分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一 分类加法计数原理 1 几个实际问题 直观感知 1 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 一天中 火车有3班 汽车有2班 那么一天中 乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 2 书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 从书架中任取1本书 有多少种不同的取法 2 抽象归纳 概念的形成 分类加法计数原理 完成一件事有n类不同方案 在第1类方案中有m1种不同的方法 在第2类方案中有m2种不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 二 分步乘法计数原理 1 几个实际问题 1 从甲地到乙地 要从甲地乘火车到丙地 再于次日从丙地乘汽车到乙地 一天中 火车有3班 汽车有2班 那么两天中 从甲地到乙地共有多少种不同的走法 2 书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少种不同的取法 3 概念的深化 例2 设某班有男生30名 女生24名 现要从中选出男 女生各一名代表班级参加比赛 共有多少种不同的选法 例3 要从甲 乙 丙3幅不同的画中选出2幅 分别挂在左 右两边墙上的指定位置 问共有多少种不同的挂法 完成一件事 共有n类办法 关键词 分类 区别1 完成一件事 共分n个步骤 关键词 分步 区别2 区别3 每类办法都能独立地完成这件事情 它是独立的 一次的 且每次得到的是最后结果 只须一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果 任何一步都不能独立完成这件事 缺少任何一步也不能完成这件事 只有各个步骤都完成了 才能完成这件事 各类办法是互相独立的 各步之间是互相关联的 即 类类独立 步步关联 例1 五名学生报名参加四项体育比赛 每人限报一项 报名方法的种数为多少 又他们争夺这四项比赛的冠军 获得冠军的可能性有多少种 解 1 5名学生中任一名均可报其中的任一项 因此每个学生都有4种报名方法 5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4 4 4 4 4 种 2 每个项目只有一个冠军 每一名学生都可能获得其中的一项获军 因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n 5 种 问题 给程序模块命名 需要用3个字符 其中首个字符要求用字母A G或U Z 后两个要求用数字1 9 问最多可以给多少个程序命名 分析 要给一个程序模块命名 可以分三个步骤 第一步 选首字符 第二步 先中间字符 第三步 选末位字符 解 首字符共有7 6 13种不同的选法 答 最多可以给1053个程序命名 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 根据分步计数原理 最多可以有13 9 9 1053种不同的选法 试试 1 乘积展开后共有几项 2 某商场有6个门 如果某人从其中的任意一个门进入商场 并且要求从其他的门出去 共有多少种不同的进出商场的方式 例1 核糖核酸 RNA 分子是在生物细胞中发现的化学成分 一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链 长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据 总共有 个不同的碱基 分别用A C G U表示 在一个RNA分子中 各种碱基能够以任意次序出现 所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关 假设有一类RNA分子由100个碱基组成 那么能有多少种不同的RNA分子 分析 用100个位置表示由100个碱基组成的长链 每个位置都可以从A C G U中任选一个来占据 解 100个碱基组成的长链共有100个位置 在每个位置中 从A C G U中任选一个来填入 每个位置有4种填充方法 根据分步计数原理 共有 种不同的RNA分子 电子元件很容易实现电路的通与断 电位的高与底等两种状态 而这也是最容易控制的两种状态 因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法 即二进制 为了使计算机能够识别字符 需要对字符进行编码 每个字符可以用一个或多个字节来表示 其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位 每个字节由 个二进制位构成 问 1 一个字节 8位 最多可以表示多少个不同的字符 2 计算机汉字国标码 GB码 包含了6763个汉字 一个汉字为一个字符 要对这些汉字进行编码 每个汉字至少要用多少个字节表示 如00000000 10000000 11111111 变式 例2 计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试 程序员需要知道到底有多少条执行路 即程序从开始到结束的线 以便知道需要提供多少个测试数据 一般的 一个程序模块又许多子模块组成 它的一个具有许多执行路径的程序模块 问 这个程序模块有多少条执行路径 另外为了减少测试时间 程序员需要设法减少测试次数 你能帮助程序员设计一个测试方式 以减少测试次数吗 分析 整个模块的任意一条路径都分两步完成 第1步是从开始执行到A点 第2步是从A点执行到结束 而第步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成 第二步可由子模块4或子模块5来完成 因此 分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理 再测试各个模块之间的信息交流是否正常 需要测试的次数为 3 2 6 如果每个子模块都正常工作 并且各个子模块之间的信息交流也正常 那么整个程序模块就正常 这样 测试整个模块的次数就变为172 6 178 次 2 在实际测试中 程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱 即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块 这样 他可以先分别单独测试5个模块 以考察每个子模块的工作是否正常 总共需要的测试次数为 18 45 28 38 43 172 变式 随着人们生活水平的提高 某城市家庭汽车拥有量迅速增长 汽车牌照号码需要扩容 交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法 每一个汽车牌照都必须有 个不重复的英文字母和 个不重复的阿拉伯数字 并且 个字母必须合成一组出现 个数字也必须合成一组出现 那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照 练1 某商场有6个门 如果某人从其中的任意一个门进入商场 并且要求从其他的门出去 共有多少种不同的进出商场的方式 1 分类加法计数原理 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 2 分步乘法计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题