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大学物理电子教案大学物理教研组编写李绍新文德华范素芹卢义刚赵纯力学刚体力学第四章刚体力学 4 1刚体运动学 4 5刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律返回总目录 4 2刚体的角动量转动动能转动惯量 4 3力矩刚体定轴转动定律 4 4刚体定轴转动的动能定理 4 6进动本章教学要求了解转动惯量概念理解刚体转动中的功和能的概念理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动情况下的角动量守恒定律了解进动的概念本章重点刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动情况下的角动量守恒定律刚体质点系统的运动问题本章难点刚体绕定轴转动刚体角动量守恒定律返回目录下一页上一页 3 1刚体运动学返回本章目录下一页上一页刚体在平动时在任意一段时间内刚体中所质点的位移都是相同的而且在任何时刻各个质点的速度和加速度也都是相同的所以刚体内任何一个质点的运动都可代表整个刚体的运动当刚体运动时如果刚体内任何一条给定的直线在运动中始终保持它的方向不变这种运动叫平动 3 刚体的定轴转动定轴转动刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动且在相同时间内转过相同的角度返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页例题4 1一飞轮转速n 1500r min 受到制动后均匀地减速经t 50s后静止 1 求角加速度和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N 2 求制动开始后t 25s时飞轮的加速度 3 设飞轮的半径r 1m 求在t 25s时边缘上一点的速度和加速度解 1 设初角度为 0方向如图所示返回本章目录下一页上一页量值为 0 2 1500 60 50 rad s 对于匀变速转动可以应用以角量表示的运动方程在t 50S时刻 0 代入方程 0 t得从开始制动到静止飞轮的角位移及转数N分别为返回本章目录下一页上一页 2 t 25s时飞轮的角速度为从开始制动到静止飞轮的角位移及转数N分别为返回本章目录下一页上一页 3 t 25s时飞轮边缘上一点P的速度的方向与 0相同的方向垂直于和构成的平面如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为由返回本章目录下一页上一页边缘上该点的加速度其中的方向与的方向相反的方向指向轴心的大小为的方向几乎和相同返回本章目录下一页上一页例题4 2一飞轮在时间t内转过角度 at bt3 ct4 式中a b c都是常量求它的角加速度解飞轮上某点角位置可用表示为 at bt3 ct4将此式对t求导数即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度对t的导数因此得由此可见飞轮作的是变加速转动返回本章目录下一页上一页 4 2刚体的定轴转动定律质点系角动量定理即 z轴方向的分量式 4 2 1力矩略去下标z 返回本章目录下一页上一页力矩转动平面力不在转动平面内注 1 在定轴动问题中如不加说明所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩返回本章目录下一页上一页是转轴到力作用线的距离称为力臂 2 返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页略去下标Z 返回本章目录下一页上一页 J mr2称为质点对于转轴的转动惯量 4 2 2刚体定轴转动的角动量转动定律返回本章目录下一页上一页定义刚体对于转轴的转动惯量J为 4 2 2刚体定轴转动的角动量转动定律略去下标z 有上式称刚体的定轴转动定律它表明刚体绕某一定轴转动它受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积返回本章目录下一页上一页质元的质量质元到转轴的距离转动惯量是转动中惯性大小的量度质量是平动中惯性大小的量度对比线动量角动量返回本章目录下一页上一页例题4 3求质量为m 长为l的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量 1 转轴通过棒的中心并和棒垂直 2 转轴通过棒的一端并和棒垂直 3 转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直返回本章目录下一页上一页解如图所示在棒上离轴x处取一长度元dx 如棒的质量线密度为这长度元的质量为dm dx 1 当转轴通过中心并和棒垂直时我们有返回本章目录下一页上一页因 l m 代入得 2 当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时我们有返回本章目录下一页上一页 3 当转轴通过棒上距中心为h的B点并和棒垂直时我们有这个例题表明同一刚体对不同位置的转轴转动惯量并不相同返回本章目录下一页上一页例题4 