函数解析式三种求法.ppt

1 第二单元函数3 求函数的解析式 2 掌握求函数解析式的常用方法 1 换元法或配凑法 2 待定系数法 3 构造方程法 3 本节题型函数的解析式问题 求下列函数的解析式 1 已知二次函数满足f 3x 1 9x2 6x 5 求f x 2 已知2f x f x 3x 2 求f x 例1 根据条件可灵活运用不同的方法求解 4 1 方法一 待定系数法 设f x ax2 bx c a 0 则f 3x 1 a 3x 1 2 b 3x 1 c 9ax2 6a 3b x a b c 又f 3x 1 9x2 6x 5 所以9ax2 6a 3b x a b c 9x2 6x 5 5 比较两端的系数 得9a 96a 3b 6 a b c 5所以f x x2 4x 8 方法二 换元法 令t 3x 1 则x 代入f 3x 1 9x2 6x 5中 得f t 9 2 6 5 t2 4t 8 所以f x x2 4x 8 a 1b 4 c 8 解得 6 方法三 配凑法 因为f 3x 1 3x 1 2 4 3x 1 8 所以f x x2 4x 8 2 直接列方程组求解 由2f x f x 3x 2 用 x代换此式中的x 得2f x f x 3x 2 解方程组2f x f x 3x 22f x f x 3x 2 得f x 3x 7 练一练 1 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 求f x 2 已知 3 已知f x 满足2f x 3x 求f x 问题 1 由题设知f x 为一次函数 故可先设出f x 的表达式 用待定系数法求解 问题 2 已知条件是一复合函数的解析式 因此可用换元法 问题 3 已知条件中含x 可用构造方程组法求解 思维启迪 8 函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系 是函数与自变量之间建立的桥梁 求函数的解析式是高考中的常见问题 其特点是类型活 方法多 求函数的解析式常有以下几种方法 如果已知函数f f x 的表达时 可用换元法或配凑法求解 如果已知函数的结构时 可用待定系数法求解 如果所给式子含有f x f 或f x f x 等形式 可构造另一方程 通过解方程组求解 9 解 1 设f x ax b a 0 则3f x 1 2f x 1 3ax 3a 3b 2ax 2a 2b ax b 5a 2x 17 a 2 b 7 故f x 2x 7 1 已知f x 是一次函数 且满足3f x 1 2f x 1 2x 17 求f x 10 2 已知 11 3 已知f x 满足2f x 3x 求f x 12 题型三分段函数问题 1 已知函数f x f x 2 x 1 2x 2 1 x 1 2x 4 x 1 则f f 2008 2 f x x 1 x 0 x 1 x 0 则不等式x x 1 f x 1 1的解集是 13 1 已知函数f x f x 2 x 1 2x 2 1 x 1 2x 4 x 1 则f f 2008 0 1 f f 2008 f f 2006 f f 2 f f 0 f 2 22 4 0 14 15 3 设则f g 3 7 解析 g 3 2 f g 3 f 2 3 2 1 7 16 分段函数的定义域是各段定义域的并集 值域是各段值域的并集 分段函数求解时 一定要注意自变量的取值范围 从而确定解析式 分类讨论时 各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集 最后所有的解集取并集 17 已知函数对任意的实数a b 都有f ab f a f b 成立 1 求f 0 f 1 的值 2 求证 f f x 0 x 0 3 若f 2 m f 3 n m n均为常数 求f 36 的值 本题是一个抽象函数问题 直接求函数的解析式是不可能的 需通过取特殊值来解决 18 1 不妨设a b 0 由f ab f a f b 得f 0 0 设a b 1 得f 1 0 2 证明 当x 0时 因为x 于是f 1 f x f x f 0 所以f f x 0 3 因为f 2 m f 3 n 所以f 36 f 22 f 32 f 2 2 f 3 3 2f 2 2f 3 2 m n 19 1 已知函数的解析式求其定义域 只要使解析式有意义即可 如分式的分母不等于零 开偶次方的被开方数不小于零 对数的真数大于零且底数大于零而不等于 等等 20 2 求函数的解析式的主要方法有 待定系数法 换元法 配方法 函数方程法 赋值法等 当已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法 已知复合函数的问题时用换元法或配凑法 抽象函数问题一般用赋值法或函数方程法 3 分段函数是指自变量在取值情况不同时 对应法则不同 分段函数的定义域为自变量的所有取值的并集 21 抽象函数由于只给出函数的某些性质 却不知道函数的具体解析式 因而成为函数问题中的一个难点 但这类问题能很好地考查学生的思维能力 解决抽象函数问题 要全面应用其所具有的性质展开解题思路 通常的方法是赋值法 并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型 帮助探求结论 找到解题的思路和方法