利用平方根概念解方程式.ppt

例1 利用平方根概念解方程式 解下列各一元二次方程式 x2 25 x 3 2 16 解 由x2 25得x是25的平方根 25的平方根是和 因此x 5或x 5 所以原方程式的解為5和 5 將x 3當作一個數 則x 3是16的平方根 16的平方根是 4 所以x 3 4 也就是x 3 4或x 3 4 得到x 1或x 7 所以原方程式的解為1和 7 解下列各一元二次方程式 25x2 81 x 4 2 25 所以原方程式的解為和 x 4 5x 4 5 x 9或x 1所以原方程式的解為9和 1 例2 先移項再利用平方根概念解方程式 解下列各一元二次方程式 x 7 2 3 0 4 2x 3 2 6 26 解 例2 先移項再利用平方根概念解方程式 解下列各一元二次方程式 x 7 2 3 0 4 2x 3 2 6 26 解 解下列各一元二次方程式 x 3 2 23 0 2 4x 5 2 15 3 x 3 2 23 x 3 x 3 所以原方程式的解為3 4x 5 2 9 4x 5 3 x x 2或x 所以原方程式的解為 2和 如果x2 mx 32可以配成完全平方式 那麼m是多少 例3 配方法 分別找出適當的數填入 中 使下列各式變成完全平方式 x2 12x x2 5x x2 x 解 的值等於x項係數一半的平方 所以 2 62 36 因此x2 12x 36 x 6 2 的值等於x項係數一半的平方 所以 2 因此x2 5x x 2 的值等於x項係數一半的平方 所以 2 2 因此x2 x x 2 分別找出適當的數填入空格中 使下列各式變成完全平方式 x2 18x x 2 x2 6x x 2 x2 15x x 2 x2 x x 2 x2 18x 81 x 9 2 81 9 2 3 2 9x2 6x 9 x 3 2 9 3 例4 利用配方法解x2項係數為1的方程式 解下列各一元二次方程式 x2 2x 2 0 x2 x 1 解 例4 利用配方法解x2項係數為1的方程式 解下列各一元二次方程式 x2 2x 2 0 x2 x 1 解 所以原方程式的解為 等號兩邊同加 2 2 解下列各一元二次方程式 x2 10 x 3 x2 2 5x x2 10 x 52 3 52 x 5 2 22x 5 x 5 所以原方程式的解為5 x2 5x 2x2 5x 2 2 2 x 2 x x 所以原方程式的解為 例5 利用配方法解x2項係數不為1的方程式 解下列各一元二次方程式 3x2 5x 1 0 2x2 3x 1 0 解 3x2 5x 1 0 所以原方程式的解為 例5 利用配方法解x2項係數不為1的方程式 解下列各一元二次方程式 3x2 5x 1 0 2x2 3x 1 0 解 2x2 3x 1 0 所以原方程式的解為 解下列各一元二次方程式 2x2 11x 2 0 2x2 7x 1 0 所以原方程式的解為 所以原方程式的解為 例6 利用配方法解常數項係數較大的方程式 解一元二次方程式x2 4x 396 0 解 x2 4x 396 0 x2 4x 396x2 4x 22 396 22 x 2 2 400 x 2 20 x 2 20 x 22或x 18所以原方程式的解為22和 18 移項 等號兩邊同加 2 22 解一元二次方程式x2 6x 891 x2 6x 891x2 6x 9 900 x 3 2 900 x 3 30 x 3 30 x 33或x 27所以原方程式的解為33和 27 例7 已知兩根求原一元二次方程式的係數 以配方法解一元二次方程式3x2 10 x a 0 可得 則a的值是多少 想法 解 可先利用移項法則將寫成等號一邊有根式 另一邊沒有根式的形式 再將等號兩邊同時平方就可找到滿足此解的一元二次方程式 與3x2 10 x a 0比較係數可得a 以配方法解一元二次方程式2x2 2x b 0 可得 則b的值是多少 與2x2 2x b 0比較係數可得b 5 將 x2 5x 4 0等號兩邊同乘以 1 再利用上述公式求解 與直接將 x2 5x 4 0的各項係數代入上述公式 所求得的解是一樣的嗎 將 x2 5x 4 0等號兩邊同乘以 1得x2 5x 4 0 則x 所以x 4或x 1 而 x2 5x 4 0的公式解為x 所以x 4或x 1 因此兩種方法所求得的解是相同的 利用判別式判別下列各方程式解的情形 4x2 2x 0 2x2 9x 5 0 x2 x 1 0 令a 4 b 2 c 22 4 4 0即方程式的兩根相等 令a 2 b 9 c 5 9 2 4 2 5 41 0即方程式有兩個相異的根 令a 1 b 1 c 112 4 1 1 3 0即方程式無解 例8 利用公式解求x2項係數為正的方程式 利用公式解求一元二次方程式5x2 13x 7 0的解 解 令a 5 b 13 c 7得b2 4ac 13 2 4 5 7 169 140 29 0故方程式的兩根為x 即或 所以方程式的兩根為和 利用公式解求下列各一元二次方程式的解 