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信号与系统 武汉大学 电气工程学院 课程介绍 教材 胡钋编著信号与系统 北京 中国电力出版社 2009 学时 40学时 实验 10学时 考核 理论考试 平时成绩 作业 考勤 期中测验 实验 作业 每章一次 学分 2 5学分 推荐参考书目 书后参考文献郑君理闵大镒管致中 美 奥本海姆 学时安排 学时Cp1信号与系统的基本概念4Cp2连续时间系统的时域分析4Cp3连续信号的频谱 傅里叶变换6Cp4连续时间系统的频域分析3Cp5连续时间系统的人复频域分析3Cp6离散时间信号与系统的时域分析6Cp7离散时间信号与系统的频域分析8Cp8Z变换与离散时间系统的z域分析6 作业 Cp1 1 a c e 2 2 4 6 3 1 2 3 6 1 3 5 7 8 1 3 5 7 9 12 13 16 19Cp2 1 3 1 3 5 7 9 a c e 10 1 3 5 Cp3 4 5 6 1 3 7 2 4 9 10 2 4 6 11 15 17Cp4 3 6 7 8 9 10Cp5 19 20 22 1 3 Cp6 1 1 3 5 2 6 1 3 5 11 14 18 23 25 2 26 30 1 33 35 1 36 37 38Cp7 1 3 4 1 3 6 8 11 15 19 21 1 3 5 24 27 30 35 39 40 43 47Cp8 2 3 7 13 19 25 27 2 4 31 42 44 第1章信号与系统的基本概念 基本要求 1 了解信号与系统的基本概念与定义 能画出信号的波形 2 了解常用基本信号的描述方法及分类 信号的特点与性质 并会应用这些性质 3 了解信号的时域分解 变换与运算方法 并会求解 4 了解系统的概念与分类 理解LTI因果系统的定义与性质 并会应用这些性质 5 了解LTI的数学模型与传输算子及时域分析的基本方法 学习原则 物理描述与数学语言并重 信号分析与系统分析并重 时域分析与频域变换法并重 连续系统与离散系统并重 理论 系统与实验并重 1 1信号及其描述 各种传输信号的方法 烽火 鼓声 旗语 电信号信号按物理属性分 电信号和非电信号 它们可以相互转换 1 1 1什么是信号 信号是信息的一种物理体现 信息则是信号的具体内容 电信号传输优点 容易产生 便于控制 易于处理 本课程讨论电信号 简称 信号 1 1 2信号处理系统 信号处理是利用器件或设备 对信号进行分析 变换 综合 识别等加工以达到提取有用信息和便于利用的目的 1 1信号及其描述 1 1 2信号的描述 单边指数信号函数表达式 描述信号的常用方法 1 函数表达式f t 连续信号 或离散序列 离散信号 2 波形图 3 数据表 单边指数信号波形图 信号 与 函数 或 序列 两词常相互通用 1 1信号及其描述 模拟信号 时间和幅值均为连续的信号 抽样信号 时间是离散的 幅值是连续的信号 数字信号 时间和幅值均为离散的信号 离散时间信号 1 2 3 1 2信号的分类 1 按信号的时间特性分类 信号的分类方法很多 可以从不同的角度对信号进行分类 确定性信号 连续时间信号 时间变量t连续或称模拟信号 离散时间信号 数字信号 信号 可以用确定时间函数表示的信号 称为确定信号或规则信号 随机信号 时间离散幅值连续 时间离散幅值离散 抽样信号 时间离散幅值连续 不能用确定时间函数表示的信号 且在任意时刻的取值都具有不确定性 只可能知道它的统计特性 如在某时刻取某一数值的概率 这类信号称为随机信号或不确定信号 电子系统中的起伏热噪声 雷电干扰信号就是两种典型 随机信号 1 2信号的分类 连续时间信号 连续时间信号 可包含不连续点 离散时间信号 抽样信号 数字信号 f n 2 1 1 01234 n 判断下列波形是连续时间还是离散时间信号 若是离散时间信号是否为数字信号 值域连续 值域不连续 1 2信号的描述及分类 2 周期信号与非周期信号 周期信号是定义在 区间 每隔一定时间T 或整数N 按相同规律重复变化的信号 连续周期信号f t 满足 f t f t mT m 0 1 2 离散周期信号f k 满足 f k f k mN m 0 1 2 满足上述关系的最小T 