信号系统与控制理论.ppt

10 4稳定性与Liyaponov方法 1 理解Liyaponov稳定性的定义 10 4 1Liyaponov关于稳定性的定义 1 系统的平衡状态 设初始条件 t0 x0 的唯一解为 称为从初始条件 t0 x0 出发的运动轨迹 运动 状态轨线 的xe 称为系统的平衡状态 2 掌握稳定性的判定方法 要求 满足 例 其平衡点为 结论 非线性系统的平衡点可能不唯一 也可能无 任何一个平衡状态可以通过坐标平移至坐标原点xe 0处 2 关于稳定性的几个定义 定义 称为欧几里德范数即x与xe的距离 1 Liyaponov意义下的稳定 称平衡状态xe为Liyaponov意义下的稳定 简称稳定 2 渐近稳定 xe稳定且从初始状态出发的状态轨线收敛于xe 3 大范围渐近稳定 对所有的初始状态x0都渐近稳定 4 不稳定 由s 内出发的状态轨线至少有一根会越过s 称xe不稳定 结论 x t 有界 xe稳定 x t 有界且 0 xe渐近稳定 x t 无界 xe不稳定 10 4 2Liyaponov第一法 线性定常 时不变 系统的稳定判据 系统在平衡状态xe 0渐近稳定的充分必要条件是A的所有特征值全部具有负实部 为内部稳定性 若系统对于有界输入 所引起的输出有界 则称系统为输出稳定 输出稳定的充要条件是W s C SI A 1b的极点全部位于s的左半平面 例1判定系统 的状态稳定性和输出稳定性 解 由 得 故系统平衡状态不是渐近稳定的 由 s 1位于s的左半平面 因而系统输出稳定 结论 只有系统无零 极点对消且系统的特征值与其极点相同时 系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致 10 4 3Liaponov第二法 基本思想 构造虚拟广义的能量函数V x 以此判定系统的稳定性 适用范围 不能用传统方法判定系统的稳定性的情况下 定义V 0 0的V x 为Liaponov函数 亦称能量函数 是标量函数 1 V x 的符号性质 正定 半正定 负定 半负定 不定 V x 0 V x 0 V x 0 V x 0 V x 0或V x 0 例对于x x1x2x3 T V x x12 x22 x32 V x x1 x2 2 x32 V x x12 x22 2 二次型标量函数 正定 半正定 半正定 各主子行列式的值均 0 且 P 0 P半负定 P为实对称阵 存在正交阵T 使当 时 有 称为二次标准型 V x 正定的充要条件是P的特征值均大于0 P的符号性质 V x 正定 P正定 记为P 0 3 希尔维斯特判据 实对称阵P符号性质的充分必要条件是 各主子行列式的值均大于0 P正定 偶数阶和奇数阶主子行列式的值分别大于0和小于0 P负定 各主子行列式的值均 0 且 P 0 P半正定 V x 负定 P负定 记为P 0 V x 半正定 P半正定 记为P 0 V x 半负定 P半负定 记为P 0 行列式的值为1 逆阵和转置阵相等 4 Liaponov稳定性判据 的平衡状态为xe 0 有V x 满足 对x有连续一阶偏导 V x 正定 则 为半负定 但对任意的x t0 0除x 0外的其它x 也渐近稳定 注意 不能说找不到Liaponov函数V x 就作出否定的结论 例1判定 设 为负定 则渐近稳定 为正定 不稳定 为半负定 则稳定 不恒为0 更进一步 x 有V x 则为大范围渐近稳定 的稳定性 平衡状态必须是坐标原点即xe 0 否则须坐标平移 解 xe 0 设 易知其正定 则 故系统渐近稳定 且当 x 时 有V x 所以为大范围渐近稳定 例2判定 的稳定性 解 xe 0 设 易知其正定 则 半负定 负定 若 必有x2 0 由于 因此必然x1 0 只在平衡点才为0 其余不为0 故系统是渐近稳定的 亦即 且当 x 时 有V x 所以为大范围渐近稳定 例3确定 平衡状态大范围渐近稳定的条件 解 由 设 易知其正定 则 故系统平衡状态渐近稳定 且当 x 时 有V x 所以该系统大范围渐近稳定 条件是a 0 当a 0时半负定 可得xe 0 若 必有x2 0 由于 因此必然x1 0 亦即 不恒为0 例4确定 平衡状态的稳定性 解 由状态方程可得 平衡状态非坐标原点 设 即 则状态方程变为 Liaponov函数的说明 2 必须是应用于稳定性判据的标量函数 且有一阶连续偏导 1 构造Liaponov函数没有确定的方法 要求有一定的技巧 一般用于非线性系统或时变系统的稳定性判定 3 非唯一但不影响结论的正确性 4 最简单的形式为二次型 作业 P66610 39 10 43 设 易知其正定 则 且当 所以该系统大范围渐近稳定 半负定 若 必有 由于 因此必然 亦即 不恒为0 易知其平衡状态为坐标原点 时 有 课堂思考 确定 平衡状态大范围渐近稳定的条件 5 Liaponov方法的应用 1 线性定常连续系统渐近稳定判据 判据 的平衡状态xe 0大范围渐近稳定 对于任意给 定的正定实对称矩阵Q 存在正定的实对称矩阵P 满足Liaponov方程 是系统的Liaponov函数 且 说明 通常取Q I 举例 的稳定性 判定系统 有 设 解 解得 且系统的Liaponov函数是 Riccati矩阵微分方程 解为 P正定 系统大范围渐近稳定 2 线性时变连续系统渐近稳定判据 的平衡状态xe 0大范围渐近稳定 对于任意 给定的连续实对称矩阵正定Q t 必存在一个连续对称正定的矩阵P t 满足 P 使下列矩阵 平衡状态xe 0渐近稳定的充分条件是 任给正定实对称矩阵 亦即Krasovski法 5 非线性系统渐近稳定的Jacobian矩阵法 是系统的Liaponov函数 且 意给定的正定实对称矩阵Q 必存在一个正定的实对称矩阵P 满足 对于任 平衡状态xe 0大范围渐近稳定 4 线性时变离散时间系统渐近稳定判据 且 是系统的Liaponov函数 意给定的正定实对称矩阵Q 必存在一个正定的实对称矩阵P 满足 平衡状态xe 0大范围渐近稳定 对于任 3 线性定常离散时间系统渐近稳定判据 解 例分析系统 在xe 0的稳定性 若 x 有V x 则为大范围渐近稳定 是系统的一个Liaponov函数 正定 且 取P I 则 Q x 正定 且 x 有 则系统的平衡点xe 0为大范围渐进稳定