信号与系统教案第6章·西安电子科技大学.ppt

第六章离散系统z域分析 6 1z变换一 从拉普拉斯变换到z变换二 收敛域6 2z变换的性质6 3逆z变换6 4z域分析一 差分方程的变换解二 系统的z域框图三 利用z变换求卷积和四 s域与z域的关系五 离散系统的频率响应 点击目录 进入相关章节 第六章离散系统z域分析 在连续系统中 为了避开解微分方程的困难 可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程 出于同样的动机 也可以通过一种称为z变换的数学工具 把差分方程转换为代数方程 6 1z变换 一 从拉氏变换到z变换 对连续信号进行均匀冲激取样后 就得到离散信号 取样信号 两边取双边拉普拉斯变换 得 令z esT 上式将成为复变量z的函数 用F z 表示 f kT f k 得 称为序列f k 的双边z变换 称为序列f k 的单边z变换 若f k 为因果序列 则单边 双边z变换相等 否则不等 今后在不致混淆的情况下 统称它们为z变换 F z Z f k f k Z 1 F z f k F z 6 1z变换 二 收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和 显然只有当该幂级数收敛 即 时 其z变换才存在 上式称为绝对可和条件 它是序列f k 的z变换存在的充分必要条件 收敛域的定义 对于序列f k 满足 所有z值组成的集合称为z变换F z 的收敛域 6 1z变换 例1求以下有限序列的z变换 1 f1 k k k 0 2 f2 k 1 2 3 2 1 解 1 可见 其单边 双边z变换相等 与z无关 所以其收敛域为整个z平面 2 f2 k 的双边z变换为 F2 z z2 2z 3 2z 1 z 2 收敛域为0 z f2 k 的单边z变换为 收敛域为 z 0 对有限序列的z变换的收敛域一般为0 z 有时它在0或 和 也收敛 6 1z变换 例2求因果序列 的z变换 式中a为常数 解 代入定义 可见 仅当 az 1 a 时 其z变换存在 收敛域为 z a 6 1z变换 例3求反因果序列 的z变换 解 可见 b 1z 1 即 z b 时 其z变换存在 收敛域为 z b 6 1z变换 例4双边序列f k fy k ff k 解 的z变换 可见 其收敛域为 a z b 显然要求 a b 否则无共同收敛域 序列的收敛域大致有一下几种情况 1 对于有限长的序列 其双边z变换在整个平面 2 对因果序列 其z变换的收敛域为某个圆外区域 3 对反因果序列 其z变换的收敛域为某个圆内区域 4 对双边序列 其z变换的收敛域为环状区域 6 1z变换 注意 对双边z变换必须表明收敛域 否则其对应的原序列将不唯一 例 f1 k 2k k F1 z z 2 f2 k 2k k 1 F2 z z 2 对单边z变换 其收敛域比较简单 一定是某个圆以外的区域 可以省略 常用序列的z变换 k 1 z 0 k z 1 z 1 k 1 6 2z变换的性质 一 线性 6 2z变换的性质 本节讨论z变换的性质 若无特殊说明 它既适用于单边也适用于双边z变换 若f1 k F1 z 1 z 1 f2 k F2 k 2 z 2对任意常数a1 a2 则a1f1 k a2f2 k a1F1 z a2F2 z 其收敛域至少是F1 z 与F2 z 收敛域的相交部分 例 2 k 3 k 2 z 1 6 2z变换的性质 二 移位 移序 特性 单边 双边差别大 双边z变换的移位 若f k F z 0 则 f k m z mF z z 证明 Z f k m 单边z变换的移位 若f k F z z 且有整数m 0 则 f k 1 z 1F z f 1 f k 2 z 2F z f 2 f 1 z 1 6 2z变换的性质 f k 1 zF z f 0 zf k 2 z2F z f 0 z2 f 1 z 证明 Z f k m 上式第二项令k m n 特例 若f k 为因果序列 则f k m z mF z 6 2z变换的性质 例1 求周期为N的有始周期性单位序列 的z变换 解 z 1 例2 求f k k k 的单边z变换F z 解 f k 1 k 1 k 1 k 1 k f k k zF z zf 0 F z F z 6 2z变换的性质 三 序列乘ak z域尺度变换 若f k F z z 且有常数a 0 则akf k F z a a z a 证明 Z akf k 例1 ak k 例2 cos k k cos k k 0 5 ej k e j k k 6 2z变换的性质 四 卷积定理 