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解析几何1直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是0，)2斜率公式(1)若直线 l 的倾斜角 90 ，则斜率 ktan .(2)P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)在直线 l 上，且 x1x 2，则 l 的斜率 k .y2 y1x2 x13直线方程的五种形式名称 方程 适用范围点斜式 yy 0 k(xx 0) 不含直线 xx 0斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线两点式y y1y2 y1 x x1x2 x1 不含直线 xx 1 (x1x 2)和直线 yy 1 (y1y 2)截距式 1xa yb 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B 20)平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大( )(4)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 .( )(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等( )(6)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 ykxb 表示 ( )(7)不经过原点的直线都可以用 1 表示( )xa yb(8)经过任意两个不同的点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)的直线都可以用方程(y y 1)(x2x 1)(xx 1)(y2y 1)表示 ( )1圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆2确定一个圆最基本的要素是圆心和半径3圆的标准方程(xa) 2(yb )2r 2(r0)，其中 (a，b) 为圆心，r 为半径4圆的一般方程x2y 2DxEyF0 表示圆的充要条件是 D2E 24F0，其中圆心为 ，半径( D2， E2)r .D2 E2 4F25确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D、E、F 的方程组；(3)解出 a、b、r 或 D、E 、F 代入标准方程或一般方程6点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种圆的标准方程(xa) 2(y b) 2r 2，点 M(x0，y 0)(1)点在圆上：(x 0a) 2( y0b) 2r 2；(2)点在圆外：(x 0a) 2( y0b) 2r2；(3)点在圆内：(x 0a) 2( y0b) 20.( )(4)方程 x22axy 20 一定表示圆 ( )(5)圆 x22xy 2y 0 的圆心是 .( )(1，12)(6)若点 M(x0，y 0)在圆 x2y 2Dx Ey F0 外，则 x y Dx 0Ey 0F0.( )20 201判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系dr相离(2)代数法： Error! 判 别 式 b2 4ac2圆与圆的位置关系设圆 O1：(xa 1)2(yb 1)2 r (r10)，21圆 O2：(xa 2)2(yb 2)2r (r20).2方 法 位 置 关 系 几何法：圆心距 d 与 r1，r 2 的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 dr1r 2 无解外切 d r1r 2 一组实数解相交 |r1r 2|0，c0，且 a，c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 ab0) 1y2a2 x2b2(ab0)图形范围ax aby bbx bay a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点性质顶点 A1(a,0) ，A 2(a,0) A1(0，a) ，A 2(0，a)B1(0，b) ，B 2(0，b) B1(b,0) ，B 2(b,0)轴 长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b焦距 |F1F2|2c离心率 e (0,1)caa，b，c的关系a2b 2c 2【知识拓展】点 P(x0，y 0)和椭圆的关系(1)点 P(x0，y 0)在椭圆内 1.x20a2 y20b2【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)平面内与两个定点 F1，F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( )(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F 2 构成PF 1F2 的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距) ( )(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆( )(4)方程 mx2ny 21( m0，n 0，m n)表示的曲线是椭圆( )(5) 1 (ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( )y2a2 x2b2(6) 1 (a b0)与 1(ab0) 的焦距相等( )x2a2 y2b2 y2a2 x2b21双曲线定义平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合 P M|MF1| MF2|2a，|F 1F2|2c ，其中 a，c 为常数且 a0，c0.(1)当 2a|F1F2|时，P 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程 1 (a0 ，b0)x2a2 y2b2 1 (a0，b0)y2a2 x2b2图形范围 xa 或 x a，yR xR，ya 或 ya对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点 A1(a,0)，A 2(a,0) A1(0，a) ，A 2(0，a)渐近线 y xbay xab离心率 e ，e (1，)，其中 cca a2 b2性质实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长| A1A2|2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长， b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c 的关系c2a 2b 2 (ca0，cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线 1 (a0 ，b0)有共同渐近线的方程可表示为 t (t0) x2a2 y2b2 x2a2 y2b2(2)过已知两个点的双曲线方程可设为 1 (mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( )x2m y2n(3)双曲线方程 (m0，n0， 0) 的渐近线方程是 0，即 0.( )x2m2 y2n2 x2m2 y2n2 xmyn(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .