距离的平方差为2，求动点P的轨迹（曲面）的面积。解 由题意可知，以A为坐标原点，AB、AQ（Q为CD的中点）、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系。设P的坐标为，P在平面ABCD内的射影为，由题意可知 即 即点P到直线的距离为, 故点P在以为轴，底面半径为，高为2的圆柱面上。又,所以P的轨迹为圆柱面的, 因此，所求的面积为 .点评：以空间图形为背景的轨迹问题，有机的将解析几何与立体几何结合在一起，能培养学生的空间想象能力与运算能力。例2已知直三棱柱中，,点N是的中点，求二面角的平面角的大小。zyxBNAEF解法1 利用平面的法向量求二面角。以为原点，以、为、轴建立空间直角坐标系（如图1）。依题意，得.于是.设为平面的法向量，则由,得，可取。同理可得平面的一个法向量由，知二面角的平面角的大小为。评注： 若二面角的两个平面的法向量分别为，则由可求得二面角的大小。解法2 利用异面直线所成角求二面角。建立空间直角坐标系同上，过A、N分别作的垂线AE、NF，垂足为E、F，则二面角的平面角大小为.设则，由,有，可得，故,由评注 对二面角，分别过半平面内点A、B向公共棱作线段AE、BF，则由,可求得二面角的大小。PABCDG复习智略：例3 在边长为a的正方形ABCD所在平面外取一点P，使PA平面ABCD，且PA=AB，在AC的延长线上取一点G。 （1）若CG=AC，求异面直线PG与CD所成角的大小；（2）若CG=AC，求点C到平面PBG的距离； （3）当点G在AC的延长线上运动时（不含端点C），求二面角P-BG-C的取值范围。PABCDGEHF分析：本题如利用“几何法”，则通过“平移变换”将异面直线角化归为三角形的内角，由解三角形的方法求之，凡“点面距离”可利用等积法求之，至于二面角，则通过“作-证-算”三步曲求得；本题如利用“向量法”，则建立适当的空间直角坐标系，写出各点坐标，再根据公式而求之。方法一：（1）过点G作GECD交AD的延长线于点E，连PE，则PGE是异面直线PG与CD所成的角，则由条件得GE=2a，PG=3a，cos PGE=,所以异面直线PG与CD所成角等于；（2）设h,则利用等积法知，在PBG中，PB=，PG=3a，BG=，得，又在CBG中，从而由得；（3）作CFAC交PG于F，作FHBG交BG于H，连CH，因为PA平面ABCD，所以PAAC，所以PACG，得CG平面ABCD，由三垂线定理得FHC是二面角P-BG-C的平面角，设，则由CGFAGP得，在CBG中，得所以，从而，所以二面角P-BG-C的取值范围是。PABCDGzxy方法二：建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，O、0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a）。（1） 由条件得G（2 a ，2 a ，0），所以，所以异面直线PG与CD所成角等于；（2）设平面PBG的法向量为因，所以由得，即又，所以点C到平面PBG的距离为；（3） 由条件设G（t,t,0）, 其中，平面PBG的法向量为因，所以由得，即而平面CBG的法向量，所以，因为，所以，易知二面角P-BG-C的平面角是锐角，所以二面角P-BG-C的平面角等于，所以二面角PP-BG-C的取值范围是。点评:本题主要考查异面直线所成角的空间想象能力,利用体积法求点面距离的运算能力,二面角的估算能力,第(3)问有机的将函数的值域与立体几何结合,较好地考查学生综合分析与解决问题的能力.检测评估：1.已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，则x+y的值是（）A. 3或1 B.3或1 C. 3 D.12直三棱住A1B1C1ABC，BCA=，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ） （A ） （B） （C） （D）3 正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为( )A B 1 C D 4已知四个命题，其中正确的命题是（ ） 若直线l /平面，则直线l 的垂线必平行平面； 若直线l与平面相交，则有且只有一个平面，经过l 与平面垂直； 若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥； 若四棱柱的任意两条对角线都相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体 ABCD5 平面上的斜线AB交于点B，过定点A的动直线AC与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是（ ） AA 一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支6有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是 。7平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：1； 2； 3； 4； 以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）8已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示） 9ACBPEF图如图，已知边长为的正三角形中，、分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行。 