函数的单调性与最值.ppt

1 理解函数的单调性 最大值 最小值及其几何意义 2 会运用函数的图象理解和研究函数的性质 函数的单调性与最值 理要点 一 函数的单调性1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 逐渐上升 逐渐下降 2 单调区间的定义若函数f x 在区间D上是或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 增函数 减函数 区间D 二 函数的最值 f x M f x0 M f x M f x0 M 究疑点 1 如果一个函数在定义域的几个区间上都是增 减 函数 能不能说这个函数在其定义域上是增 减 函数 2 函数f x 在区间 a b 上单调递增与函数f x 的单调递增区间为 a b 含义相同吗 提示 含义不同 f x 在区间 a b 上单调递增并不能排除f x 在其他区间单调递增 而f x 的单调递增区间为 a b 意味着f x 在其他区间不可能单调递增 答案 A 2 下列说法正确的是 A 定义在 a b 上的函数f x 若存在x1 x2 有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上为增函数B 定义在 a b 上的函数f x 若有无穷多对x1 x2 a b 使得当x1 x2时 有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上为增函数C 若f x 在区间I1上为增函数 在区间I2上也为增函数 那么f x 在I1 I2上也一定为增函数D 若f x 在区间I上为增函数 且f x1 f x2 x1 x2 I 那么x1 x2 答案 D 归纳领悟 判断或证明函数单调性的常用方法 1 定义法 第一步 取值 即设x1 x2是该区间内任意两个值且x1 x2 第二步 作差 即作差f x1 f x2 并通过因式分解 配方 有理化等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 第三步 判号 即判断f x1 f x2 的正负 当符号不确定时 需要进行分类讨论 第四步 下结论 即判断f x 在该区间是增函数还是减函数 2 导数法 f x 0 x A f x 在A上为增函数 使f x 0的x仅是个别值 f x 0 x A f x 在A上为减函数 使f x 0的x仅是个别值 题组自测 1 函数y x2 2x 3 x 0 的单调增区间是 A 0 B 1 C 1 D 3 答案 A 解析 二次函数的对称轴为x 1 又因为二次项系数为正数 拋物线开口向上 对称轴在定义域的左侧 所以其单调增区间为 0 2 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 解析 f x x 3 ex x 3 ex x 2 ex 令f x 0 解得x 2 答案 D 3 求下列函数的单调区间 并确定每一区间上的单调性 1 f x x2 2 x 3 2 f x x3 15x2 33x 6 解 1 依题意 可得当x 0时 f x x2 2x 3 x 1 2 4 当x 0时 f x x2 2x 3 x 1 2 4 由二次函数的图象知 函数f x x2 2 x 3在 1 0 1 上是增函数 在 1 0 1 上是减函数 2 f x 3x2 30 x 33 3 x 11 x 1 当x11时 f x 0 f x 单调递增 当 1 x 11时 f x 0 f x 单调递减 f x 的递增区间是 1 11 递减区间是 1 11 4 求出下列函数的单调区间 1 f x x2 4x 3 2 f x log2 x2 1 解 1 先作出函数y x2 4x 3的图象 由于绝对值的作用 把x轴下方的部分翻折到上方 可得函数的图象 如图 所示 由图可知 函数的增区间为 1 2 3 减区间为 1 2 3 2 函数的定义域为x2 1 0 即 x x 1或x 1 令u x x2 1 图象如图 所示 由图象知 u x 在 1 上是减函数 在 1 上是增函数 而f u log2u是增函数 故f x log2 x2 1 的单调增区间是 1 单调减区间是 1 归纳领悟 求函数的单调性或单调区间的方法1 利用已知函数的单调性 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义 3 图象法 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 可由图象的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导数取值的正负确定函数的单调区间 2 若f x 为R上的增函数 则满足f 2 m f m2 的实数m的取值范围是 解析 f x 在R上为增函数 2 m0 m 1或m 2 答案 2 1 4 函数f x 对任意的a b R 都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 是R上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 解 1 证明 设x1 x2 R 且x10 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 f x2 f x1 即f x 是R上的增函数 解 函数f x 对于任意x y R 总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x f x 在R上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 与f 3 而f 3 3f 1 2 f 3 f 3 2 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 归纳领悟 f x 在定义域上 或某一单调区间上 具有单调性 则f x1 f x2 f x1 f x2 0 若函数是增函数 则f x1 f x2 x1 x2 函数不等式 或方程 的求解 总是想方设法去掉抽象函数的符号 化为一般不等式 或方程 求解 但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行 一 把脉考情从近两年的高考试题来看 函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度中等偏高 客观题主要考查函数的单调性 最值的灵活确定与简单应用 主观题在考查基本概念 重要方法的基础上 又注重考查函数方程 等价转化 数形结合 分类讨论的思想方法 预测2012年高考仍将以利用导数求函数的单调区间 研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点 重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力 答案 B 答案 C 点击此图片进入 课时限时检测