2019-2020年高三数学上学期第一次统一考试科试题 理（含解析）新人教A版.doc

2019-2020年高三数学上学期第一次统一考试科试题 理（含解析）新人教A版一、选择题（共25题，每题2分，共50分）1设集合U=1，2，3，4，5，A=1，3，5，B=2，3，5，则U（AB）=（）A 4B3，5C1，2，4D分析：利用两个集合的交集的定义求出AB，再利用补集的定义求出CU（AB）解答：解：集合U=1，2，3，4，5，A=1，2，B=2，3AB=3，5CU（AB）=1，2，4，故选C点评：此题考查集合的基本运算，是一道比较基础的题2复数的虚部是（）AiBiCD分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求解答：解：=复数的虚部是故选：C点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3已知两条不同直线l1和l2及平面，则直线l1l2的一个充分条件是（）A l1且l2Bl1且l2Cl1且l2Dl1且l2分析：依据题中条件，逐一分析各个选项，考查由此选项能否推出直线l1l2，可以通过举反例排除某些选项解答：解：对选项A，l1与l2还可能相交或成异面直线，故A错根据直线与平面垂直的性质定理，B正确另外，对于选项C，l1与l2不一定平行，故C错对于选项D，l1与l2还可能为异面直线，故D错故选：B点评：本题考查判断两条直线平行的方法，通过举反例排除某些选项是解选择题常用的一种简单有效的方法4有一个正方体棱长为1，点A为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P，则点P到点A的距离大于1的概率为（）A 1BC1D1分析：根据题意，分析可得，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与点A距离小于等于1的点在以A为球心，半径为1的八分之一个球内，计算可得其体积，易得正方体的体积；由几何概型公式，可得点P到点A的距离小于等于1的概率，借助对立事件概率的性质，计算可得答案解答：解：根据题意，分析可得，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与点A距离小于等于1的点在以A为球心，半径为1的八分之一个球内，其体积为V1=；正方体的体积为13=1，则点P到点A的距离小于等于1的概率为：，故点P到点A的距离大于1的概率为1，故选：D点评：本题考查几何概型的计算，关键在于掌握正方体的结构特征与正方体、球的体积公式5给出性质：最小正周期为；图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质的是（）A y=sin（2x+）By=sin（2x+）Cy=sin（2x）Dy=sin（x+）考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：首先利用排除法：先看最小正周期为，符合条件的为：A、B、C再看图象关于直线x=对称，即当x=时，函数达到最大值或最小值，符合条件的为：B解答：解：利用排除法：最小正周期为，符合条件的为：A、B、C图象关于直线x=对称，即当x=时，函数达到最大值或最小值，符合条件的为：B故选：B点评：本题考查的知识要点：正弦型函数的周期和对称轴在实际问题中的应用6已知命题p：x0，x+2，命题q：“x=2“x25x+6=0“的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A p（q）Bq（p）CpqDp（q）分析：根据基本不等式，以及充分条件的概念即可判断出命题p，q都是假命题，然后根据pq，pq，p，q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项解答：解：x0时，x+，所以命题p是假命题；解x25x+6=0得，x=2，或3，所以x=2能得到x25x+6=0，所以x=2是x25x+6=0的充分条件；命题q是假命题；p（q）为假命题，q（p）为假命题，pq为假命题，q为真命题，p（q）为真命题；即为真命题的是D故选D点评：考查基本不等式，充分条件、必要条件的概念，以及pq，pq，p，q的真假和p，q真假的关系7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A B1CD3分析：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3，底面三角形的一条边长为3，该边上的高为1，把数据代入棱锥的体积公式计算可得答案解答：解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3，底面三角形的一条边长为3，该边上的高为1，几何体的体积V=313=故选C点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量8已知某算法的程序框图如图，若将输出的（x，y）值一次记为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（xn，yn）若程序进行中输出的一个数对是（x，8），则相应的x值为（）A 80B81C79D78考点：程序框图专题：算法和程序框图分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是依次输出的（x，y）值，其中每一组有序实数对中，x是每次变为原来的3倍，y每次减小2解答：解：程序在运行过程中各变量值如下表：输出结果 n x y循环前：1 1 0第1次：（1，0）3 32第2次：（3，2）5 94第3次：（9，4）7 276第4次：（27，6）9 818则x=81故选：B点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模，本题属于基础题9设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A 