求与平面间的距离？10设异面直线、成角，它们的公垂线段为且，线段AB的长为4，两端点A、B分别在、上移动，则AB中点P的轨迹是 。ABCDGP11已知在四面体ABCD中，= a，= b，= c，G平面ABC则G为ABC的重心的充分必要条件是(a+b+c)；12在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（）证明：ACSB；（）求二面角NCMB的大小；（）求点B到平面CMN的距离.点拨与全解：1.解：由题知或；故选A2连结D1F1，则D1F1，BC D1F1设点E为BC中点，D1F1BE，BD1EF1，EF1A或其补角即为BD1与AF1所成的角。由余弦定理可求得。故选A。3 解： 过点M作MMEF,则MM平面BCFMBE=MBC BM为EBC为角平分线，EBM=45,BM=,从而MN=，故选A。4可证它们它们都是平行四边形，从而命题正确。故选D。5利用手中的实物可判断A正确。6对于“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以错误。正确。ABCDA17如图，B、D到平面的距离为1、2，则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；B、C到平面的距离为1、2，D到平面的距离为，则，即，所以D到平面的距离为1；C、D到平面的距离为1、2，同理可得B到平面的距离为1；所以选。8解析：建立坐标系如图，A1B1C1D1ABCDExyz则、，。不难证明为平面BC1D的法向量， 。 D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为。9解：设、的单位向量分别为、，选取，作为空间向量的一组基底。易知，=，设是平面的一个法向量，则，即，直线与平面间的距离=10，解 如图1，AB的中点P过EF的中点O且与、平行的平面内，于是空间的问题转化为平面问题。取EF的中点O，过O作则 、确定平面,yxOP图21yxOPyxOPyxOPyxOPyxOPyxOPyxOP且A在内的射影必在上，B在内的射影必在上，AB的中点P必在H ,如图1所示。又 易得 ,现求线段在移动时，其中点P的轨迹。以的平分线为轴，O为原点，建立直角坐标系，如图2所示。不妨设。在中， 。设的中点P的坐标为，则，即，代入消去、，得，于是得到的是椭圆夹在内的弧，在另外的情形中，同样得到椭圆的其余弧，故点P的轨迹是EF的中垂面上以O为中心的椭圆。11证明：必要性：连AG交BC于D，则D平分BC，且G分所成的比为21，从而，故充分性：设D分所成的比为p，G分所成的比为q则， ，于是， =因(a+b+c)，故，解得q =2，p = 1，于是G为ABC的重心12。解：（）取AC中点O，连结OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面 ABC=ACSO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系Oxyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（4，0，0），=（0，2，2），=（4，0，0）（0，2，2）=0，ACSB.（）由（）得=（3，0），=（1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量， n=3x+y=0，则 取z=1，则x=，y=-，n=x+z=0，n=(，1)，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， cos=.二面角NCMB的大小为arccos.（）由（）（）得=（1，0），n=（，1）为平面CMN的一个法向量，点B到平面CMN的距离d=.8.如图，在底面是菱形的四棱锥PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA平面ABCD； （2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小； （3）在棱PC上是否存在一点F，使BF/平面AEC？证明你的结论.证明： （） 因为底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.同理，PAAD，所以PA平面ABCD.（）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.知EG平面ABCD.作GHAC于H，连结EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以从而 （）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以 设点F是棱PC上的点，则 令 得解得 即 时，亦即，F是PC的中点时，、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC.解法二 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC，证明如下，证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM/CE. 由 知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.所以 BM/OE. 由、知，平面BFM/平面AEC.又 BF平面BFM，所以BF/平面AEC.证法二因为 所以 、共面.又 BF平面ABC，从而BF/平面AEC.