初等数论不定方程.ppt

1 什么是不定方程 顾名思义即方程的解不定 一般地有 第二章不定方程 定义 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数 或未知数受到某种限制 如整数 正整数等 的方程和方程组 2 主要研究问题a 不定方程有解的条件b 有解的情况下 解的个数c 有解的情况下 如何解 3 本章学习内容 1 二元一次不定方程 2 多元一次不定方程 3 勾股数组 4 费马大定理简介 5 几类特殊的不定方程 1二元一次不定方程定义 形如其中 a b c为整数的方程称为二元一次不定方程 例 2X 3Y 55U 6V 21 定理 有解的充要条件是 a b c证 设方程有解则有因为 a b a a b b 因而 a b c反之 设 a b c 则由最大公因数的性质存在s t使得as bt a b 令即为方程的解 3 二元一次不定方程有解的情况下解的结构定理 设是方程的一组解 则不定方程有无穷解 其一切解可表示成其中 证 把代入不定方程成立 所以是方程的解 又设是不定方程的任一解 又因为是一特解则有 即有有因为令即得到了方程的解 方程有解情况下不定方程的解法 1 观察法 当a b的绝对值较小时可直接观察不定方程的一组特解 然后用得到其所有解 2 公式法 当a b的绝对值较小时 可用公式得到特解然后用公式写出一切解 为a b作辗转相除时不完全商 见书 3 整数分离法 当a b中系数不同时 用绝对值较小的系数后的变量表示另一个变量 通过变量替换得到一个新的不定方程 如此反复 直到一个参数的系数为1 从而得到不定方程的解 4 化为同余方程 同余方程中再讲 注 方法 1 3 4 用得较多 2 不太实用 例1 求解不定方程解 因为 9 21 3 3 144所以有解 化简得考虑 有解所以原方程的特解为 所以方程的解为 注 解的表达式是不惟一的 例2 用整数分离法解解 因为 107 37 1 所以有解 故故 2多元一次不定方程2 1定义 形如的不定方程多元一次不定方程 2 2定理有解的充要条件是 证 必要性 若不定方程有解 则有由 充分性 用数学归纳法 n 2 时已证假设对n 1时条件是充分的 令则方程有解 设解为又有解 设为 这样就是方程的解 注 从证明过程也提供了方程的解法 则等价于方程组 设 先解最后一个方程的解 得然后把其代入倒数第二个方程求得一切解 如此向上重复进行 求得所有方程的解 例1 求不定方程的整数解 解因为 25 13 1 1 7 1 4 所以方程有解我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x 13y t t 7z 4 先求t 7z 4的解为t 4 7u z u 因为25 1 13 2 1 所以25x 13y 1的特解为 1 2故25x 13y t的解为x t 13v y 2t 25v所以的解为x 4 7u 13v y 8 16u 25v z u u v为整数 3勾股数定义 一般地称x2 y2 z2的正整数解为勾股数例 3 4 5 5 12 13 8 15 17 为勾股数x2 y2 z2方程解的分析 1 若x y z是方程解 则dx dy dz也是方程解 2 由 1 只要考虑 x y z 1的解即可 而实际上只要 x y 1即可 假设 x y d 则d x d y 则有d z 3 由 2 可设 x y 1 则x y为一奇一偶 若x y都为奇数 则z为偶数 则方程左边为4K 2 右边为4K 矛盾 所以x y为一奇一偶 由上分析 我们对 x y 作了一些限制 而这些限制并不影响其一般性 即可假设在x 0 y 0 z 0 x y 1 2 x的条件下给出x2 y2 z2的通解公式 定理 在条件x 0 y 0 z 0 x y 1 2 x的条件下x2 y2 z2的通解公式为x 2ab y a2 b2 z2 a2 b2 a b 0 a b 1 a b一奇一偶 为了证明定理的结论 先给出下面引理 引理 设u 0 v 0 u v 1 则不定方程uv w2的解为u a2 v b2 w ab其中a 0 b 0 a b 1 证 设u v w是方程的解 