动量定理、质点动力学.ppt

第二章动量守恒 质点动力学 2 1惯性定律 惯性系 惯性 任何物体都有试图保持其原有的运动状态的特性 孤立粒子 不受其它任何物体作用或离其它一切物体都足够远的粒子 称为孤立粒子 惯性定律 孤立粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态 惯性系 孤立粒子相对它静止或作匀速直线运动的参考系称为惯性系 在惯性系中力学规律的形式最简单 常见的惯性系 研究地面附近物体运动时可选地球为惯性系 研究太阳系中行星的运动时选太阳为惯性系 研究天体运动时 可选多个恒星或星系参考系为惯性系 绝对的孤立粒子是不存在的 因而也不存在绝对的惯性系 但由于相互作用与距离的平方成反比 只要选为参考系的星系与其它星系间的距离越遥远 它就是越严格的惯性系 相对于某一个惯性系作匀速直线运动的任何物体也都是惯性系 反之相对一惯性系作加速运动的物体则不是惯性系 2 2惯性质量 动量 动量守恒定律 A 三 动量 动量守恒定律定义 质量为m 速度为的质点动量 2 3牛顿运动定律 1 力 力的独立作用原理力 力是一物体对另一物体的作用 物体所受的力可用其动量变化率来量度 力的独立作用原理 当有多个力同时作用在一个质点上时 这些力各自产生自己的效果而不互相影响 一 牛顿运动定律的表述 牛顿第一定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态 直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止 惯性定律 牛顿第二定律 质点所受的合力等于质点的质量与其加速度的乘积 注意 仅在经典力学中 质点的质量为常量时 才有的形式 在相对论中 质点的质量随其运动速度而变 此时只有 牛顿第三定律 物体间的作用是相互的 两个物体之间的作用力和反作用力 沿同一直线 大小相等 方向相反 分别作用在两个物体上 该定律可由前述孤立系统动量守恒定律推出 由此可见 牛顿第一定律是最基本的惯性定律 而牛顿第二 第三定律是在引入力概念后 动量 动量守恒定律的推理 因而动量 动量守恒定律远比力 牛顿运动定律重要的多 注意 牛顿运动定律 因而所有的力学定律 仅在惯性系中成立 二 四种相互作用和力学中常见的力 1 自然界中的四种相互作用自然界中存在着四种最基本的相互作用 如下表中所示 2 力学中常见的力 弹性力 物体在发生形变时 由于力图恢复原状 对与它接触的物体产生的作用力叫弹性力 其表现形式有 正压力 支持力 拉力 张力 弹簧的恢复力等 在弹性限度内f kx 胡克定律k叫劲度系数 静摩擦力 大小介于0和最大静力摩擦力fS之间 视外力的大小而定 最大静摩擦力 fS SN滑动摩擦力 fk kN对给定的一对接触面 S k 它们一般都小于1 流体阻力 物体在流体中运动时受到流体的阻力 在相对速率v较小时 阻力主要由粘滞性产生 流体内只形成稳定的层流 此时f kvk决定于物体的大小和形状以及流体的性质 在相对速率较大时 流体内开始形成湍流 阻力将与物体运动速率的平方成正比 f cv2若物体与流体的相对速度很大时 阻力将按f v3迅速增大 常见的正压力 支持力 拉力 张力 弹簧的恢复力 摩擦力 流体阻力等 从最基本的层次来看 都属于电磁相互作用 三 牛顿定律的应用 应用牛顿运动定律解题时 通常要用分量式 如在直角坐标系中 在自然坐标系中 1 恒力作用的情况这类情况中常有多个有关联的物体一起运动 解题步骤如下 分析各物体受力状况 选择隔离体 画受力图 分析各隔离体相对一惯性系运动的加速度 并建立坐标系 写出各隔离体运动方程分量式以及力和加速度之间的关系式 解方程组 并对计算结果作简短讨论 建立坐标系x轴水平向左 