初二数学-等腰三角形.ppt

华乐思在线教学直播课堂 马上开始 请同学们准备好笔和纸 认真听讲 直播课程 等腰三角形 主讲老师 邬风云 中学高级教师 毕业于东北师范大学数学系 曾在吉林市524厂子弟中学 山东省信息技术学院 北京市十一学校担任数学教师 连续多年带毕业班 中考成绩优异 一 本专题考察的知识点 1 等腰三角形的性质与应用2 等边三角形的性质与应用3 含30 直角三角形的性质4 分类讨论的思想方法在等腰三角形中的应用 1 等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 相等的两条边叫做腰 另一条边叫做底 两腰所夹的角叫做顶角 底边与腰的夹角叫做底角 二 知识归纳 2 等腰三角形的性质等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 等腰三角形的性质2 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高相互重合 简写成 三线合一 二 知识归纳 3 等腰三角形的判定方法 1 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 定义 2 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简写成 等角对等边 二 知识归纳 4 等边三角形的有关概念在等腰三角形中 有一种特殊的等腰三角形 三条边都相等的三角形 我们把这样的三角形叫做等边三角形 二 知识归纳 5 等边三角形的性质 1 等边三角形的三边相等 定义 2 等边三角形的三个内角都相等 都等于60 二 知识归纳 6 等边三角形的判定 1 三边相等的三角形是等边三角形 定义 2 三个内角都相等的三角形是等边三角形 3 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形 二 知识归纳 7 直角三角形的性质 在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 二 知识归纳 例1 已知 如图 房屋顶角 BAC 100 过屋顶A的立柱AD BC 屋檐AB AC 求顶架上的 B C BAD CAD的度数 三 典型例题 计算题 思路分析 已知顶角 BAC 100 利用等腰三角形顶角与底角的关系 易求 B和 C 利用三线合一 易求 BAD和 CAD的度数 解 在 ABC中 AB AC B C 等边对等角 BAC 100 B C 1 2 180 100 40 在 ABC中 AB AC AD BC 三线合一 BAD CAD 1 2 BAC 50 三 典型例题 计算题 例2 已知等腰三角形的一个角是70 求其余两角 思路分析 已知等腰三角形的一个角是70 那么这个70 的角可能为等腰三角形的底角或为等腰三角形的顶角 由三角形内角和定理易求出其余两角 70 40 或55 55 三 典型例题 计算题 引申 已知等腰三角形的一个角是110 求其余两角 答案 其余两角为35 35 三 典型例题 计算题 归纳 等腰三角形的顶角可以是锐角 直角和钝角 底角只能是锐角 所以 看到等腰三角形中的一个角的度数时 要注意判断这个角可能是顶角还是底角 是否需要分类讨论 三 典型例题 计算题 例3 如图 ABC中 AB AC BD平分 ABC交AC于D 若 BDC 120 求 DBC的度数 思路分析 由BD平分 ABC 易知 1 2 则设 1 2 x 由AB AC可得 C 1 2 2x 在 DBC中由三角形内角和定理可列出x的方程 求出x 三 典型例题 计算题 三 典型例题 计算题 三 典型例题 计算题 例4 在 ABC中 AB AC 点D在AC上 且BD BC AD 求 A的度数 思路分析 由题设中的等边关系 AB AC BD BC AD 可以推出角的等量或倍数关系 在利用方程思想 可求出图中各角的度数 1 三 典型例题 计算题 解 设 1 x BD BC AD 1 2 3 C 3 C 1 2 2x AB AC ABC C 2x 在 ABC中 A ABC C 180 即5x 180 A x 36 三 典型例题 计算题 例5 等腰三角形底边中点到两腰的距离相等 提示 本题为文字命题 解题时应分为以下三个步骤 1 根据题意作图 2 写出已知 3 进行求证 三 典型例题 证明题 三 典型例题 证明题 三 典型例题 证明题 例6 如图 在三角形ABC中 AB AC BD AC于D 求证 DBC A 思路分析 由等腰三角形 三线合一 可联想到作底边的高 可推出1 2 BAC EAC 由BD AC AE为高可知 EAC和 DBC都与 C互余 推出 DBC EAC 1 2 BAC E 三 典型例题 证明题 E 证明 过点A作AE BC于点E 又 AB AC EAC 1 2 BAC BD AC AE为高可知 EAC和 DBC都与 C互余 DBC