北大材料力学课件ch9应力状态.ppt

2020 1 27 材料力学 材料力学 第九章应力与应变分析AnalysisofStress Strain 2020 1 27 材料力学 导言Introduction 前面我们介绍了在拉 压 剪切 扭转 弯曲四种基本变形下的强度计算和刚度计算 以及其相应的应力 变形计算公式 对图示梁上C 截面上的k点 翼缘与腹板交点下侧 既有M Pa 引起的s又有Q P 引起的t 其强度条件应是什么形式 组合变形 拉弯 扭弯 的截面如何确定最危险点及建立相应的强度条件 为解决这些问题 需要 研究构件上一点的应力随截面方位的变化而改变的规律 即一点的应力状态 2020 1 27 材料力学 我们可以用三对相互垂直的平面 绕此点 M 取出一个微小的正六面体 如图 通常叫 微单元体Element 用此微元体三个相互垂直的平面上的应力来表征此点 M 的应力状态 并可将其用一个二阶张量 Tensor 来描述 9 1应力状态的概念I Stressstateatapoint 因为两者表示同一点M的应力状态 其各分量间必然有一定的相互转换规律 这些规律的数学形式是什么 弹性理论已经证明 物体内任一点的应力存在三个主平面 Principalplanes 其上 0 其上的应力 1 2 3 叫该点的主应力 Principalstresses 且这三个主平面相互垂直 围成一个叫主单元体 ElementofPrincipalStresses 的微元体 在 1 7我们讲了某点的应力随所选截面方向改变而改变 过一点各方向截面上应力矢量的集合称为该点的应力状态 但怎样描述一点的应力情况 一点的应力状态 当M点的微元体坐标Oxyz改变为Ox1y1z1时 有 2020 1 27 材料力学 9 1应力状态的概念II PrincipalStressandClassificationofStressesState 根据一点的主应力大小 我们通常将一点的应力状态分为三类 1 单向应力状态UniaxialStressState 1 0 2 3 0 拉 or 1 2 0 3 0 压 如轴向拉压杆上任一点 梁的上下边沿各点2 双向应力状态BiaxialStressState or平面应力状态PlaneStressState 1 2 3中有 且只有一个为0 如前面梁上AC段内上下边沿以外的各点 3 三向应力状态TriaxialStressState or空间应力状态SpacialStressState 1 2 3均不为0 如 火车车轮与钢轨的接触应力 其中1又叫简单应力状态SimpleStressState2 3又叫复杂应力状态ComplexStressState 2020 1 27 材料力学 9 2平面应力状态分析 I基本公式 StressAnalysisofPlaneStressState 如右图 我们由微三棱柱bef来求截面法线n与x轴夹a角的任意斜截面上的应力sa ta与sx sy tx ty a的关系 其中a以由x轴正向到斜截面外法线为逆时针转为正 反之为负 sa以受拉为正 反之为负 ta 与tx ty一样 以绕微元体内任一点为顺时针转为正 反之为负 设ef面的面积为dA 则 eb面 dAcosafb面 dAsina 在杆件中 我们经常遇到的一点之应力状态为单向应力状态或平面应力状态 一般的空间应力状态在杆件中很少出现 通常在弹性力学中讨论 我们现在来研究平面应力状态下与零主应力平面垂直的任意斜截面上的应力 由得 2020 1 27 材料力学 9 2平面应力状态分析 I基本公式 StressAnalysisofPlaneStressState 由得 由剪应力互等定理知 ty tx 注意到图中tx方向为正 故 ty tx 利用 化简上两式 得 如以代入上两式 易得与a斜面垂直的另一斜面上的正应力和剪应力 且有 2020 1 27 材料力学 9 2平面应力状态分析 II应力圆 StressAnalysisofPlaneStressState StressCircle 下面介绍应力圆的作法 由基本公式易得 将此两式分别平方 然后对应相加 可得 此式表示一圆的方程 如图所示 此圆叫相应单元体的应力圆 or摩尔圆Mohr sCircle 在Ost坐标系中 其圆心在s轴上 圆心与坐标原点O的距离为 其半径为 2020 1 27 材料力学 9 2平面应力状态分析 II应力圆 