若f1 k F1 z 1 z 1 f2 k F2 z 2 z 2则f1 k f2 k F1 z F2 z 对单边z变换 要求f1 k f2 k 为因果序列 其收敛域一般为F1 z 与F2 z 收敛域的相交部分 例 求f k k k 的z变换F z 解 f k k k k k 1 6 2z变换的性质 五 序列乘k z域微分 若f k F z z 则 z 例 求f k k k 的z变换F z 解 6 2z变换的性质 六 序列除 k m z域积分 若f k F z 0 则 z 若m 0 且k 0 则 例 求序列的z变换 解 6 2z变换的性质 七 k域反转 仅适用双边z变换 若f k F z z 则f k F z 1 1 z 1 例 已知 z a 求a k k 1 的z变换 解 z a z 1 a 乘a得 z 1 a 6 2z变换的性质 八 部分和 若f k F z z 则 max 1 z 证明 例 求序列 a为实数 k 0 的z变换 解 z max a 1 6 2z变换的性质 九 初值定理和终值定理 初值定理适用于右边序列 即适用于k M M为整数 时f k 0的序列 它用于由象函数直接求得序列的初值f M f M 1 而不必求得原序列 初值定理 如果序列在k M时 f k 0 它与象函数的关系为f k F z z 则序列的初值 对因果序列f k 6 2z变换的性质 证明 两边乘zM得 zMF z f M f M 1 z 1 f M 2 z 2 6 2z变换的性质 终值定理 终值定理适用于右边序列 用于由象函数直接求得序列的终值 而不必求得原序列 如果序列在k M时 f k 0 它与象函数的关系为f k F z z 且0 1则序列的终值 含单位圆 6 3逆z变换 6 3逆z变换 求逆z变换的方法有 幂级数展开法 部分分式展开法和反演积分 留数法 等 一般而言 双边序列f k 可分解为因果序列f1 k 和反因果序列f2 k 两部分 即f k f2 k f1 k f k k 1 f k k 相应地 其z变换也分为两部分F z F2 z F1 z z 其中F1 z Z f k k z F2 z Z f k k 1 z 6 3逆z变换 当已知象函数F z 时 根据给定的收敛域不难由F z 求得F1 z 和F2 z 并分别求得它们所对应的原序列f1 k 和f2 k 将两者相加得原序列f k 一 幂级数展开法 根据z变换的定义 因果序列和反因果序列的象函数分别是z 1和z的幂级数 其系数就是相应的序列值 例 已知象函数 其收敛域如下 分别求其相对应的原序列f k 1 z 2 2 z 1 3 1 z 2 6 3逆z变换 解 1 由于F z 的收敛域在半径为2的圆外 故f k 为因果序列 用长除法将F z 展开为z 1的幂级数 z2 z2 z 2 1 z 1 3z 2 5z 3 f k 1 1 3 5 k 0 2 由于F z 的收敛域为 z 1 故f k 为反因果序列 用长除法将F z 按升幂排列 展开为z的幂级数 z2 2 z z2 6 3逆z变换 3 F z 的收敛域为1 z 2 其原序列f k 为双边序列 将F z 展开为部分分式 有 第一项属于因果序列的项函数F1 z 第二项属于反因果序列的象函数F2 z z 1 z 2 即将它们分别展开为z 1及z的幂级数 有 难以写成闭合形式 6 3逆z变换 二 部分分式展开法 式中m n 1 F z 均为单极点 且不为0 可展开为 根据给定的收敛域 将上式划分为F1 z z 和F2 z z 两部分 根据已知的变换对 如 k 1 6 3逆z变换 例1 已知象函数 其收敛域分别为 1 z 2 2 z 1 3 1 z 2 解部分分式展开为 1 当 z 2 故f k 为因果序列 2 当 z 1 故f k 为反因果序列 3 当1 z 2 6 3逆z变换 例2 已知象函数 1 z 2 的逆z变换 解 由收敛域可知 上式前两项的收敛域满足 z 1 后两项满足 z 2 6 3逆z变换 2 F z 有共轭单极点 如z1 2 c jd e j 则 令K1 K1 ej 若 z f k 2 K1 kcos k k 若 z f k 2 K1 kcos k k 1 3 F z 有重极点 F z 展开式中含项 r 1 则逆变换为 若 z 对应原序列为 6 3逆z变换 以 z 为例 当r 2时 为kak 1 k 当r 3时 为 可这样推导记忆 Z ak k 两边对a求导得Z kak 1 k 再对a求导得Z k k 1 ak 2 k 故Z 0 5k k 1 ak 2 k 6 3逆z变换 例 已知象函数 z 1 的原函数 解 f k