或整数N 称为该信号的周期 1 2信号的描述及分类 例1判断下列信号是否为周期信号 若是 确定其周期 1 f1 t sin2t cos3t 2 f2 t cos2t sin t 解 两个周期信号x t y t 的周期分别为T1和T2 若其周期之比T1 T2为有理数 则其和信号x t y t 仍然是周期信号 其周期为T1和T2的最小公倍数 1 sin2t是周期信号 其角频率和周期分别为 1 2rad s T1 2 1 scos3t是周期信号 其角频率和周期分别为 2 3rad s T2 2 2 2 3 s 由于T1 T2 3 2为有理数 故f1 t 为周期信号 其周期为T1和T2的最小公倍数2 2 cos2t和sin t的周期分别为T1 s T2 2s 由于T1 T2为无理数 故f2 t 为非周期信号 1 2信号的描述及分类 3 按信号能量特点分类 1 信号f t 的能量 将信号f t 施加于1 电阻上 它所消耗瞬时功率为 在区间 的能量和平均功率定义为 2 信号的功率P 若信号f t 的功率有界 即P 则称为功率有限信号 简称功率信号 此时E 若信号f t 的能量有界 即E 则称其为能量有限信号 简称能量信号 此时P 0 1 2信号的描述及分类 1 信号f t 的能量 2 信号的功率P 1 2信号的分类 5 因果信号与非因果信号 因果信号 或有始信号 将t 0时 为零 t 0接入系统的信号称为因果信号 1 3典型信号 常用单元信号 1 3 1单位斜变信号 1 3 2单位阶跃信号 单位阶跃函数是对某些物理对象从一个状态瞬间突变到另一个状态的描述 1 3典型信号 1 3 3 单位矩形脉冲信号 1 3 4符号信号 符号函数也可以用阶跃函数来表示 即sgn t 2u t 1 u t u t 1 3典型信号 1 3 5单位冲激信号1 定义单位冲激信号又可称为冲激函数 狄拉克函数等 记为 t 单位冲激信号反映一种持续时间极短 函数值极大的信号类型 1 3典型信号 1 狄拉克定义法函数 t 为t 0处无限窄而又无限高 但面积为1的一个冲激 2 脉冲函数取极限定义法宽度为 高度为1 的矩形脉冲逼近冲激信号的过程如图所示 1 3典型信号 1 筛分性质和抽样性连续时间信号x t 与单位冲激信号相乘 等于将冲激时刻t0的信号值x t0 筛分 出来赋给冲激函数做冲激强度 即 把冲激函数与连续时间函数的乘积在整个时间范围内积分 可以得到冲激时刻的连续时间信号的取值 即 抽样 所以 冲激函数具有抽样 检测 特性 x t t t0 x t0 t t0 2 冲激函数的性质 1 3典型信号 对于移位情况 如果f t 在t 0处连续 且处处有界 则有 1 3典型信号 分和讨论 积分结果为0 冲激函数抽样性质证明 1 3典型信号 2 偶函数性 t t 证明奇偶性时 主要考察此函数的作用 即和其他函数共同作用的结果 1 3典型信号 3 冲激函数与阶跃函数互为微积分关系 4 乘积性质 1 3典型信号 5 冲激偶 1 3典型信号 冲激偶的重要性质 冲激偶信号的另一个性质是 它所包含的面积等于零 这是因为正 负两个冲激的面积相互抵消 1 3典型信号 6 尺度特性 分析 用两边与f t 的乘积的积分值相等证明 分a 0 a 0两种情况 两边相等 i 1 3典型信号 ii 1 3典型信号 1 3 6复指数信号 当 0时 信号随时间按指数规律增长当 0时 信号随时间按指数规律衰减当 0时 指数信号变成恒定不变的直流信号 S 此时为实指数信号 1 3典型信号 1 3典型信号 s j 此时为复指数信号 利用欧拉公式 复指数信号虚部的波形 指数信号的重要性在于对它的微积分结果仍然是同幂的指数信号 1 3典型信号 抽样信号Sa t 1 3 7抽样信号 抽样函数的性质 1 3典型信号 1 3 8高斯信号 1 4连续信号的运算 1 4 1时移 反褶 折叠 尺度 时移 f t b b 0 f t 右移b b 0 f t 左移 b 折叠 反褶 f t 信号f t 与f t 以纵轴镜像对称 1 4连续信号的运算 例 已知f t 波形 求 解 方法一 先折叠后时移 1 4连续信号的运算 方法二 先时移后折叠 注意 是对t的变换 0 0 1 左移 右移 1 1 4连续信号的运算 尺度变换 横坐标展缩 f at