4求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量设圆盘的半径为R 质量为m 密度均匀解设圆盘的质量面密度为在圆盘上取一半径为r 宽度为dr的圆环如图环的面积为2 rdr 环的质量dm 2 rdr 可得返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页 4 2 4刚体定轴转动定律的应用 1 分析问题视解题方便选定转轴正向 2 根据右手螺旋法则如果某力对转轴力矩方向与转轴正向一致为正否则为负合外力矩应为各力矩的代数和返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页 4 3刚体定轴转动中的功和能 1 力矩的功力矩的功当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时就称力矩对刚体做功力对P点作功返回本章目录下一页上一页因力矩作功对于刚体定轴转动情形因质点间无相对位移任何一对内力作功为零返回本章目录下一页上一页 4 3 2刚体定轴转动的动能与质点运动的动能公式对比转动惯量相当于惯性质量角速度取代了线速度 4 3 3 定轴转动的动能定理根据定轴转动定理外力矩所做元功为总外力矩对刚体所作的功为则物体在时间内转过角位移时返回本章目录下一页上一页刚体定轴转动的动能定理总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量返回本章目录下一页上一页表明一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样 3 刚体的重力势能即质心高度为对于一个不太大的质量为的物体它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和返回本章目录下一页上一页例题4 7如图冲床上配置一质量为5000kg的飞轮 r1 0 3m r2 0 2m 今用转速为900r min的电动机借皮带传动来驱动飞轮已知电动机的传动轴直径为d 10cm 1 求飞轮的转动动能 2 若冲床冲断0 5mm厚的薄钢片需用冲力9 80 104N 所消耗的能量全部由飞轮提供问冲断钢片后飞轮的转速变为多大返回本章目录下一页上一页解 1 为了求飞轮的转动动能需先求出它的转动惯量和转速因飞轮质量大部分分别布在轮缘上由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式得皮带传动机构中电动机的传动轴是主动轮飞轮是从动轮两轮的转速与轮的直径成反比即飞轮的转速为返回本章目录下一页上一页由此得飞轮的角速度这样飞轮的转动动能是 2 在冲断钢片过程中冲力F所作的功为返回本章目录下一页上一页这就是飞轮消耗的能量此后飞轮的能量变为由求得此时间的角速度为而飞轮的转速变为返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页力矩作功返回本章目录下一页上一页例4 6 如图4 13 绕在定滑轮上轻绳的一端固定于定滑轮边上另一端与一质量为m 2 00kg的物体相连已知定滑轮质量M 1 00kg 半径R 0 100m 且轴承光滑定滑轮转动惯量其初角速度 5 00rad s 方向垂直于纸面向内求 1 定滑轮的角加速度 2 定滑轮角速度变化到时物体上升的高度解 1 研究定滑轮的转动选向内作为转轴正向重力轴支撑力对转轴力矩为零对转动没有影响绳张力对转轴力矩为则根据转动定律有选x轴向上根据牛顿定律有T mg ma关联方程联立以上三式解得 2 研究物体m 定滑轮M及地球组成的系统在物体m上升定滑轮转动过程中机械能守恒选开始m所在处为重力势能零点有式中代人数据解得h 0 0159m 1 定轴转动刚体的角动量定理刚体定轴转动定理 4 6刚体角动量和角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页我们用冲量矩表示力矩对时间的积累效果即冲量矩等于力矩乘以力矩所作用的时间上式中的Mdt为冲量矩设刚体tl时刻角速度为 t2时刻角速度为则对上式两边积分有上式称刚体定轴转动的角动量定理它表明刚体在一段时间内所受的冲量矩等于刚体在这段时间内角动量的增量 4 23 式是角动量定理的微分形式 4 23 2 定轴转动刚体的角动量守恒定律恒量返回本章目录下一页上一页这就是说刚体或质点系对某一定轴所受合外力矩为零则它对这一固定轴的角动量保持不变这称为刚体或质点系绕定轴转动的角动量守恒定律四角动量守恒定理返回本章目录下一页上一页实际生活中的一些现象艺术美人体美物理美相互结合高高芭蕾舞演员的高难动作返回本章目录下一页上一页当滑冰跳水体操运动员在空中为了迅速翻转也总是曲体减小转动惯量增加角速度当落地时则总是伸直身体增大转动惯量使身体平稳落地返回本章目录下一页上一页因此开始不旋转的物体当其一部分旋转时必引起另一部分朝另一反方向旋转返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页例题4 11一匀质细棒长为l 质量为m 