2，5B1，5C，5D，2考点：简单线性规划专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域，令z=1+2，表示可行域内的点（x，y）与点（1，1）连线的斜率，由几何意义可得解答：解：由题意作出其平面区域，三角形的顶点坐标分别为（0，1）（1，0）和（2，1），令z=1+2，表示可行域内的点（x，y）与点（1，1）连线的斜率，则2，即2，则21+25，故选A点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题10ABC中，AB=，AC=1，B=30，则ABC的面积等于（）A BCD考点：解三角形专题：计算题分析：由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长，然后利用三角形的面积公式，由AB，BC以及sinB的值即可求出ABC的面积解答：解：由AB=，AC=1，cosB=cos30=，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB，即1=3+BC23BC，即（BC1）（BC2）=0，解得：BC=1或BC=2，当BC=1时，ABC的面积S=ABBCsinB=1=；当BC=2时，ABC的面积S=ABBCsinB=2=，所以ABC的面积等于或故选D点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题11已知函数y=f（x）（xR）满足f（x）=f（x+1），且x1，1时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A 3B4C5D6考点：抽象函数及其应用专题：函数的性质及应用分析：将式子“f（x）=f（x+1）”变形化简，求出函数的周期，再根据条件在同一个坐标系中画出两个函数的图象，根据图象直接得到图象的交点个数解答：解：由f（x）=f（x+1）得，f（x+1）=f（x），则f（x+2）=f（x+1）=f（x），函数f（x）是以2为周期的周期函数，由x1，1时，f（x）=x2，在同一个坐标系中画出y=f（x）与y=log5x的图象：根据上图得，y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点，故选答案B点评：本题考查了周期函数的周期求法和应用，以及对数函数图象，关键是正确作出函数图象，注意掌握周期函数的常见结论：若f（x+a）=f（x），则周期为2a12过双曲线=1（a0，b0）的左焦点F1（c，0）（c0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，直线F1E交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A BCD考点：圆锥曲线的综合专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先确定E为F1P的中点，所以OE为PF1F2的中位线，进而得到|PF2|=a，|F1F2|=2c，|PF1|=2a+a=3a，PF1切圆O于E，可得PF2PF1，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率解答：解：=（+），E为F1P的中点，O为F1F2的中点，OE为PF1F2的中位线，OEPF2，|OE|=|PF2|，|OE|=a |PF2|=aPF1切圆O于EOEPF1PF2PF1，|F1F2|=2c，|PF1|PF2|=2a|PF1|=2a+a=3a，由勾股定理a2+9a2=4c210a2=4c2，e=故选：C点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于中档题二填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的左焦点重合，则p的值为4考点：抛物线的简单性质；椭圆的简单性质专题：计算题分析：首先根据椭的标准圆方程求出椭圆的左焦点坐标，再结合题中条件可得抛物线的焦点坐标为（2，0），进而根据抛物线的有关性质求出p的值解答：解：由椭圆的方程可得：a2=6，b2=2，c2=4，即c=2，椭圆的左焦点坐标为（2，0）抛物线y2=2px的焦点与椭圆 的左焦点重合，抛物线y2=2px的焦点（，0）即为（2，0），即=2，p=4故答案为：4点评：本题主要考查椭圆的性质与抛物线的有关性质，解决此题的关键是熟练掌握椭圆与抛物线的焦点坐标的求法，此题属于基础题14（5分）曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1考点：导数的几何意义专题：计算题分析：根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；解答：解：y=ex+xex+2，y|x=0=3，切线方程为y1=3（x0），y=3x+1故答案为：y=3x+1点评：本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题15（5分）（xx南宁模拟）二项式（2）6展开式中常数项是160考点：二项式定理专题：计算题分析：利用二项式定理展开式，直接求出常数项的值即可解答：解：因为=208（1）=160所以展开式中常数项是160故答案为：160点评：本题考查二项式定理展开式的应用，特定项的求法，考查计算能力16（5分）若向量=（x1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为6考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由于=0，