a为常数 a 1表示f t 波形在时间轴上压缩1 a 倍 a 1表示f t 波形在时间轴上扩展 a 倍 1 4连续信号的运算 时移 尺度 反褶 例题 1 4连续信号的运算 例题 信号f t 的波形如图所示 画出信号f 2t 4 的波形 1 4连续信号的运算 例 已知f 5 2t 的波形如图所示 试画出f t 的波形 t t 2 反转 f 2t 中以 t代替t 可求得f 2t 表明f 2t 的波形 1 4连续信号的运算 以t 0的纵轴为中心线对褶 注意是偶数 故 1 4连续信号的运算 证明 两边积分 得 由f 2t f t 比例 3 比例 以代替f 2t 中的t 所得的f t 波形将是f 2t 波 形在时间轴上扩展两倍 1 4连续信号的运算 1 微分 1 4 2微分和积分 1 4连续信号的运算 积分运算可削弱毛刺噪声的影响 2 积分 f t 5 积分 1 4连续信号的运算 1 4 3加减 乘除 重要结论 任意信号f t 可分解为偶分量与奇分量之和 1 相加 证明 1 4连续信号的运算 2 相乘 幅度变化af t 1 5连续信号的合成和分解 1 5 0规则信号的分解 为了便于研究信号的传输和处理问题 往往将信号分解为一些简单 基本 的信号之和 分解角度不同 可以分解为不同的分量 简单分量组合直流分量与交流分量偶分量与奇分量任意信号分解为脉冲分量之和实部分量与虚部分量正交函数分量 锯齿波 方波 1 5连续信号的合成和分解 1 5 1任意信号分解为直流分量与交流分量之和 一个信号的平均功率等于直流功率与交流功率之和 1 2 0 1 2 2 可以分解为四个不同时刻出现的阶跃函数 解 1 例1 9 1 5连续信号的合成和分解 1 5 2奇偶分解 对任何实信号而言 信号的平均功率 偶分量功率 奇分量功率 1 5连续信号的合成和分解 0 1 1 2 1 1 0 1 1 2 0 1 1 5 1 0 1 1 2 1 1 2 0 1 2 0 1 1 2 1 图1 35 两个信号分解为奇 偶分量的实例 1 5连续信号的合成和分解 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 图1 35 1 5连续信号的合成和分解 1 矩形窄脉冲序列 此窄脉冲可表示为 1 5 3脉冲分量 1 5连续信号的合成和分解 出现在不同时刻的不同强度的冲激函数的和 1 5连续信号的合成和分解 2 连续阶跃信号之和 将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广 后面的卷积积分中将用到 可利用卷积积分求系统的零状态响应 如图所示分解任意信号 可以分解为阶跃信号之和 1 5连续信号的合成和分解 1 5连续信号的分解 任意时刻的阶跃为 将信号近似表示为 1 5连续信号的分解 然后 令窄脉冲宽度 并对上式极取限 最后 得到任意信号用阶跃信号表示的积分形式为 1 6系统的模型 一般来讲 系统是一个由若干互有关联的单元组成的并具有某种功能以用来达到某些特定目的的有机整体 其意义十分广泛 1 6 1系统的概念 电路与系统很难区分 只是观点和处理问题的角度上的差别 故系统也可看作是一个转换 或一种运算 r t T e t 此图表示系统功能的方框图 表示单输入 单输出系统 1 6系统的模型 1 6 2初始状态 下面以电容 电感的电压 电流关系理解系统初始状态的概念 将 0 记为 初始 时刻 的瞬间 或电路发生 换路 的瞬间 为讨论问题方便 习惯 初始 实际是一个相对时间 通常是一个非零的电源接入电路 1 6系统的模型 解由电容的电压 电流关系 此式是一阶线性微分方程 解此方程可得响应为 称电容为动态 记忆 储能 元件 1 6系统的模型 特别的若 代入上式成为 由电容与电感的对偶关系 或初始条件 以前的作用 是系统在该时刻的储能 称作系统的初始状态 上式中的 或 是电流 在时刻 不特别说明本书的 初始 时刻取 1 6系统的模型 阶线性微分方程的一般形式为 标准化初始条件 不能全部直接用于微分方程求解就是非标准化初始条件 1 连续时间系统与离散时间系统2 静态即时系统和动态系统 按照系统内是否含有记忆元件 3 集总参数系统与分布参数系统4 线性系统和非线性系统 按其特性分 5 时不变系统与时变系统 