y轴竖直向上 列出有关运动方程 求出 例3一曲杆OA绕y轴以匀角速度 转动 曲杆上套着一质量为m的小环 若要小环在任何位置上均可相对曲杆静止 问曲杆的几何形状 解 小环在曲杆上也绕y轴作圆周运动 受重力mg和支持力N 设小环所在位置坐标为 x y 切线倾角为 则有 相除得 或 积分得 说明曲杆的形状为一抛物线 2 变力作用的情形 当一质点受到变力作用时 其加速度也是随时变化的 这时要列出质点运动微分方程并用积分的方法求解 例4 质量为m的物体 从高空由静止开始下落 设它受到的空气阻力f kv k为常数 求物体下落的速度和路程随时间的变化 解 取y轴竖直向下为正 设物体由原点开始下落到y处时 速度为v 受重力和阻力作用 其运动微分方程为 分离变量并作定积分 有 其中 为下落的收尾速度 求出 再次积分得 例5 设子弹射出枪口后作水平直线飞行 受到空气阻力f kv2 若子弹出枪口时速率为v0 求 1 子弹此后速率 2 当v 0 5v0时 它飞行的距离 解 1 子弹在飞行过程中 水平方向上仅受空气阻力 因而运动微分方程为 积分 得 积分 2 运动方程改写成 2 4力学相对性原理和非惯性系 一 伽利略相对性原理 1632年 伽利略在作匀速直线运动的封闭船舱里仔细地观察了力学现象 发现物体的运动规律和地面上完全相同 他说 在这里 你在一切现象中观察不出丝毫的改变 你也不能够根据任何现象来判断船究竟是在运动还是停止 当你向船尾跳时并不比你向船头跳时 由于船向前的迅速运动 跳得更远些 从挂在天花板下的装着水的酒杯里滴下的水滴 将竖直地落在地板上 没有任何一滴水偏向船尾方面滴落 虽然当水滴尚在空中时 船在向前走 伽利略所描述的现象指明了一切彼此作匀速直线运动的惯性系 对于力学规律来说是完全等价的 并不存在任何一个比其它惯性系更为优越的惯性系 在一个惯性系的内部所作的任何力学的实验部不能够确定这个惯性系本身是静止还是在作匀速直线运动 在所有惯性系中力学规律完全相同 这称为力学相对性原理或伽利略相对性原理 二 经典力学的时空观 伽利略相对性原理是和经典力学时空观交织在一起的 经典力学认为物体的运动虽在时间和空间中进行 但是时间和空间的性质与物质的运动彼此没有任何联系 牛顿这种 绝对时间 和 绝对空间 的观点是把在低速范围内总结出来的结论绝对化的结果 在人们的日常生活中 大量接触到的是低速运动的物体 因此会不自觉地接受这种观点 后来当人们接触到高速运动的物体时 发现伽利略变换不再适用 经典力学的时空观也应修正为爱因斯坦的 四维时空 观 三 非惯性系中的力学 1 加速直线运动的非惯性系中的惯性力 更一般地 当物体相对一以加速度a0直线运动的非惯性系还有加速度a 时 在此非惯性系中的牛顿运动定律应与成 其中 惯性力 惯性力大小等于质点的质量与非惯性系加速度的乘积 方向与非惯性系加速度的方向相反 惯性力没有施力物体 所以不存在反作用力 惯性力并不是真实的作用力 但在非惯性系中又可以感受到它的存在 如 当汽车紧急刹车时 车上的人都会向前倾 就象后面有力把人向前推一样 演示 悬挂小球在加速车厢内的平衡状态 当电梯向上加速时超重当向下加速时则失重 相遇时y1 y2 得出相遇时间 取y轴垂直斜面向上 并以抛出红球时为计时起点 可写出运动学方程为 列出运动方程组M 水平竖直m 沿斜面垂直斜面 求出 2 匀速转动的非惯性系 惯性离心力 例4 水桶绕自身的铅直轴以角速度 旋转 当水与桶一起转动时 水面的形状如何 其中Z0为中心水面高度 这是抛物线方程 由于轴对称性 水面为旋转抛物面 或 积分 得 3 科里奥利力 若物体又相对匀角速转动的参照系运动 则在处于该参照系的观察者看来 物体除了受到惯性离心力的作用外 还将受另一附加力 科里奥利力的作用 分析 