k k 1 3k 1 k 6 4z域分析 6 4z域分析 单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中 可求得零输入 零状态响应和全响应 一 差分方程的变换解 设f k 在k 0时接入 系统初始状态为y 1 y 2 y n 取单边z变换得 6 4z域分析 令 称为系统函数 h k H z 例1 若某系统的差分方程为y k y k 1 2y k 2 f k 2f k 2 已知y 1 2 y 2 1 2 f k k 求系统的yx k yf k y k 解 方程取单边z变换 6 4z域分析 Y z z 1Y z y 1 2 z 2Y z y 2 y 1 z 1 F z 2z 2F z 6 4z域分析 例2 某系统 已知当输入f k 1 2 k k 时 其零状态响应 求系统的单位序列响应h k 和描述系统的差分方程 解 h k 3 1 2 k 2 1 3 k k 6 4z域分析 二 系统的z域框图 另外两个基本单元 数乘器和加法器 k域和z域框图相同 6 4z域分析 例3 某系统的k域框图如图 已知输入f k k 1 求系统的单位序列响应h k 和零状态响应yf k 2 若y 1 0 y 2 0 5 求零输入响应yx k 解 1 画z域框图 z 1 z 1 F z Yf z 设中间变量X z X z z 1X z z 2X z X z 3z 1X z 2z 2X z F z Yf z X z 3z 1X z 1 3z 1 X z 6 4z域分析 h k 2 2 k k 当f k k 时 F z z z 1 yf k 2k 3 2 2 k k 2 由H z 可知 差分方程的特征根为 1 1 2 2 6 4z域分析 yx k Cx1 Cx2 2 k 由y 1 0 y 2 0 5 有 Cx1 Cx2 2 1 0 Cx1 Cx2 2 2 0 5 Cx1 1 Cx2 2 yx k 1 2 2 k 三 利用z变换求卷积和 例 求2k k 2 k k 解 原式象函数为 原式 1 2 k k 6 4z域分析 四 s域与z域的关系 z esT 式中T为取样周期 如果将s表示为直角坐标形式s j 将z表示为极坐标形式z ej e T T 由上式可看出 s平面的左半平面 z平面的单位圆内部 z 0 z平面的单位圆外部 z 1 s平面的j 轴 0 z平面中的单位圆上 z 1 s平面上实轴 0 z平面的正实轴 0 s平面上的原点 0 0 z平面上z 1的点 1 0 6 4z域分析 五 离散系统的频率响应 由于z esT s j 若离散系统H z 收敛域含单位园 则 若连续系统的H s 收敛域含虚轴 则连续系统频率响应 离散系统频率响应定义为 存在 令 T 称为数字角频率 式中 H ej 称为幅频响应 偶函数 称为相频响应 只有H z 收敛域含单位园才存在频率响应 6 4z域分析 设LTI离散系统的单位序列响应为h k 系统函数为H z 其收敛域含单位园 则系统的零状态响应 yf k h k f k 当f k ej k时 若输入f k Acos k 则其正弦稳态响应为 ys k 0 5Aej ej kH ej 0 5Ae j e j kH e j 0 5Aej ej k H ej ej 0 5Ae j e j k H e j e j A H ej cos k 0 5Aej kej 0 5Ae j ke j 6 4z域分析 例图示为一横向数字滤波器 1 求滤波器的频率响应 2 若输入信号为连续信号f t 1 2cos 0t 3cos 2 0t 经取样得到的离散序列f k 已知信号频率f0 100Hz 取样fs 600Hz 求滤波器的稳态输出yss k 解 1 求系统函数 Y z F z 2z 1F z 2z 2F z z 3F z H z 1 2z 1 2z 2 z 3 z 0 令 TS z取ej H ej 1 2e j 2e j2 e j3 e j1 5 2cos 1 5 4cos 0 5 6 4z域分析 2 连续信号f t 1 2cos 0t 3cos 2 0t 经取样后的离散信号为 f0 100Hz fs 600Hz f k f kTs 1 2cos k 0Ts 3cos k 2 0Ts 令 1 0 2 0Ts 3 3 2 0Ts 2 3 所以H ej 1 6 H ej 2 3 46e j 2 H ej 3 0 稳态响应为 yss t H ej 1 2 H ej 2 cos k 0Ts 2 3 H ej 3 cos 2k 0Ts 3 6 6 92cos k 3 2 可见消除了输入序列的二次谐波