分析力学基础-拉格朗日方程.ppt

2 动力学普遍方程存在着致命的弊病 在求解多自由度会遇到极大困难 几乎难以下手 1 全部动力学问题归结为求解一个动力学普遍方程 是最高度的概括 原因 方程中3n个笛卡尔坐标不是独立的 对于完整系统只有N 3n s个是独立的 拉格郎日开创的分析力学 就是为克服动力学普遍方程的弱点 解决多自由度 非自由系统的动力学问题而发展完善的 1 分离独立坐标法 解决动力学普遍方程困难主要有三条途径 2 拉格郎日乘子法解算动力学普遍方程 这种方法在实际应用中 并不可取 但是起步艰难的第一步 同时是解微分方程的一种重要方法 3 拉格郎日第二类方程 采用广义坐标代替笛卡尔坐标 彻底改造动力学普遍方程 得到一组二阶常微分方程 4第一类拉格朗日方程 对约束方程两边变分 我们引入符号 实际这也是虚位移应当满足的约束 引入拉格朗日方程将上式两端乘并对k求和 将上式与动力学普遍方程两式相减 可得 这就是拉格朗日方程乘子的动力学方程 即第一类拉格朗日方程 共有3n s个未知量 可与s个约束方程可联立求解 独立坐标有3n s个 对于不独立坐标 我们可选取适当的使上式等于零 从而有 第一类拉格朗日方程优点 1 既可用于完整系统 也可用于非完整系统 具有更为普遍的应用性 2 既可求运动 也可求约束力 第一类拉格朗日方程弱点 1 没有采用广义坐标 约束越多 自由度越少 反而方程数越多 2 不能直接用于解决刚体系统的动力学问题 3 对于完整系统不如第二类拉格朗日方程方便 对于非完整系统又远不如罗兹和阿沛尔方程 步骤 列出笛卡尔坐标下的约束方程 3 分析各质点上的主动力 2 根据约束方程确定 4 根据第一类拉格朗日方程 列出运动微分方程 5 与约束方程联立求解 确定积分常数 已知 M1的质量为m1 M2的质量为m2 杆长为l 试建立此系统的运动微分方程 1 约束方程 3 各质点上的主动力 2 4 根据第一类拉格朗日方程 列出运动微分方程 5 与约束方程联立求解可得 由约束方程可得 已知 图示三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面滑动 A和B的质量各为m2与m1 三棱柱B的斜面与水平面成 角 如开始时物系静止 忽略摩擦 求运动时三棱柱B的加速度 1 约束方程 3 各质点上的主动力 2 由y1 0 并由2式可得 4 根据第一类拉格朗日方程 列出运动微分方程 由约束方程可得 将 3 和 4 式代入上式可得 将 3 和 4 式代入上式可得 再将 1 式代入上式消去 2可得 谢谢大家 由质心运动定理可得