傅立叶变换的性质证明.ppt

3 4傅立叶变换的性质 若则其中 a b均为常数 说明 相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和 一 线性性质 例 若 则 二 时移性质 说明 信号在时域的中的延时和频域中的移相相对应 应用 要使信号f t 经过系统传输之后延时t0 则必须设计成使系统的每一个频率分量都滞后相位 t0 否则会引起失真 例 求图 a 所示三脉冲信号的频谱 解 令f0 t 表示矩形单脉冲信号 其频谱函数为F0 则 二 时移性质 因为 脉冲个数增多 频谱包络不变 带宽不变 由时移性质可知三脉冲函数f t 的频谱函数F 为 二 时移性质 若 则 三 频移性质 说明 信号在时域中乘以 实际上是将信号在频域当中将整个频谱沿频率轴右移 0个单位 频谱搬移技术在通信中得到了广泛的应用 诸如调幅 同步解调 变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成 频谱搬移的原理是将信号乘以所谓载波信号 一般载波信号选取为正弦信号或 三 频移性质 若 为任意实常数 则 四 尺度变换性质 当a 1时 有 说明 信号在时域中压缩 a 1 等效于在频域中扩展信号在时域中扩展 a 1 等效于在频域中压缩 在无线通信中 通信速度与占用带宽是一对矛盾 物理意义 信号的波形压缩a倍 则信号随时间变化加快a倍 则它包含的频率分量也增加等效于在频域中扩展a倍 即信号的频谱扩展a倍 根据能量守恒定理 各频率分量大小必然减小a倍 四 尺度变换性质 如果是尺度变换和时移同时发生 则有下面性质 即 四 尺度变换性质 或 若f t 是实函数 五 共轭对称性 说明 对实时间信号 信号的幅频为偶对称 相频为奇对称 傅立叶变换的实部为偶对称 虚部为奇对称 其中 则 若f t 为实偶函数 即f t f t 此时则F R 必为 的实偶函数 五 共轭对称性 其中是的复共轭 若f t 为实奇函数 即f t f t 此时则F jX 必为 的虚奇函数 对任意信号f t 若 则有 若 则 六 正反变换的对称性 根据傅立叶反变换 即有 所以 得 亦即 证明 若为实偶函数 则 六 正反变换的对称性 说明 若f t 的傅立叶变换为F 则形状为F 的波形对应傅立叶变换就是2 f t 若f t 是实偶函数 则时域与频域完全对称 六 正反变换的对称性 例 求取样信号的频谱 解 此题直接用傅立叶变换的定义公式求信号频谱很麻烦 这里根据傅立叶变换的对称性来求 由前面知道 高度为E 宽度为 的对称矩形脉冲的频谱为根据傅立叶变换的对称性 有 上式中 令 E 1 则有 若 七 时域卷积性质 由时移性质得 所以 证明 则 即 八 频域卷积性质 令得 若 所以 证明 则 频域卷积也称调制定理 表示用信号去调制另一信号振幅 若 则 九 时域微分性质 证明 由傅立叶反变换 两边对时间变量t求导得 推广 对高阶导数情况 有 说明 在频域分析中常利用这一性质来分析微分方程描述的LTI系统 若 则 十 时域积分性质 证明 对信号的积分可以看成是信号与阶跃函数的卷积 然后利用时域卷积性质有 如果f t 的积分为零 即 则 所以有 解 f t 可表示为 十 时域积分性质 例 已知三角脉冲信号如图所示 求它的频谱F 对其求一阶 二阶导数得 十 时域积分性质 图 a 可以看作是 c 积分两次得到 所以利用积分性质可得 解 f t 可表示为 十 时域积分性质 例 已知截平斜变信号如图所示 求它的频谱F 对其求导数得 根据矩形脉冲频谱及时移性质知道的频谱为 因为所以 十 时域积分性质 若 则 十一 频域微分性质 证明 对右边求导得 推广 频域微分性质的应用 十一 频域微分性质 若 十二 频域积分性质 因为利用对称性 则