x2 8x 12 0 3x2 5x 7 令a 1 b 8 c 12b2 4ac 82 4 1 12 16 0 令a 3 b 5 c 7b2 4ac 52 4 3 7 109 0 例9 利用公式解求x2項係數為負的方程式 利用公式解求一元二次方程式 4x2 2x 5 0的解 解 令a 4 b 2 c 5得b2 4ac 22 4 4 5 84 0 故方程式的兩根為x 即或 所以方程式的兩根為和 利用公式解求下列各一元二次方程式的解 2x2 7x 5 0 11x 2 3x2 令a 2 b 7 c 5b2 4ac 7 2 4 2 5 89 0 3x2 11x 2 0令a 3 b 11 c 2b2 4ac 112 4 3 2 97 0 例10 已知方程式有重根 求未知數 已知m 0且一元二次方程式x2 mx 5m 11 0有重根 求m之值 解 因為方程式有重根 所以b2 4ac m2 4 1 5m 11 0m2 20m 44 0 m 22 m 2 0m 22或m 2 不合 所以m 22 已知m 0且一元二次方程式x2 m 1 x 3m 6 0有重根 求m之值及此方程式的解 因為方程式有重根 所以b2 4ac m 1 2 4 1 3m 6 0m2 10m 25 0 m 5 2 0 m 5 重根 所以m 1 6 3m 6 3 5 6 9原方程式為x2 6x 9 0 x 3 2 0 x 3 重根 1 利用平方根概念解一元二次方程式 可以利用平方根的概念 解形如x2 k k 0 及a x b 2 c ac 0 的一元二次方程式 例 x2 25 x 5 所以原方程式的解為5和 5 2 x 3 2 16 x 3 2 8 x 3 2 x 3 2 所以原方程式的解為 3 2 2 將x2 mx加上適當常數項化成完全平方式 將形如x2 mx的式子加上x項係數一半的平方 可以配成完全平方式 例x2 14x 2 x2 14x 72 x 7 2 3 利用配方法解一元二次方程式 利用配方法解一元二次方程式的步驟歸納如下 先整理方程式為ax2 bx c a 0的形式 利用等量公理使x2項的係數變為1 等號兩邊同時加上一次項係數一半的平方 等號左邊配成完全平方式 利用平方根概念解出x 例3x2 6x 6 03x2 6x 6x2 2x 2x2 2x 2 2 2 x 1 2 3x 1 x 1 4 一元二次方程式的公式解 當a 0且b2 4ac0時 一元二次方程式ax2 bx c 0的公式解為 例解x2 6x 3 0時 令a 1 b 6 c 3 利用公式解可得 解 2x2 5x 1 0時 令a 2 b 5 c 1 利用公式解可得 5 一元二次方程式ax2 bx c 0 a 0 解的情形 當b2 4ac 0時 此方程式的解為 例2x2 10 x 5 0 b2 4ac 60 0 當b2 4ac 0時 此方程式的解為 重根 例4x2 8x 4 0 b2 4ac 0 x 1 重根 當b2 4ac 0時 此方程式無解 例x2 2x 2 0 b2 4ac 4 0 此方程式無解 1 已知下列各式都是完全平方式 試求出b c的值 bx2 30 x 9 9x2 cx 16 x 2 2 x 3 32所以6 30即b 25 3x 2 2 3x 4 42所以c 2 3 4 24 2 解下列各一元二次方程式 x 3 2 19 9 x 2 2 16 0 2x2 8x 1792 0 3x2 5x 1 0 x 3 x 3 x 2 2 x 2 x 2 x 或x x2 4x 896 0 x2 4x 4 896 4 x 2 2 302x 2 30 x 32或 28 令a 3 b 5 c 1b2 4ac 52 4 3 1 13 0 2 9x2 4 12x 3x2 6x 6 2x2 x 2 9x2 12x 4 0令a 9 b 12 c 4b2 4ac 12 2 4 9 4 0 x 重根 5x2 5x 4 0令a 5 b 5 c 4b2 4ac 52 4 5 4 105 0 3 若一元二次方程式2x2 12x k 0可配方成 x 3 2 則k的值是多少 x 3 2 x2 6x 9 x2 6x 0 2x2 12x 9 0 比較係數可得k 9 4 利用判別式判別下列各方程式解的情形 5x2 13x 8 0 9x2 1 6x x 3x2 5 x2 x 4 令a 5 b 13 c 8b2 4ac 13 2 4 5 8 9 0所以此方程式有兩個相異的根 9x2 6x 1 0令a 9 b 6 c 1b2 4ac 6 2 4 9 1 0所以此方程式的兩根相等 3x2 x 5 0令a 3 b c 5b2 4ac 2 4 3 5 0所以此方程式無解 x2 x 4 0令a b c 4b2 4ac 2 4 4 0所以此方程式有兩個相異的根 5 已知一元二次方程式ax2 a 1 x 1 0 a 0 有重根 則a是多少 因為方程式有重根 所以 a 1 2 4 a 1 0 a2 2a 1 0 a 1 2 0 a 1 重根