分析力学第一章作业答案.ppt

作业参考答案 2013年9月 设质点在势能场U r 中运动 在笛卡尔坐标系中写出其拉格朗日方程 解 拉格朗日方程为 L为拉格朗日函数 笛卡尔坐标中的坐标变量为 那么 所以 带入拉格朗日方程得到 这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程即牛顿第二定律 已知柱坐标与笛卡尔坐标的关系是 如图 设质点在轴对称势能场中运动 写出其拉格朗日方程 解 由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知 等式两边同时除以dt 那么 系统的动能为 那么 系统的拉格朗日函数为 所以 带入拉格朗日方程 则有 长度为l的细绳系一小球 悬挂点按照方式运动 如图所示 小球被限制在平面内运动 时悬线竖直向下 a 求悬线和竖直线偏离所对应的虚位移 b 已知在这一时刻的角速度为 求经过时间后的位移 问 当时 与有何差别 a 在任意时刻 约束所容许的位移为虚位移 途中的小球 受到细绳的和自身重力的约束 在这个时刻 解 x 小球只能围绕O点作圆周运动 当偏离角为时 对应的虚位移为 b 小球经过时间后的位移 可以看作由两部分组成 1 小球绕O点作圆周运动所产生的位移 2 小球随O点一起作简谐运动所产生的位移 所以 小球的位移为 和的区别如图所示 x 虚位移和实际位移的主要区别在于虚位移只和约束有关 某一时刻约束所允许的位移 实际位移除了和约束有关以外 还和物体当前的运动状态有关 运动方程和约束允许 在时间间隔内所发生的位移 长度同为l的轻棒四根 相互连接成一个可以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD AB和AD两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距2a的两根钉上 BD之间用一根轻质棒连接 在连接点 B和D处 各棒之间可以无摩擦的转动 C点上系有一重物W C点和重物受到约束 只能上下运动 设A点两棒之间的夹角为 试用虚功原理求平衡时联结棒BD 中的张力 讨论的方向与的大小的关系 问 在什么情况下有 说明其意义 4 由虚功原理 在平衡状态下可得 解 为了求棒中的张力 可将棒的约束予以 释放 以张力作为主动力代替棒 此时系统的自由度为1 系统受3个外力作用 作用于B的张力 作用于D的张力 作用于C点的W 坐标系 两根钉连线的中点为坐标原点 连线所在直线为x轴 向右为正 垂直连线为y轴 向下为正 并取为广义坐标 B D点的x坐标 C点的y坐标 最后可得 即有 杠对B的作用力向内 杠对B的作用力向外 杠对B无作用力 9 质量为M的斜面可以无摩擦地在水平桌面上滑动 斜面上无摩擦地放一滑块m 如图所示 写出拉格朗日方程 并求斜面的加速度和滑块相对于斜面的加速度 解 系统的拉格朗日函数为 即有 解之得 带入拉氏方程 滑块的能量 斜面的能量 系统的总能量 K系 桌面坐标系 K 系 沿X方向以速度V相对于桌面运动的坐标系 P37第5题 系统的能量在k系和系之间的变换方程 10 直接用拉格朗日方程 1 1 2 2 21 式 证明 由相差一广义坐标和时间的函数的时间全导数的两个拉格朗日函数L 和L 1 1 3 3 13 式 得到的运动方程相同 证明 L和L 相差一个广义坐标和时间的全微分 那么 由L 和L得到的运动方程相同 将拉格朗日方程代入上两式 那么 12 已知一维运动自由质点的拉氏量是 a 证明 当按真实运动方式运动时 作用量是 b 设 求 并任意假定一种非真实的运动方式 计算相应的作用量 验证 解 按真实情况运动时 自由质点作匀速直线运动 速度为常数 将带入得到 将带入得到 b 假设自由质点不做匀速直线运动 则速度为时间的函数 且满足 那么 平方的平均值大于 平均值的平方