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例说河北省中考的三大重点及应解策略河北基教考试研究中心中考研讨会 一 河北省中考的三大重点 二 几何图形性质的探究与证明复习例说 1 近几年的试题回顾 2 基本特征 三个考查重点 两个变化 3 如何提高几何图形性质的探究与证明的能力 引导学生掌握好基本图形的性质与功能 例说一 线段中点的功能 1 由中点构造三角形的中线 特别是直角三角形斜边上的中线 2 由中点构造三角形的中位线 3 由中点构造中心对称图形 特别是 中心对称 形式的全等三角形 题1 如图 在ABCD中 E F分别是边AB CD的中点 AG DB 交CB的延长线于点G 若四边形BEDF是菱形 则四边形AGBD是什么特殊四边形 并证明你的结论 题2 如图 已知 AD是 ABC的中线 E是AD上一点 连结CE并延长交AB于点F 若E是AD的中点 则 若AE ED 则 若AE ED 则 题3 已知 如图 D是 ABC的边BA延长线上一点 且AD BA E是边AC上一点 且DE BC 求证 DEA C 题4 如图 EFGH分别为正方形ABCD四条边的中点 中间阴影部分的面积为5 则正方形ABCD的边长为 题5 操作 如图 点O为线段MN的中点 直线PQ与MN相交于点O 请利用图 画出一对以点O为对称中心的全等三角形 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动 探究 如图 在四边形ABCD中 AB DC E为BC边的中点 BAE EAF AF与DC的延长线相交于点F 试探究线段AB与AF CF之间的等量关系 并证明你的结论 题6 已知 如图 在正方形ABCD中 E为BC边的中点 连结AE F为CD边上一点 满足 FAE EAB 求证 AF BC CF 例说二 等腰直角三角形1 等腰直角三角形的轴对称性 2 等腰直角三角形绕斜边中点的90 旋转重合性 3 等腰直角三角形两直角边饶直角顶点的90 旋转重合性 题1 如图 在 ABC中 ACB 90 CA CB D为斜边AB上任意一点 AE CD于点E BF CD 交CD延长线于点F CH为斜边AB上的高线 交AE于点G 在不再添其他辅助线的情况下 请写出图中所有的全等三角形 并就其中一对 ACH BCH除外 进行证明 题2 如图 在 ABC中 ACB 90 AC BC 直线MN经过点C 且AD MN于点D BE MN于点E 当直线MN绕点C旋转到图 的位置时 求证 DE AD BE 当直线MN绕点C旋转到图 的位置时 求证 DE AD BE 当直线MN绕点C旋转到图 的位置时 试问 DE AD BE有怎样的等量关系 请写出等量关系 并加以证明 题3 两个全等的含30 60 角的三角板ADE和ABC如图放置 E A C三点在一条直线上 连结BD 取BD的中点M 连结ME MC 试判断 MEC的形状 并说明理由 题4 如图 在 ABC中 已知 ACB 90 CA CB D E为AB上的两点 且 DCE 45 求证 AD2 BE2 DE2 题5 如图 在等腰直角 ABC中 P是斜边BC的中点 以P为顶点的直角的两边分别与边AB AC交于点E F 当 EPF绕顶点P旋转时 点E不与A B重合 PEF也始终是等腰直角三角形 请你说明理由 题6 如图14 1 ABC的边BC在直线l上 AC BC 且AC BC EFP的边FP也在直线l上 边EF与边AC重合 且EF FP 在图14 1中 请你通过观察 测量 猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系 将 EFP沿直线l向左平移到图14 2的位置时 EP交AC于点Q 连结AP BQ 猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系 请证明你的猜想 将 EFP沿直线l向左平移到图14 3的位置时 EP的延长线交AC的延长线于点Q 连结AP BQ 你认为 中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗 若成立 给出证明 若不成立 请说明理由 引导学生掌握好图形变换的知识和应用策略 一 图形变换的有关知识 略 二 关于图形变换的基本考法 1 按要求的 变换 画图 题1 在如图的方格纸中 每个小方格都是边长为1个单位的正方形 ABC的点都在格点上 每个小方格的顶点叫格点 画出 ABC向下平移4个单位后的 A1B1C1 画出 ABC绕点O顺时针旋转90 后的 A2B2C2 并求点A旋转到A2所经过的路线长 2 由图形变换引出的几何计算 题2 如图 已知 ABC的面积为3 且AB AC 现将 ABC沿CA方向平移CA长度得到 EFA 求 ABC所扫过的图形的面积 试判断AF与BE的位置关系 并说明理由 若 BEC 15 求AC的长 题3 如图 边长为1的正方形ABCD中 M N分别为AD BC的中点 将点C折至MN上落在点P的位置 折痕为BQ 连结PQ 求MP的长 求PQ的长 3 用 图形变换 的眼光识图和构图 题4 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 所示放置 图 是由它抽象出的几何图形 在同一条直线上 连结DC 请找出图 中的全等三角形 并给予证明 说明 结论中不得含有未标识的字母 证明 DC BE 题5 如图 把一张长方形纸片对折 折痕为AB 再以AB的中点O为顶点把平角 AOB三等分 沿平角的三等分线折叠 