可绕通过其端点O的水平轴转动如图所示当棒从水平位置自由释放后它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞该物体的质量也为m 它与地面的摩擦系数为相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止求相撞后棒的质心C离地面的最大高度h 并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件解这个问题可分为三个阶段进行分析第一阶段是棒自由摆落的过程这时除重力外其余内力与外力都不作功所以机械能守恒我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能定轴转动刚体的角动量守恒定律零点用表示棒这时的角速度则返回本章目录下一页上一页机械能守恒 1 第二阶段是碰撞过程因碰撞时间极短自由的冲力极大物体虽然受到地面的摩擦力但可以忽略这样棒与物体相撞时它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零所以这个系统的对O轴的角动量守恒我们用v表示物体碰撞后的速度则 2 式中棒在碰撞后的角速度它可正可负取正值表示碰后棒向左摆反之表示向右摆返回本章目录下一页上一页第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程物体作匀减速直线运动加速度由牛顿第二定律求得为 3 由匀减速直线运动的公式得由式 1 2 与 4 联合求解即得 5 定轴转动刚体的角动量守恒定律 1 2 返回本章目录下一页上一页亦即l 6 s 当取负值则棒向右摆其条件为亦即l 6 s 棒的质心C上升的最大高度与第一阶段情况相似也可由机械能守恒定律求得把式 5 代入上式所求结果为当取正值则棒向左摆其条件为 6 定轴转动刚体的角动量守恒定律 5 返回本章目录下一页上一页例题4 12工程上两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动如图所示 A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上 A轮的转动惯量为JA 10kg m2 B的转动惯量为JB 20kg m2 开始时A轮的转速为600r min B轮静止 C为摩擦啮合器求两轮啮合后的转速在啮合过程中两轮的机械能有何变化定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页解以飞轮A B和啮合器C作为一系统来考虑在啮合过程中系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力前者对转轴的力矩为零后者对转轴有力矩但为系统的内力矩系统没有受到其他外力矩所以系统的角动量守恒按角动量守恒定律可得为两轮啮合后共同转动的角速度于是以各量的数值代入得定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页或共同转速为在啮合过程中摩擦力矩作功所以机械能不守恒部分机械能将转化为热量损失的机械能为定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页例题4 13恒星晚期在一定条件下会发生超新星爆发这时星体中有大量物质喷入星际空间同时星的内核却向内坍缩成为体积很小的中子星中子星是一种异常致密的星体一汤匙中子星物体就有几亿吨质量设某恒星绕自转轴每45天转一周它的内核半径R0约为2 107m 坍缩成半径R仅为6 103m的中子星试求中子星的角速度坍缩前后的星体内核均看作是匀质圆球解在星际空间中恒星不会受到显著的外力矩因此恒星的角动量应该守恒则它的内核在坍缩前后的角动量J0 0和J 应相等因定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页代入J0 0 J 中整理后得由于中子星的致密性和极快的自转角速度在星体周围形成极强的磁场并沿着磁轴的方向发出很强的无线电波光或X射线当这个辐射束扫过地球时就能检测到脉冲信号由此中子星又叫脉冲星目前已探测到的脉冲星超过300个定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页例题4 14图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J 2 103kg m2 它以 0 2rad s的角速度绕中心轴旋转宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转每个喷管的位置与轴线距离都是r 1 5m 两喷管的喷气流量恒定共是 2kg s 废气的喷射速率相对于飞船周边 u 50m s 并且恒定问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转解把飞船和排出的废气看作一个系统废气质量为m 可以认为废气质量远小于飞船的质量定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量即在喷气过程中以dm表示dt时间内喷出的气体这些气体对中心轴的角动量为dm