即可得出x，y的关系，再利用基本不等式即可得出9x+3y的最小值解答：解：，（x1，2）（4，y）=0，化为4（x1）+2y=0，即2x+y=29x+3y2=2=2=6，当且仅当2x=y=1时取等号故答案为6点评：本题考查了=0，基本不等式的性质，属于基础题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）已知等差数列an的首项为a，公差为d，且方程ax23x+2=0的解为1，d（1）求an的通项公式及前n项和Sn公式；（2）求数列3n1an的前n项和Tn考点：数列的求和；等差数列的前n项和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）方程ax23x+2=0的两根为1，d利用韦达定理得出a=1，d=2由此能求出an的通项公式及前n项和Sn公式（2）令，则Tn=11+33+532+（2n1）3n1，由此利用裂项求和法能求出数列3n1an的前n项和Tn解答：（本小题满分12分）解：（1）方程ax23x+2=0的两根为1，d利用韦达定理得，解得a=1，d=2由此知an=1+2（n1）=2n1，（6分）（2）令，则，（8分）两式相减，得（10分）=22（n1）3n（12分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和错位相减法的合理运用18（12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人（）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（）设这2人中享受折扣优惠的人数为，求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题：计算题分析：（）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，分别求出事件A、B的概率，并且由题意可得事件A，B互斥，进而得到正确答案（2）根据题意可得：的可能取值为0，1，2结合题意分别求出其发生的概率，进而列出分布列得到其期望解答：解析：（）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则，因为事件A，B互斥，所以故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是（）据题意，的可能取值为0，1，2其中，所以的分布列是：012p所以点评：解决此类问题的关键是熟练掌握互斥事件的有关概念，以及正确计算有关事件发生的概率19（12分）已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点（I）求证：EF平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定专题：计算题；证明题分析：（I）先根据平面PAD平面ABCD，ABAD得到AB平面PAD；再结合EFAB，即可得到EF平面PAD；（II）过P作AD的垂线，垂足为O，根据平面PAD平面ABCD，得PO平面ABCD；再取AO中点M，连OG得到OG即为面EFG与面ABCD的交线；最后根据EM平面ABCD且OGAO，得到的OGEO求出EOM 即可解答：解：（I）证明：平面PAD平面ABCD，ABAD，AB平面PAD，（4分）E、F为PA、PB的中点，EFAB，EF平面PAD； （6分）（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，平面PAD平面ABCD，则PO平面ABCD取AO中点M，连OG，EO，EM，EFABOG，OG即为面EFG与面ABCD的交线（8分）又EMOP，则EM平面ABCD且OGAO，故OGEOEOM 即为所求 （11分）在RTEOM中，EM=OM=1tanEOM=，故EOM=60平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60（14分）点评：本题主要考察直线与平面垂直的判定以及二面角的求法解决第二问的难点在于找到两半平面的交线，进而求出二面角的平面角20（12分）已知过点F1（1，0）且斜率为1的直线l1与直线l2：3x+3y+5=0交于点P（）求以F1、F2（1，0）为焦点且过点P的椭圆C的方程（）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由考点：椭圆的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）由题意得直线l1的方程为y=x+1，与直线l2：3x+3y+5=0联立可解出点P的坐标，从而求椭圆的方程；（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有kQtkQs=k（k为定值），则可得 =k，化简可得（k+）x2k（s+t）x+kst1=0对任意x（，）恒成立，从而解出k，s，t解答：解：（I）直线l1的方程为y=x+1，与直线l2：3x+3y+5=0联立可解得，x=，y=，则P（，），则|PF1|+|PF2|=+=2，则a=，c=1，b=1；则椭圆C的方程为（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有kQtkQs=k（k为定值），即 =k，将y2=1代入并整理得（k+）x2k（s+t）x+kst1=0（*）由题意，（*）式对任意x（，）恒成立，所以k+=0，k（s+t）=0，kst1=0；解得k=，s=，t=；或k=，s=，t=；所以有且只有两定点（，0），（，0），使得kQtkQs为定值点评：本题考查了椭圆的定义及基本性质，同时考查了化简与运算的能力，同时考查了恒成立问题，注意要细心，属于难题21（12分）已知函数f（x）=lnxbx（a0）（I） 