StressAnalysisofPlaneStressState StressCircle 对图a所示平面应力状态微元体 已知 sx sy tx时 作应力圆如下 O C D1 D2 2020 1 27 材料力学 9 2平面应力状态分析 II应力园 StressAnalysisofPlaneStressState StressCircle 作好应力圆后 可用极点法在图上求解出此微元体上与x轴夹角为a的任意斜截面上的sa ta如下 Ifx s 作D1P dc P为与D1P应力圆的交点 叫极点 P 极点pole E sa ta 应力圆上E点的坐标 即为sa ta 2020 1 27 材料力学 9 2平面应力状态分析 II应力园 StressAnalysisofPlaneStressState StressCircle 下面证明前述图解法的正确性 如图 应有 2020 1 27 材料力学 9 2平面应力状态分析 II应力园 StressAnalysisofPlaneStressState StressCircle 从以上作图及证明可以看出 应力圆上的点与单元体上的面之间存在一一对应关系 单元体某一面上的应力 必对应于应力圆上其一点的坐标 单元体上任意A B两个面的外法线之间的夹角若为b 则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间的圆弧段所对的圆心角必为2b 且两者的转向一致 如图 实质上 这种对应关系是应力圆的参数表达式 9 l 和 9 2 以两倍方位角为参变量的必然结果 根据这种对应关系 只要由单元体的x平面和y平面上已知的应力sx tx和sy ty tx 作出应为圆 就可很容易地从应力圆确定任一a截面上的应力sa ta 应力圆直观地反映了一点处应力状态的特征 在实际应用中 并不一定把应力圆看作为纯粹的图解法 可以利用应力圆来理解有关一点处应力状态的一些特征 或从图上的几何关系来分析一点处的应力状态 2020 1 27 材料力学 9 2平面应力状态分析 III主应力与主平面PrincipalStressandPrincipalPlane 图解法 GraphicalMethod 因为主平面上t 0 故应力圆与s轴的两个交点A1 A2即为相应单元体上的主应力 对应方向即主方向 P 极点pole sI sII 由应力圆易得 主应力是单元体上之最大和最小正应力 两主平面互相垂直 2020 1 27 材料力学 例题9 1 例题9 2 自学 9 2平面应力状态分析 III主应力与主平面PrincipalStressandPrincipalPlane 作业 9 2 9 9 c 9 10 g 解析法 AnalyticMethod 因为主平面上t 0 若已知微元体在x轴和y轴上的应力sx tx和sy ty tx 则x轴和主方向的夹角ao应满足 与用转轴公式推导惯性主轴和主矩类似 易得 结合z轴为主应力为零的一个已知主方向 且三个相互垂直的主应力必须满足 可进一步确定s1 s2 s3的数值和方向 2020 1 27 材料力学 9 3梁的主应力 主应力迹线的概念PrincipalStressinBeam PrincipalStressTrajectories 对横力弯曲梁 其任一横截面上的应力为 且在纵截面上 故其沿梁高的应力变化情况如图所示 其上一般点的主应力为 可见 梁上任一点一般有一主拉应力和一主压应力 梁的主应力迹线是指这样一簇曲线 其上的每一点之切线方向均与该点的主应力方向重合 2020 1 27 材料力学 9 3梁的主应力 主应力迹线的概念PrincipalStressinBeam PrincipalStressTrajectories 作业 9 13 因此 梁上存在两组相互正交的主应力迹线簇 主拉应力迹线和主压应力迹线 显然 主应力迹线的形状与梁上荷载情况及其支承条件有关 在设计钢筋混凝土构件时 其上的主拉应力迹线可指导构件的配筋 在光弹实验中常用到主应力迹线的概念 2020 1 27 材料力学 9 4空间应力状态的研究IntroductiontoAnalysisofTriaxialStressState 如图所示 一般的空间应力状态是一个二阶张量 它可用一3 3的矩阵来表示 通常 在剪应力tij的两个下标中 第一个下标i表示剪应力所在的平面 第二个下标j表示剪应力的方向 2020 1 27 