将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形 那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 A 正三角形B 正方形C 正五边形D 正六边形 题6 如图 已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成 一圆过A D E三点 求该圆半径的长 二 从变换的视角看图形的全等 一个情境中的全等图形往往还伴随着它们的位置关系 因此 在许多情况下借助位置关系来考察全等关系常常是很有效的 从轴对称的视角来考察图形 1 当题目的背景图形是轴对称图形时 题1 已知 如图 Rt ABC Rt ADE ABC ADE 90 试以图中标有字母的点为端点 连结出新的线段 并请你把满足相等 或垂直 或平行关系的线段找出来 然后选择一种关系予以证明 题2 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠 使点C与A重合 点D落到D 处 折痕为EF 求证 ABE AD F 连结CF 判断四边形AECF是什么特殊四边形 证明你的结论 2 善于从较复杂的图形看到轴对称的部分 题3 将一张矩形纸片沿对角线剪开 如图 得到两张三角形纸片 如图 中的 ABC和 DEF 再将这两张三角形纸片摆放成如下图 的形式 使点B F C D在同一条直线上 求证 AB ED 若PB BC 请找出图中与此条件有关的一对全等三角形 并给予证明 题4 如图 一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起 现正方形ABCD保持不动 将三角尺GEF绕斜边EF的中点O 点O也是BD中点 按顺时针方向旋转 如图 当EF与AB相交于点M GF与BD相交于点N时 通过观察或测量BM FN的长度 猜想BM FN满足的数量关系 并证明你的猜想 如图 当EF与AB相交于点M GF与BD相交于点N时 通过观察或测量BM FN的长度 猜想BM FN满足的数量关系 并证明你的猜想 一 从旋转的视角来考察图形 1 当背景图形是具有 旋转对称 的基本图形或其变形时 题1 如图 在正方形ABCD中 点E F分别为边BC CD的中点 AF DE相交于点G 则可得结论 AF DE AF DE 不需要证明 如图 若点E F不是正方形ABCD的边BC CD的中点 但满足CE DF 则上面的结论 是否仍然成立 请直接回答 成立 或 不成立 如图 若点E F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上 且CE DF 此时上面的结论1 2是否仍然成立 若成立 请写出证明过程 若不成立 请说明理由 如图 在 的基础上 连接AE和EF 若点M N P Q分别为AE EF FD AD的中点 请判断四边形M N P Q是 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 中的哪一种 并写出证明过程 题2 用两个全等的等边三角形 ABC和 ACD拼成菱形ABCD 把一个含60 角的三角尺与这个菱形叠合 使三角尺的60 角的顶点与点A重合 两边分别与AB AC重合 将三角尺绕点A按逆时针方向旋转 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC CD相交于点E F时 如图 通过观察或测量BE CF的长度 你能得出什么结论 并证明你的结论 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC CD的延长线相交于点E F时 如图 你在 中得到的结论还成立吗 简要说明理由 2 当背景图形中有 两组等边做成有公共顶点的等角 时 题3 如图 四边形ABCD DEFG都是正方形 连接AE CG AE与CG相交于点M CG与AD相交于点N 求证 AE CG 2 AN DN CN MN 题4 如图 ABC和 CEF是两个大小不等的等边三角形 且有一个公共顶点C 连结AF和BE 线段AF和BE有怎样的大小关系 证明你的结论 将图 中的 CEF绕点C旋转一定的角度 得到图 中的结论还成立吗 作出判断并说明理由 将图 中的 ABC绕点C旋转一定的角度 画出变换后的图形 中的结论是否还成立 根据以上的活动 归纳你的发现 三 从 平移 的视角考察图形 题1 现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片 从中任选一张 如图从距离正方形的四个顶点2cm处 沿45 角画线 将正方形纸片分成5部分 则中间阴影部分的面积是cm 若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程 并计算阴影部分的面积 你能发现什么规律 题2 如图 已知 ABC ABC 请你在BC边上分别取两点D E BC的中点除外 连结AD AE 写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件 并表示出面积相等的三角形 请你根据使 成立的相应条件 证明ABAC AD AE 题3 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起 其中 A 60 AC 1 固定 ABC不动 将 DEF进行如下操作 如图 DEF沿线段AB向右平移 即D点在线段AB内移动 连结DC CF FB 四边形CDBF的形状在不断的变化 但它的面积不变化 请求出其面积