若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f（x0）0考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性专题：综合题；压轴题；导数的综合应用分析：（I）当b=2时，求导函数，根据函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f（x）0有解，又因为x0时，则ax2+2x10有x0的解，分类讨论，即可求得a的取值范围；（II） 设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0x1x2，则点AB的中点横坐标为，利用f（x2）f（x1）=0，可得lnx2lnx1=，从而f（x0）=，构建新函数，即可证得f（x0）0解答：解：（I）当b=2时，f（x）=lnx2x（x0），则因为函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f（x）0有解又因为x0时，则ax2+2x10有x0的解当a0时，y=ax2+2x1为开口向上的抛物线，ax2+2x10总有x0的解；当a0时，y=ax2+2x1为开口向下的抛物线，若ax2+2x10总有x0的解；则需=4+4a0，且方程ax2+2x1=0至少有一正根此时，1a0综上所述，a的取值范围为（1，0）（0，+） （II） 设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0x1x2，则点AB的中点横坐标为f（x2）f（x1）=lnx2lnx1=0lnx2lnx1=f（x0）=设，则y=，t1令r（t）=，则因为t1时，r（t）0，所以r（t）在1，+）上单调递减故r（t）r（1）=0而0故f（x0）0点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度四、选考题：满分30分，在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）如图，已知O和M相交于A、B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交O、BD于点E、F连接CE（1）求证：AGEF=CEGD；（2）求证：考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段专题：证明题；压轴题分析：（1）要证明AGEF=CEGD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题（2）由（1）的推理过程，我们易得DAG=GDF，又由公共角G，故DFGAGD，易得DG2=AGGF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论解答：证明：（1）连接AB，AC，AD为M的直径，ABD=90，AC为O的直径，CEF=AGD，DFG=CFE，ECF=GDF，G为弧BD中点，DAG=GDF，ECB=BAG，DAG=ECF，CEFAGD，AGEF=CEGD（2）由（1）知DAG=GDF，G=G，DFGAGD，DG2=AGGF，由（1）知，点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程23（10分）已知曲线C的极坐标方程为=4cos，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化专题：直线与圆分析：（1）利用公式x=cos，y=sin即可把曲线C的极坐标方程化为普通方程；消去参数t即可得到直线l的方程；（2）利用弦长|PQ|=2和圆的内接矩形，得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩形的面积解答：解：（1）对于C：由=4cos，得2=4cos，进而x2+y2=4x；对于l：由（t为参数），得，即（5分）（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，则弦心距，弦长，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积（10分）点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等24（10分）已知函数f（x）=|x2|，g（x）=|x+3|+m（1）解关于x的不等式f（x）+a10（aR）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题专题：计算题；压轴题分析：（1）不等式转化为|x2|+|a10，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x2|+|x+3|m恒成立，利用不等式的性质求出|x2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围解答：解：（）不等式f（x）+a10即为|x2|+a10，当a=1时，解集为x2，即（，2）（2，+）；当a1时，解集为全体实数R；当a1时，解集为（，a+1）（3a，+）（）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x2|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x2|+|x+3|m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x2|+|x+3|（x2）（x+3）|=5，于是得m5，故m的取值范围是（，5）点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强