r u v 方向与飞船的角动量相同因u 50m s远大于飞船的速率v r 所以此角动量近似地等于dm ru 在整个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页当宇宙飞船停止旋转时其角动量为零系统这时的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量即为在整个喷射过程中系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零所以系统对于此轴的角动量守恒即L0 L1 由此得即定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页于是所需的时间为定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页例1一长为l 质量为m的匀质细杆可绕光滑轴O在铅直面内摆动当杆静止时一颗质量为m0的子弹水平射入与轴相距为a处的杆内并留在杆中使杆能偏转到q 300 求子弹的初速v0 解分两个阶段进行考虑其中 1 子弹射入细杆使细杆获得初速度因这一过程进行得很快细杆发生偏转极小可认为杆仍处于竖直状态子弹和细杆组成待分析的系统无外力矩满足角动量守恒条件子弹射入细杆前后的一瞬间系统角动量分别为定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页 2 子弹随杆一起绕轴O转动以子弹细杆及地球构成一系统只有保守内力作功机械能守恒选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为重力势能零点系统在始末状态的机械能为由角动量守恒得 1 定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页由机械能守恒 E E0 代入q 300 得将上式与联立并代入J值得定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页例2A B两圆盘绕各自的中心轴转动角速度分别为 wA 50rad s 1 wB 200rad s 1 已知A圆盘半径RA 0 2m 质量mA 2kg B圆盘的半径RB 0 1m 质量mB 4kg 试求两圆盘对心衔接后的角速度w 解以两圆盘为系统尽管在衔接过程中有重力轴对圆盘支持力及轴向正压力但他们均不产生力矩圆盘间切向摩擦力属于内力因此系统角动量守恒得到定轴转动刚体的角动量守恒定律返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页例质量为M 半径为R的转盘可绕通过中心的竖直轴转动开始质量为m的人相对转盘静止在离转轴中心R 2处开始系统以角速度旋转然后人相对于转盘以速度v垂直于R方向走动与原转动方向相反求转盘相对于地的角速度已知求解以M m为研究对象故角动量守恒以地面为参照建立转轴的正方向向下如图 M m 返回本章目录下一页上一页开始人和盘绕轴角动量为 M m 人和转台绕轴转动惯量分别为 t时刻人相对地的角速度为上式的投影为为返回本章目录下一页上一页 M m 根据题意人相对盘的角速度为 t时刻系统的角动量为由系统的角动量守恒可得返回本章目录下一页上一页 M m 3 式代入 2 式可得上式代入 4 式可得可得返回本章目录下一页上一页返回本章目录下一页上一页 4 5回转运动常平架由支在框架L上的内外两个圆环组成外环能绕光滑支点所决定的轴自由转动内环能绕与外环相连的光滑支点所决定的轴相对于外环自由转动陀螺仪D是一个厚重的对称的转子其转动惯量非常大陀螺仪的轴通过内环上两个光滑支点因此它可绕轴相对于内环自由转动通过陀螺仪的重心这样陀螺仪就不会受重力的力矩作用且能在空间任意取向一旦当陀螺仪绕其对称轴高速旋转其转速甚至可以高达每秒钟上千圈之后不管我们如何移动或转动常平架都不能使陀螺仪的转轴在空间的取向发生变化即陀螺仪总是指向空间某一确定方向而保持其角动量守恒三轴相互垂直而且都进动高速旋转的物体其自转轴绕另一个轴转动的现象 4 5 2进动杠杆陀螺仪进动原因刚体受重力矩 dt时间内角动量增量因所以自转轴发生转动产生进动返回本章目录下一页上一页玩具陀螺的回转效应用角动量定理研究进动由角动量定理所以进动角速度返回本章目录下一页上一页 C 技术上利用进动的一个实例是炮弹在空中的飞行图4 23 炮弹在飞行时要受到空气阻力的作用阻力阻力的作用阻力的方向总与炮弹质心的速度方向相反但其合力不一定通过质心阻力对质心的力矩就会使炮弹在空中翻转这样当炮弹射中目标时就有可能是弹尾先触目标而不引爆从而丧失威力为了避免这种事故就在炮筒内壁上刻出螺旋线这种螺旋线叫来复线当炮弹由于发射药的爆炸被强力推出炮筒时还同时绕自己的对称轴高速旋转由于这种旋转它在飞行中受到的空气阻力的力矩将不能使它翻转而只是使它绕着质心前进的方向进动这样它的轴线将会始终只与前进的方向有不大的偏离而弹头就总是大致指向前方了的方向总与炮弹质心的速度

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