函数单调性和最大值最小值.ppt

理解函数的单调性 最大值 最小值及其几何意义 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 2 单调区间的定义若函数f x 在区间D上是增函数或减函数 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间D叫做f x 的单调区间 思考探究1 如果一个函数在定义域的几个区间上都是增 减 函数 能不能说这个函数在其定义域上是增 减 函数 思考探究2 函数的单调性 最大 小 值反映在其函数图象上有什么特征 提示 函数单调性反映在图象上是上升或下降的 而最大 小 值反映在图象上为其最高 低 点的纵坐标的值 2 函数的最值 解析 依题意可得函数应在x 0 上单调递减 故由选项可得A正确 答案 A 4 2010年广东省深圳市联考 定义在R上的函数f x 满足 f x f x 4 且x 2时 f x 递增 x1 x2 4 x1 2 x2 2 0 则f x1 f x2 的值是 A 恒为正数B 恒为负数C 等于0D 正 负都有可能 解析 解法一 由 x1 2 x2 2 2时f x 递增 则f x 在R上单调递增 由x1 x2 4得x1 4 x2 故f x1 f 4 x2 由已知得f 4 x f x f x1 f x2 f 4 x2 f x2 f x2 f x2 0 答案 B 考点一函数单调性的判断与证明用定义证明函数单调性的一般步骤1 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差 即f x2 f x1 或f x1 f x2 并通过通分 配方 因式分解等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 3 定号 根据给定的区间和x2 x1的符号 确定差f x2 f x1 或f x1 f x2 的符号 当符号不确定 可以进行分类讨论 4 判断 根据定义得出结论 考点二求函数的单调区间1 求函数的单调区间 1 利用已知函数的单调性 2 定义法 先求定义域 再利用单调性定义 3 图象法 如果f x 是以图象给出的 或者f x 的图象易作出 可直接由图象的直观性写出它的单调区间 4 导数法 利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间 2 求复合函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定定义域 2 将复合函数分解成基本初等函数 y f u u g x 3 分别确定这两个函数的单调区间 4 若这两个函数同增或同减 则y f g x 为增函数 若一增一减 则y f g x 为减函数 即 同增异减 考点三函数的最值求函数最值 值域 常用的方法和思路 1 单调性法 先定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数在给定区间上的图象 再观察其最高 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 例4函数f x 对任意的a b R 都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 是R上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 分析 问题 1 是抽象函数单调性的证明 所以要用单调性的定义 问题 2 将函数不等式中抽象的函数符号 f 运用单调性 去掉 为此需将右边常数3看成某个变量的函数值 解 1 证明 设x1 x2 R 且x10 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 f x2 f x1 即f x 是R上的增函数 函数的单调性是函数的一个重要性质 是高考的热点 常见问题有求单调区间 判断函数的单调性 利用函数单调性比较数的大小 辽宁卷 陕西卷都涉及到利用函数单调性解决数的大小问题 2010年广东高考 已知函数f x 对任意实数x均有f x kf x 2 其中常数k为负数 且f x 在区间 0 2 上有表达式f x x x 2 1 求f 1 f 2 5 的值 2 写出f x 在 3 3 上的表达式 并讨论函数f x 在 3 3 上的单调性 3 求出f x 在 3 3 上的最小值与最大值 并求出相应的自变量的取值 答案 B