函数与极限第二节.ppt

1 第二节数列的极限 LimitsofSequences 1 割圆术 我国古代数学家刘徽在 九章算术注 利用圆内接正多边形计算圆面积的方法割圆术 就是极限思想在几何上的应用 概念的引入 Introduction 2 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 播放 魏晋 刘徽 割圆术 3 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 说明 刘徽从圆内接正六边形 逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3 1416 4 2 截杖问题 一尺之棰 日截其半 万世不竭 5 数列的定义 例如 6 注意 1 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 2 数列是整标函数 7 播放 一 数列极限的定义 8 问题 当无限增大时 是否无限接近于某一确定的数值 如果是 如何确定 问题 无限接近 意味着什么 如何用数学语言刻划它 通过上面演示实验的观察 9 10 如果数列没有极限 就说数列是发散的 注意 11 几何解释 其中 12 极限定义的辨析 13 例1 证 所以 用数列极限的定义证明极限 14 例2 证 所以 说明 常数列的极限等于同一常数 15 例3 证 16 例4 证 17 1 极限的唯一性 证 二 收敛数列的性质 用反证法 18 惟一性得证 a b 19 2 有界性 定理2收敛的数列必定有界 证 20 注1有界性是数列收敛的必要条件 不是充分条件 注2无界数列必定发散 注3有界数列不一定收敛 21 定理3收敛数列的保号性 证 22 证明留作练习 23 4 收敛数列与其子数列的关系 24 定理4 收敛数列与其子数列的关系 证 25 例5 证明 由定义 26 练习 P30习题1 23 2 4 4 5