EAC 1 2 A 三 典型例题 证明题 课间休息五分钟 例7 在 ABC中 AB AC D是CA延长线上一点 DF BC于F 交AB于E 求证 AE AD 思路分析 由等腰三角形 三线合一 可联想到作底边的高AM 可推出 1 2 由DF AC AM BC可知DF AM 从而 3 4 证出结论 M 1 3 4 2 三 典型例题 证明题 3 4 1 2 证明 过点A作AM BC于M AB AC 1 2 DF AC AM BC DF AM 3 1 2 4 3 4 AD AE 三 典型例题 证明题 例8 如图 ABC是正三角形 D E F分别是AB BC CA上的点 且AD BE CF 试说明 DEF是等边三角形 思路分析 利用等边三角形的性质可推出 边 角的等量关系 从而易证三角形全等 进而说明 DEF是等边三角形 三 典型例题 证明题 证明 ABC是正三角形 AB BC CA A B C 60 又 AD BE CF BD EC AF ADF BED CFE DE EF DF DEF是等边三角形 三 典型例题 证明题 例9 如图 ABD AEC都是等边三角形 求证 AFG是等边三角形 思路分析 利用等边三角形的性质可推出 边 角的等量关系 从而易证三角形全等 进而说明 AFG是等边三角形 三 典型例题 证明题 证明 ABD和 AED是正三角形 AB AD AC AE BAD CAE 60 CAD BAD CAB 60 CAB BAE CAE CAB 60 CAB CAD BAE ADC BAE ADF GBA 三 典型例题 证明题 又 AD AB FAG 180 BAD CAE 60 FAG DAF 60 ADF BAG AF AG 又 FAG 60 DEF是等边三角形 三 典型例题 证明题 例10 求证 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边 那么这个三角形是等腰三角形 提示 本题为文字命题 首先应根据题意作图 写出已知 求证 三 典型例题 证明题 已知 CAE为 ABC的外角 1 2 AD BC 求证 AB AC 思路分析 欲证AB AC可先证 B C 又 1 2 所以应设法寻求 B C与 1 2的关系 又由AD BC易得结论 三 典型例题 探究题 证明 AD BC 1 B 两直线平行 同位角相等 2 C 两直线平行 内错角相等 1 2 B C AB AC 等边对等角 三 典型例题 探究题 归纳基本图形 图中有三个论断 1 AD平分 EAC 2 AD BC 3 ABC为等腰三角形 三 典型例题 探究题 我们任选两个论断作为条件 都能推出第三个论断 即可以知二推一 引申1 已知 在 ABC中 BO CO分别平分 ABC和 ACB BO与CO交于点O 过O点作DE BC 交AB于D点 交AC于E点 若AB 8cm AC 6cm 求 ADE的周长 思路分析 通过观察可以发现本图是由上例的两个基本图形组合而成的 三 典型例题 探究题 1 3 2 4 6 5 引申2 当过 ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时 如图EF 思路分析 通过观察可以发现本图是由上例的两个基本图形组合而成的 三 典型例题 探究题 引申3 当过 ABC的两个外角平分线上一点 作这两个角的公共边的平行线时 如图EF 思路分析 通过观察可以发现本图是由上例的两个基本图形组合而成的 三 典型例题 探究题 例11 已知 ABC中 ABC 3 C 1 2 BE AE 求证 AC AB 2BE 思路分析 延长BE与AC交于点F 构造全等三角形 ABE AFE 则2BE BF AC AB CF 我们只要判定 FBC为等腰三角形即可 F 三 典型例题 探究题 证明 延长BE与AC交于点F BE AE AEB AEF 90 1 2 AE AE ABE AFE 2BE BF AB AF AC AB AC AF FC ABF AFB FBC C 三 典型例题 探究题 ABC 3 C ABF FBC 3 C FBC C FBC 3 C FBC C BF FC AC AB 2BE 三 典型例题 探究题 例12 已知 ABC中 AB AC A 90 BD平分 ABC CE BD 求证 BD 2CE 思路分析 由条件BD平分 ABC AB AC 可以想到延长CE与BA交于点F 构造等腰三角 推出CF 2CE 又由 BEF ACF 则BD CF 即推出BD 2CE 三 典型例题 探究题 F 1 1 证明 延长CE与BA交于点F BE CE CEB BEF 90 1 2 BE BE CBE BFE 2CE CF 三 典型例题 探究题 F 2 1 3 证明 CAB 90 CDF 90 2 90 BDA 3 90 CDE BDA CDE 2 3 又 CA AB ADB CAF BD CF 2CE 三 典型例题 探究题 F 2 1 3 本节课到此结束 请同学们下节课准时学习