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2 5冲激响应和阶跃响应 冲激响应阶跃响应 概述 系统的单位冲激响应h t 的性质可以表示系统的稳定性和因果性 h t 的变换域表示更是分析LTI系统的重要手段 因此 h t 是系统分析中非常重要的一个概念 贯穿于本课程的始终 零状态响应 一部分自由响应 强迫响应 有一种特定条件下的零状态响应 单位冲激响应 一 冲激响应 1 定义 系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应 称为单位冲激响应 简称冲激响应 一般用h t 表示 说明 在时域 对于不同系统 零状态情况下加同样的激励看响应 不同 说明其系统特性不同 冲激响应可以衡量系统的特性 2 一阶系统的冲激响应 响应及其各阶导数 最高阶为n次 1 冲激响应的数学模型 对于线性时不变系统 可以用一高阶微分方程表示 激励及其各阶导数 最高阶为m次 3 n阶系统的冲激响应 设特征根为简单根 无重根的单根 由于 t 及其导数在t 0 时都为零 因而方程式右端的自由项恒等于零 这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同 不包含及其各阶导数包含包含及其各阶导数 2 h t 解的形式 一 冲激响应 二 阶跃响应 系统方程的右端包含阶跃函数 所以除了齐次解外 还有特解项 我们也可以根据线性时不变系统特性 利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应 称为单位阶跃响应 简称阶跃响应 1 定义 2 阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微 积分特性 阶跃响应是冲激响应的积分 注意积分限对因果系统 二 阶跃响应 阶跃响应与冲激响应的关系 例2 5 3 教材例2 9 2 10 解 系统的微分方程为 求例2 5中系统的电流i t 对激励e t t 的冲激响应h t 和阶跃响应g t 它的齐次解形式为 求系统的冲激响应h t 其满足上方程 利用冲激函数匹配法求h 0 及其导数h 0 由于方程右端自由项 t 的最高阶导数为 t 求阶跃响应 方法1 由阶跃响应和冲激响应的关系求解 方法2 直接解方程求解 见教材 三 齐次解法求冲激响应 补充 左端最高阶微分中含有 t 项 n 1 阶微分中含有u t 项 可以由此定初始条件 令方程左端系数为1 右端只有一项 t 时 冲激响应为 此方法比奇异函数系数平衡法简单 对于高阶系统更有优越性 求冲激响应的几种方法 方法1 冲激函数匹配法求出跃变值 定系数A 方法2 奇异函数项相平衡法 定系数A 方法3 齐次解法求冲激响应 总结 冲激响应的求解至关重要 冲激响应的定义零状态 单位冲激信号作用下 系统的响应为冲激响应 冲激响应说明 在时域 对于不同系统 零状态情况下加同样的激励 看响应 不同 说明其系统特性不同 冲激响应可以衡量系统的特性 用变换域 拉氏变换 方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便 但时域求解方法直观 物理概念明确