( )2(5)若双曲线 1(a0 ，b0)与 1(a0，b0)的离心率分别是 e1，e 2，则x2a2 y2b2 x2b2 y2a2 1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)( )1e21 1e21抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的 准线2抛物线的标准方程与几何性质y22px (p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py( p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点 O(0,0)对称轴 y0 x0焦点F(p2，0)F( p2，0)F(0，p2)F(0， p2)离心率 e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR开口方向 向右 向左 向上 向下【知识拓展】1抛物线 y22px (p0)上一点 P(x0，y 0)到焦点 F 的距离|PF| x 0 ，也称为抛物线(p2，0) p2的焦半径2y 2ax 的焦点坐标为 ，准线方程为 x .(a4，0) a4【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)方程 yax 2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 ( ，0)，准线方a4程是 x .( )a4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( )(4)AB 为抛物线 y22px (p0)的过焦点 F( ，0) 的弦，若 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则p2x1x2 ，y 1y2p 2，弦长|AB |x 1x 2p.( )p24(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x22ay (a0)的通径长为 2a.( )1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程：ax2bxc0 (或 ay2byc0)(1)若 a0，可考虑一元二次方程的判别式 ，有0直线与圆锥曲线相交 ；0 直线与圆锥曲线 相切；_an递减数列 an1 _0，d0，则 Sn 存在最_小_值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)数列a n为等差数列的充要条件是对任意 nN *，都有 2an1 a na n2 .( )(3)等差数列a n的单调性是由公差 d 决定的( )(4)数列a n为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数( )(5)数列a n满足 an1 a nn，则数列 an是等差数列( )(6)已知数列a n的通项公式是 anpnq( 其中 p，q 为常数) ，则数列a n一定是等差数列( )1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母_q_表示(q0) 2等比数列的通项公式设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an a1qn1 .3等比中项若 G2ab_( ab0) ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a na mqnm (n，mN *)(2)若a n为等比数列，且 kl mn (k，l，m ，nN *)，则 akala man.(3)若a n， bn(项数相同)是等比数列，则 an(0) ， ， a ，a nbn， 仍是等比1an 2n anbn数列5等比数列的前 n 项和公式等比数列a n的公比为 q(q0) ，其前 n 项和为 Sn，当 q1 时，S nna 1；当 q1 时，S n .a11 qn1 q a1 anq1 q6等比数列前 n 项和的性质公比不为1 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n 仍成等比数列，其公比为_q n_.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)满足 an1 qa n(nN *，q 为常数) 的数列a n为等比数列( )(2)G 为 a，b 的等比中项 G 2ab.( )(3)如果数列a n为等比数列，b na 2n1 a 2n，则数列 bn也是等比数列( )(4)如果数列a n为等比数列，则数列ln a n是等差数列( )(5)数列a n的通项公式是 ana n，则其前 n 项和为 Sn .( )a1 an1 a(6)数列a n为等比数列，则 S4，S 8S 4，S 12S 8 成等比数列( )求数列的前 n 项和的方法(1)公式法等差数列的前 n 项和公式Sn na 1 d.na1 an2 nn 12等比数列的前 n 项和公式()当 q1 时，S nna 1；()当 q1 时，S n .a11 qn1 q a1 anq1 q(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项常见的裂项公式 ；1nn 1 1n 1n 1 ；12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1) .1n n 1 n 1 n(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1) nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，S n100 299 298 297 22 21 2(10099)(9897)(2 1)5 050.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)如果数列a n为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn .( )a1 an 11 q(2)当 n2 时， ( )( )1n2 1 12 1n 1 1n 1(3)求 Sna2a 23a 3na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得( )(4)数列 2 n1的前 n 项和为 n2 .( )12n 12n(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin21sin 22sin 23sin 288 sin28944.5.( )不等式1两个实数比较大小的方法(1)作差法Error! (a，bR)；(2)作商法Error! (aR，b0)2不等式的基本性质性质 性质内容特别提醒对称性 abbb，b cac 可加性 abac bc Error!ac bc可乘性Error!ac bd 同向同正可乘性Error!ac bd可乘方性 ab0a nbn(nN，n1)可开方性 ab0 (nN，n2)nanba，b同为正数3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0 b0,0 .ac bd0b0，m 0，则 (bm 0)bab ma m bab ma m ； 0)aba mb m aba mb m【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)abac 2bc2.( )(2) ab，cdac bd.( )(4)若 |b|.( )1a1b(5)若 a3b3 且 ab .( )1a1b1 “三个二次”的关系判别式 b24ac0 0 0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x 2(x10(a0)的解集x|xx2 x|x b2ax|xR ax2bxc0)的解集x|x10 或(x a)( xb)b(xa)(xb)0x|xb x|xax|xa(xa)(xb)0.( )(2)不等式 0 的解集是1,2( )x 2x 1(3)若不等式 ax2bxc 0 的解集是 (，x 1)( x2，)，则方程 ax2bxc0 的两个根是 x1 和 x2.( )(4)若方程 ax2bxc 0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bx c0 的解集为 R.