按其参数是否随t而变 6 可逆系统与不可逆系统7 因果系统和非因果系统8 稳定系统与非稳定系统 1 7系统的分类 本课程主要研究 集中参数的 线性非时变的连续时间和离散时间系统 以后简称线性系统 输入 输出都是离散时间信号 其数学模型是差分方程 输入 输出都是连续时间信号 其数学模型是微分方程 按所处理的信号类型划分 1 7系统的分类 1 7 1连续时间系统和离散时间系统 激励和响应均为连续时间信号的系统是连续时间系统 也称模拟系统 激励和响应均为离散时间信号的系统是离散时间系统 也称数字系统 1 7系统的分类 1 7 2静态即时系统和动态系统 按照系统内是否含有记忆元件 系统的数学模型 一阶微分方程 由理想电路元件符号表示的系统模型 i t LR e t 例如日光灯电路的电路模型 1 7系统的分类 1 7 4线性系统和非线性系统 2 线性系统同时具有零输入线性与零状态线性 1 分解性 不满足可分解性 是非线性系统 不满足零状态线性 是非线性系统 不满足零输入线性 是非线性系统 满足可分解性 零输入线性 零状态线性 所以线性系统 1 7系统的分类 1 7 5时不变系统和时变系统 若连续系统x t t0 y t t0 则称为时不变连续系统 定义 即 若连续时不变系统的激励移位 则响应的波形不变 且作同样的移位 数学上 将y t 中的变量t代之以t t0 若t0 0 则右移 延时 若t0 0 则左移 提前 不满足上述关系的系统 称为时变系统 物理解释 元件参数不随时间改变 1 7系统的分类 1 7系统的分类 线性时不变系统 LTI 1 叠加性与齐次性 合称线性性质 线性系统判据 2 时不变性 非时变性 判据 若则 1 7系统的分类 3 微分特性对于线性时不变系统 LTI 具有下列特性 根据线性与时不变性容易证明此特性 1 7系统的分类 1 7 6可逆系统和不可逆系统 若系统在不同激励信号作用下产生不同的响应 则称此系统为可逆系统 对于每个可逆系统都存在一个 逆系统 当原系统与此逆系统级联组合后 输出信号与输入信号相同 不同的激励信号产生了相同的响应 因而它是不可逆的 1 7系统的分类 因果信号 或有始信号 t 0时 为零 t 0接入系统的信号称为因果信号 系统为因果系统 1 7 7因果系统和非因果系统 若系统的响应不先于激励 称此系统为因果系统 否则 为非因果系统 因果系统的输出 响应 不会出现在输入信号激励系统以前的时刻 1 7系统的分类 1 0 1 0 0 0 a 因果系统 b 非因果系统 解 1 输出值只取决于输入的过去值如t 6时 输出r 6 e 4 故为因果系统 2 输出值取决于输入的将来值如t 6时 r 6 e 8 故为非因果系统 1 7系统的分类 例4 判断下列系统的因果性 现在的响应 现在的激励 以前的激励 为因果系统 1 7系统的分类 1 7 8稳定系统与非稳定系统 所谓稳定系统 是指对于有限 有界 激励只能产生有限 有界 响应的系统 则响应函数 1 8系统分析方法 给定系统的结构和参数 初始条件的情况下 求系统的响应 为了便于对系统进行分析 需要建立系统的模型 在模型的基础上可以运用数学工具进行系统研究 系统模型 是系统物理特性的数学抽象 以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表示系统特性 1 时域分析 2 变换域分析 卷积积分 或卷积和 法 傅里叶变换 FT拉普拉斯变换 LTz变换 ZT离散傅里叶变换 DFT离散沃尔什变换 DWT 差分方程 离散系统 微分方程 连续系统 经典法求解 1 8系统分析方法 对于较复杂的系统 同一系统模型可有多种不同的数学表现形式 其数学模型有两类 高阶微分方程 也为输入 输出方程状态方程 适合于多输入多输出系统分析 一阶微分方程组 1 8 1LTI的数学模型 着眼于激励与响应的关系 而不考虑系统内部变量情况 单输入 单输出系统 列写一元n阶微分方程 输入 输出描述法 状态变量分析法 不仅可以给出系统的响应 还可以描述内部变量 如电容电压或电感电流的变化情况 研究多输入 多输出系统 列写多个一阶微分方程 1 8LTI的数学模型与传输算子 若选 作为输出 则系统的状态方程为 一阶微分方程组 e t 线性高阶微分方程