材料力学 例题9 4 自学 9 4空间应力状态的研究IntroductiontoAnalysisofTriaxialStressState I 三向应力圆 Three DimensionalStressCircle 可见 2020 1 27 材料力学 解 该单元体有一个已知的主应力sz 20MPa 因此 与该主平面正交的各截面上的应力与主应力sz无关 于是 可依据x截面和y截面上的应力画出应力圆 图b 从图上可量得两个主应力值为46MPa和 26MPa 将该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为 s1 46MPa s2 20MPa s3 26MPa 9 4空间应力状态的研究IntroductiontoAnalysisofTriaxialStressState 例题9 3单元体各面上的应力如图a所示 作应力圆 并求出主应力和最大剪应力值及其作用面方位 2020 1 27 材料力学 9 4空间应力状态的研究IntroductiontoAnalysisofTriaxialStressState 根据上述三个主应力值 便可作出三个应力圆如图b所示 在三个应力圆中的最大应力圆上 B点的纵坐标 该圆的半径 即为该单元体的最大剪应力 按比例尺量出为tmax BC 36MPa 从图b的应力图上量得2ao 34o 据此便可确定s1所在的主平面方位和主单元体各面间的相互位置 其中最大剪应力所在截面与s2平行 与s1和s3所在的主平面各成45o夹角 如图c所示 2020 1 27 材料力学 9 4空间应力状态的研究IntroductiontoAnalysisofTriaxialStressState 作业 9 17 a 例题9 3单元体各面上的应力如图a所示 求主应力和最大剪应力值及其作用面方位 解 该单元体有一个已知的主应力sz 20MPa 因此 与该主平面正交的各截面上的应力与主应力sz无关 于是 可依据x截面和y截面上的应力求出另两个主应力值为 将该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为 s1 46MPa s2 20MPa s3 26MPas1所在的主平面方位 2020 1 27 材料力学 9 5平面应力状态下的应变研究Two DimensionalStrainAnalysis 一点的应力状态是由该点领域的变形情况决定的 此点的应变状态即为该点邻域的变形 应变 情况的描述 弹性理论已证明 任一点的应变状态也存在三个相互垂直的主方向 在此方向上的剪应变g 0 且对各向同性材料 应变主方向与应力主平面的法线方向重合 我们现在来研究已知z轴为一主方向时 gxz gyz 0 并已知ex ey gxy时求任意与x方向夹角为a的x 方向 及y 方向x 轴 的ea ga 可以证明 可见 若将ex ey gxy 2 ea ga 2代换sx sy tx ty sa ta 则前面关于平面应力状态的结论均可相对应地应用于平面变形状态的应变研究中 2020 1 27 材料力学 9 6应力与应变间的关系GeneralizedHooke sLawofIsotropicalMaterials VolumetricStrain I 各向同性材料的广义胡克定律 一点的主应变为沿剪应变 0的方向上之线应变 应用弹性理论可以证明 对各向同性材料 主应变方向与主应力方向重合 故 1方向的主应变 1为 同理 得 对平面应力状态 不妨设s3 0 则有 可见 在s3 0的平面应力状态下 e3 0 各向同性材料的三个弹性常数 存在以下关系 2020 1 27 材料力学 9 6应力与应变间的关系GeneralizedHooke sLawofIsotropicalMaterials VolumetricStrain I 各向同性材料的广义胡克定律 对非主单元体 在线弹性 小变形 各向同性的条件下 弹性理论已证明 沿坐标轴方向 正应力只引起线应变 而剪应力只引起同一平面内的剪应变 故有 对sz 0 txz tyz 0的平面应力状态 有 2020 1 27 材料力学 9 6应力与应变间的关系GeneralizedHooke sLawofIsotropicalMaterials VolumetricStrain 对构件上ez 0 gxz gyz 0的点 叫平面应变状态点 