( )(5)不等式 ax2bxc 0 在 R 上恒成立的条件是 a0 在平面直角坐标系中表示直线 AxBy C 0 某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式 AxBy C0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)由于对直线 AxByC0 同一侧的所有点( x，y)，把它的坐标( x，y)代入 AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点，由Ax0 By0C 的符号即可判断 AxBy C0 表示的直线是 AxByC0 哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称 意义约束条件 由变量 x，y 组成的一次不等式线性约束条件 由 x，y 的一次不等式( 或方程)组成的不等式组目标函数 欲求最大值或最小值的函数线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式可行解 满足线性约束条件的解可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于 AxBy C0 或 AxBy C0 时，区域为直线 AxByC 0 的上方；当 B(AxByC)0 表示的平面区域一定在直线 AxBy C 0 的上方( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的( )(3)目标函数 z axby(b0)中，z 的几何意义是直线 axbyz0 在 y 轴上的截距( )(4)不等式 x2y 20，b0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b 22ab(a，bR)(2) 2(a， b 同号)ba ab(3)ab 2 (a，bR)(a b2 )(4) 2 (a，bR)a2 b22 (a b2 )以上不等式等号成立的条件均为 ab.3算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两个a b2 ab正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最 小值 2 .(简记：积定和最小)p(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最 大值 .(简记：和定积最大)p24【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)函数 yx 的最小值是 2.( )1x(2)函数 f(x)cos x ，x(0 ， )的最小值等于 4.( )4cos x 2(3)“x0 且 y0”是“ 2”的充要条件( )xy yx(4)若 a0，则 a3 的最小值为 2 .( )1a2 a(5)不等式 a2b 22ab 与 有相同的成立条件( )a b2 ab立体几何1空间几何体的结构特征(1)多面体棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形(2)旋转体圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到2空间几何体的三视图空间几何体的三视图是正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图3空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，其规则是：(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴、 y轴的夹角为 45(或 135)，z轴与 x轴、y 轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于 坐标轴平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半4常用结论(1)常见旋转体的三视图球的三视图都是半径相等的圆水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形(2)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”Error!“三不变”Error!【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同( )(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱( )(6)菱形的直观图仍是菱形( )1多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧 2rl S 圆锥侧 rl S 圆台侧 (r 1r 2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体 表面积 体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积 S 侧 2S 底 VSh锥体(棱锥和圆锥)S 表面积 S 侧 S 底 V Sh13台体(棱台和圆台)S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V (S 上 S 下 13)hS上 S下球 S4R 2 V R3434.常用结论(1)与体积有关的几个结论一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(2)几个与球有关的切、接常用结论a正方体的棱长为 a，球的半径为 R，若球为正方体的外接球，则 2R a；3若球为正方体的内切球，则 2Ra；若球与正方体的各棱相切，则 2R a.2b若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R.a2 b2 c2c正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积( )(3)球的体积之比等于半径比的平方( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差( )(5)长方体既有外接球又有内切球( )(6)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2S.( )1四个公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类Error!(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)范围： .(0，23直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a，就说平面 ， 相交，并记作 a.( )(2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线( )(3)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于 A 点，并记作 A.( )(4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( )(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面( )(6)没有公共点的两条直线是异面直线( )1直线与平面平行的判定与性质判定定义 定理性质图形条件 a a，b ，ab a a，a，b结论 a b a ab2.面面平行的判定与性质判定定义 定理性质图形条件 a，b，abP，a，b，a， b，a 结论 ab a【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面( )(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( )(5)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a.( )(6)空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则 EF平面 BCD.( )(7)若 ，直线 a，则 a.( )1直线与平面垂直2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理图形 条件 结论ab，b( b 为 内的任意一条直线) a判定am，a n，m、n，m nO a
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