乙认为m实际上参与了两个运动 相对圆盘的直线运动及随圆盘的转动 盘不转 应到B m不动 应到A 普遍情况下 质点m以任意方向的速度相对转动参照系运动时 科里奥利力可表示为 科里奥利力垂直于质点相对于非惯性系的速度 因此科里奥利力不作功 它不断改变v的方向 但不改变v的大小 使轨迹弯曲呈圆弧形 在北半球上 河水对右岸的冲刷比对左岸更历害也是由于科里奥利力的作用 傅科摆在法国巴黎万神殿的圆拱屋顶上悬挂的一个大单摆 摆绳长67m 摆锤重28kg 周期为16 4s 它是一种能够把地球自转的非惯性效应积累起来的一种仪器 摆锤在水平面上运动受有侧向的科里奥利力 使摆动平面旋转 落体偏东物体从高处自由下落 所受科里奥利力的方向不论在南北半球均向东 北半球的强热带风暴是在热带低气压中心附近形成的 当外面的高气压空气向低气压中心涌入时 由于科氏力的作用 气流的方向将偏向气流速度的右方 从高空望去是沿逆时针方向旋转的涡旋 若在南半球 涡旋为顺时针方向 2 5动量定理 二 质点动量定理 分量表示 代入求出 为冲量与x方向的夹角 棒对球的平均冲力 此力为垒球本身重量的倍数F mg 845 0 14 9 8 616 设I与x轴夹角为 给出 三 质点系动量定理 相加得 或 在一段时间内 作用在质点系上外力矢量和的冲量等于这段时间内系统动量的增量 质点系动量定理 注意 只有外力才会改变系统的动量 内力只会改变系统内各质点的动量而不会改变整个系统的动量 例3 火箭飞行的运动方程 变质量物体运动方程 火箭在飞行过程中不断向后喷射出气体 因而火箭本体的质量不断减少 用质点系动量定理可以解决这类 变质量 物体的运动问题 可得出 此式为经典力学中变质量物体的运动方程 也叫密舍尔斯基方程 类似的问题还有如滚雪球 雨滴不断凝结周围的水汽而变大等 它们的运动方程都是此式 四 质点系动量守恒定律 当作用在质点系上的外力矢量和等零时 系统动量守恒 动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律 无论在宏观运动的经典力学 微观粒子运动的量子力学及高速运动的相对论中都适用 动量守恒定律演示 在应用动量守恒定律时 要注意以下几点 动量守恒定律只适用于惯性系 定律中的速度应是对同一惯性系的速度 动量和应是同一时刻的动量之和 系统的动量守恒 但系统内每个质点的动量可能发生变化 在碰撞 打击 爆炸等相互作用时间极短的过程中 由于系统内部相互作用力远大于合外力 往往可忽略外力 系统动量守恒近似成立 动量守恒可在某一方向上成立 同乘以dt 有 积分得 又由图知 例5一辆停在直轨道上质量为M的平板车上站着两个人 当他们从车上沿同方向跳下后 车获得了一定的速度 设两个人的质量均为m 跳下时相对于车的水平分速度均为u 试比较两人同时跳下和两人依次跳下两种情况下 车所获得的速度的大小 解 人和车系统的动量的水平分量守恒 当两人同时跳下车时 设车后退的速率为v1有 对两人依次跳下的情况 第一人跳下时 以v21表示车的速度 则动量守恒给出 随后第二人跳下时 以v2表示车最后的速度大小 则动量守恒给出 由此得 v1和v2相比 可知v1 v2 例6 火箭在外层空间飞行 空气阻力和重力不计 设在初始时刻火箭 包括燃料 的总质量为m0 初速v0 热气体相对火箭的喷射速度为u 随着燃料消耗 火箭质量不断减少 求当火箭质量为m时的速度 化简得 解 将火箭和它在dt时间内喷出的气体取为系统 该系统动量守恒 在t时刻 火箭动量为mv 经dt时间后 其质量为m dm 速度为v dv 喷出的气体质量为 dm 相对地面速度为v u 动量守恒 积分 火箭的质量比N m0 m 得 要提高火箭的速度 可采用提高喷气速度和质量比的办法 一般多采用多级火箭来提高速度