令不含平方数 又 u v 1 不能被整除 故所以u a2 v b2 w ab a 0 b 0 a b 1下面进行定理的证明 定理的证明 x 2ab y a2 b2 z2 a2 b2 a b 0 a b 1 a b一奇一偶 显然是方程x2 y2 z2的解 满足x 0 y 0 z 0 2 x 且设 x y d 则有由 a b 1 有d 1 或d 2 又由y为奇数 所以d 1 设x y z是满足条件的一组解 由2 x 及 x y 1知y z是单数 有且因为设则有d z d y 因而有d x 所以d 1于是由引理令于是有x 2ab y a2 b2 z2 a2 b2 a 0 b 0 a b 1由y 0 知a b 0 又y单 所以a b一奇一偶 推论 单位圆上的有理点可写成 证 由两边同除有 令所以有即为单位圆的方程而有理点的坐标都是有理数 即为可约分数的形式 分数的分子正好为x2 y2 z2的x和y分母为z 且正负都可 又可交换即有 例1 勾股数的勾股中至少有一个是3的倍数 证 设N 3m1 m为整数 则 3k 1设中 若x y都不是3的倍数 都是3K 1 则其和为3k 2 不可能是平方数 所以是不可能的 4费尔马大定理和无穷递降法 1 费尔马大定理 不定方程xn yn zn n 3无正整数解 由于一个大于2的整数n 当n是偶数时 必为4的倍数或为某个奇质数的偶数倍 当n是奇数时 必是一个奇质数p的倍数 因此 实际上只需证明和 p为奇质数 都没有正整数解就可以了 对可用无穷递降法证明 而无正整数解的证明是非常困难的 2 无穷递降法的逻辑步骤 1 若一个关于正整数的命题P n 对若干正整数n是下正确的 则在所有n中一定有最小者 2 若正确 则有使正确 由 1 2 则P n 不能成立 例2 证明是无理数证 假设是有理数 则有正整数解 设自然数 a b 所有解中使得a最小一组解 即有容易知道a是偶数 设a 2a1 代入又得到b为偶数 设则 即也是方程的解 这里这与a的最小性矛盾 无理数 例2 证明是无理数证 假设是有理数 则存在自然数a b使得满足 即容易知道a是偶数 设a 2a1 代入又得到b为偶数 设 则 这里这样可以进一步求得a2 b2 且有a b a1 b1 a2 b2 但是自然数无穷递降是不可能的 于是产生了矛盾 无理数 几个特殊的不定方程的初等解法 1 奇偶分析法例 求不定方程的正整数解解 因为328为偶数 即左边为偶数 x y的奇偶性相同 不妨设x y设则有 同理有一奇一偶 则得解进一步有所发原方程的解为 2 18 和 18 2 2 利用特殊模的余数 例2 证明无整数解 证 由求根公式得原方程要有整数解则为完全平方而所以有不可能为平方数 所以原方程无整数解 3 数与式的分解 例3 求的整数解 解 原方程通过变形得则有从而原方程的解为 4 不等分析法 例4 求的正整数解 解 因所以又因为为偶数 所以只能为4 16代入得 16 所以原方程的解为 4 3 5 分离整数部分法 例5 求的整数解 解 因为x 1不是方程的解 所以原方程为所以有x 1 2 即x 0 2 1 3得原方程的解为 0 4 2 0 1 3 3 1 6 求根公式法 例6 求的整数解 解 把它看成x的二次方程有由根号里面大于等于0 得y只能1 2 3代入得到方程的解为 2 1 1 1 1 2 3 2 3 3 2 3 7 利用韦达定理 例7 求的正整数解 解 把它看成x的二次方程 设根为则有所以两根同奇偶 且除4 余数不为0所以两根只能是1 3 5和11 9 7又两根之积减2是平方数 所以只能是1 11和3 9 所以原方程的解为 1 3 11 3 3 5 9 5 8 换元法 例8 求的正整数解 解 由题意有于是令y tx 则有由韦达定理得因为1981 1 1981 7 283 只有得y 10 从而得原方程解为 70 10 2830 10 8 换元法 例8 求的正整数解 解 由题意有于是令y tx 则有由韦达定理得因为1981 1 1981 7 283 只有得y 10 从而得原方程解为 70 10 2830 10 9 其它方法 例9 求的正整数解 解 原方程为而由勾股定理有或所以方程的解为 3 8 4 6