其上的广义胡克定律为 II 各向异性材料的广义胡克定律 P31 33 自学 III 各向同性材料的体积应变 VolumetricStrain 微元体单位体积的体积变化 叫体积应变 设微元三边长dx dy dz 对应之正应力为 x y z 因小变形时对各向同性材料 xy yz zx 所引起之线应变 x y z 与正应力引起之 x y z相比为高阶微量 可忽略不计 故 V0 dx dy dz V1 dx dy dz 1 x dx 1 y dy 1 z dz V0 1 x y z o 故 体积应变 V1 V0 V0 x y z 2020 1 27 材料力学 9 6应力与应变间的关系 III 各向同性材料的体积应变 VolumetricStrain 将广义胡克定律代入上式 得 此式即线弹性小变形条件下的广义体积胡克定律 VolumetricHooke sLaw 上式表明 任一点处的体积应变与该点处的三个主应力之和成正比 对于平面纯剪切应力状态 s1 s3 txy s2 0 由上式可见 材料的体积应变等于零 即在小变形条件下 剪应力不引起各向同性材料的体积改变 例题9 7边长a 0 1m的铜立方块 无间隙地放入体积较大 变形可略去不计的钢凹槽中 如图a所示 已知铜的弹性模量E 100GPa 泊松比m 0 34 当受到P 300kN的均布压力作用时 求该铜块的主应力 体积应变以及最大剪应力 分析 铜块受到轴向压缩将产生膨胀 但是又受到刚性凹槽壁的阻碍 使得铜块在x z方向的应变等于零 于是 在铜块与槽壁接触面间将产生均匀的压应力sx和sz 如图b所示 解 参见教材PP34 35 2020 1 27 材料力学 9 6应力与应变间的关系 III 各向同性材料的体积应变 VolumetricStrain 作业 9 23 9 24 9 32 2020 1 27 材料力学 例题9 8壁厚t 10mm 外径D 60mm的薄壁圆筒 在表面上k点处与其轴线成45o和135o角 即x y两方向 分别贴上应变片 然后在圆筒两端作用矩为m的扭转力偶 如图a所示 已知圆筒材料的弹性常数为E 200GPa和m 0 3 若该圆筒的变形在弹性范围内 且tmax 80MPa 试求圆筒k点处的线应变ex和ey以及变形后的筒壁厚度 解 此薄壁圆筒上k点处的微元体的应力状态为纯剪应力状态 如图b 9 7应力与应变间的关系 III 各向同性材料的体积应变 VolumetricStrain 故筒壁厚度不变 仍为t 10mm 故有 2020 1 27 材料力学 在比例加载的情况下 对应于每一主应力 其比能等于该主应力乘以与之相应的主应变之半 而与其它主应变无关 因此 在三个主应力同时存在时 单元体的比能应为 9 7空间应力状态下的比能StrainEnergyIntensityofTriaxialStressState 物体受外力作用而产生弹性变形时 在物体内部将积蓄有应变能 每单位体积物体内所积蓄的应变能称为比能 在单轴应力状态下 物体内所积蓄的比能为 在纯剪应力状态下 物体内所积蓄的比能为 对于在线弹性范围内 小变形条件下受力的物体 所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值 而与加力顺序无关 因为 i与 i呈线性关系 将用主应力表达主应变的广义胡克定律式 9 16a 代入上式 经整理简化后得 下面以另一加载方式来验证之 2020 1 27 材料力学 9 7空间应力状态下的比能StrainEnergyIntensityofTriaxialStressState 如下各图 设构件上某点在加载过程中 相应微元体应力变化过程为 弹性体总比能的一般表达式为 由此可知 弹性比能只与点的应力 1 or应变 1 2 3 有关而与加载方式 次序 无关 2020 1 27 材料力学 9 7空间应力状态下的比能StrainEnergyIntensityofTriaxialStressState 作业 9 33 下面研究微元体总比能的分解 一点之单元体的总比能可分解为两部分之和 一部分是由于微元体体积改变产生 or储备 的比能uV 叫 体积改变比能VolumetricStrainEnergyIntensity 另一部分是由于微元体形状改变产生 or储备 的比能uD 叫 形状改变比能DistortionalStrainEnergyIntensity 故有 其中