分类加法计数原理与.ppt

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 3种 2种 3 2 5种 引例1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号 总共能够编出多少种不同的号码 N 26 10 36 引例2 一 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案 在第一类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有N m n种不同的方法 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类方法中有m2种不同的方法 在第n类方法中有mn种不同的方法 则完成这件事共有种不同的方法 N m1 m2 mn 2 首先要根据具体的问题确定一个分类标准 在分类标准下进行分类 然后对每类方法计数 1 各类办法之间相互独立 都能独立的完成这件事 要计算方法种数 只需将各类方法数相加 因此称分类加法计数原理 说明 现有高中一年级的学生3名 高中二年级的学生5名 高中三年级的学生4名 从中任选1人参加接待外宾的活动 有多少种不同的选法 N 3 5 4 12 先乘汽车 再乘火车 汽车1 火车1 火车2 3 2 6种 引例3 用前6个大写英文字母和1 9九个阿拉伯数字 以A1 A2 B1 B2 的方式给教室里的座位编号 总共能编出多少个不同的号码 N 6 9 54 引例4 二 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有N m n种不同的方法 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 则完成这件事共有种不同的方法 N m1 m2 mn 2 首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准 然后对每步方法计数 1 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数 又称乘法原理 说明 3 乘积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 展开后共有多少项 2 为了对某农作物新品选择最佳生产条件 在分别有3种不同土质 2种不同施肥量 4种不同种植密度 3种不同时间的因素下进行种植试验 则不同的实验方案共有多少种 N 3 3 4 36 N 3 2 4 3 72 分类计数原理和分步计数原理 回答的都是有关做一件事情的不同方法的种数的问题 分类计数原理 针对的是 分类 问题 其各种方法互相独立 用其中任何一种方法都可以做完这件事 分步计数原理 针对的是 分步 问题 各个步骤的方法相互依存 只有各个步骤都完成了才算做完这件事 3 分类计数原理和分步计数原理的联系与区别 联系 区别 例1图书馆的书架上第1层放有4本不同的 读者 第2层放有3本不同的 小小说月刊 第3层放有2本不同的 足球 1 从书架上任取1本书 有多少种不同的取法 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少种不同取法 3 从这些书中选2本不同类的书 有多少种不同的取法 例2给程序模块命名 需要用3个字符 其中首字符要求用字母A G或U Z 后两个要求用数字1 9 问最多可以给多少个程序命名 例3桐乡市电话号码057388 若从0 9这10个数字中选数 问可以产生多少个不同的电话号码 057388 若要求最后6个数字不重复 则又有多少种不同的电话号码 10 10 9 8 7 6 5 151200 106 练习 已知集合M 1 2 3 N 4 5 6 7 从两个集合中各取一个元素作点的坐标 则在直角坐标系中 第一 第二象限不同点的个数有多少个 思考题 同室4个人各写一张贺卡 放在一起 再取一张不是自己写的贺卡 共有多少种不同的方法 练习 1 七名男同学和九名女同学 选出两人组成一支乒乓球混合双打代表队 共有多少种组队方法 2 书架上原来并排放着5本书 现要再插入3本不同的书 则有多少种不同的插法 3 现有1角币1张 2角币1张 5角币1张 1元币4张 5元币2张 用这些币值任意付款 可以付出不同数额的款共有多少种 例1 四封不同的信投入3个不同的邮箱 共有多少种不同的投法 练习 4位同学参加3项不同的竞赛 1 每名学生只能参加一项竞赛 有多少种不同的报名方案 2 每项竞赛只许有一位学生参加 有多少种不同的报名方案 3 每位学生只能参加一项竞赛 每项竞赛只许有1位学生参加 有多少种不同的报名方案 练习 2 若集合A a1 a2 a3 a4 a5 B b1 b2 b3 则从A到B可建立 个不同的映射 从B到A可建立 个不同的映射 例2 由数字1 2 3 4可以组成多少个三位数 变式1 若各位数字不允许重复 则有多少个三位数 变式2 由数字0 1 2 3 4 可组成多少个无重复数字的三位数 变式4 在不大于200的正整数中 各个数位都不含有数字8的自然数有多少个 变式3 由数字0 1 2 3 4可以组成多少个无重复数字的三位偶数 例3 某文艺小组有10人 每人至少会唱歌和跳舞中的一项 其中7人会唱歌 5人会跳舞 从中选出会唱歌与会跳舞的各1人 有多少种不同的选法 例4 用5种不同的颜色给图中A B C D四个区域涂色 规定每个区域只涂一种颜色 相邻区域颜色不同 求有多少种不同的涂色方法 2003年全国高考题 某城市中心广场建造一个花园 花园分成如图所示6块 要栽种4种颜色不同的花 每部分栽种一种且相邻部分不能种同颜色的花 则不同的栽种方法有 种 练习 1 沿长方体的棱 从一个顶点到与之相对的另一个顶点的最近路线有 条 2 甲 乙两个自然数的最大公约数为60 则甲 乙两数的公约数共有多少个 3 某班星期三上午需上化学 政治 英语 语文 体育5门课 已知体育不能排在上午第一节和第5节 而且语文要排在政治的前面 那么有多少种排课方法 4 4张卡片的正 反面分别写有0与1 2与3 4与5 6与7 将其中3张卡片排放在一起 可组成多少个不同的三位数 5 设坐标平面内有1个质点从原点出发 沿x轴跳动 每次向正方向或负方向跳1个单位 经过5次跳动质点落在点 3 0 允许重复过此点 处 则质点不同的运动方法共有 种