仿射坐标与仿射平面.ppt

高等几何 课程概论 一 高等几何的内容 什么是射影几何 欧氏几何 仿射几何 射影几何 十九世纪名言 一切几何学都是射影几何 鸟瞰下列几何学 欧氏几何 初等几何 搬动 正交变换 对图形作有限次的平移 旋转 轴反射 欧氏几何 研究图形的正交变换不变性的科学 统称不变性 如距离 角度 面积 体积等 研究图形在 搬动 之下保持不变的性质和数量 仿射几何 平行射影 仿射变换 仿射几何 研究图形的仿射变换不变性的科学 透视仿射变换 有限次平行射影的结果 仿射不变性 比如 平行性 两平行线段的比等等 射影几何 中心射影 射影变换 射影几何 研究图形的射影变换不变性的科学 透视变换 有限次中心射影的结果 射影不变性 比如 几条直线共点 几个点共线等等 射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念 第四章仿射坐标与仿射平面 4 1透视仿射与仿射对应一 平行射影与仿射对应二 仿射不变性与仿射不变量 4 2仿射坐标系一 仿射变换的代数表示二 特殊的仿射变换 一 平行射影与仿射对应 两直线间的平行射影与仿射对应两平面的平行射影与仿射对应 4 1透视仿射与仿射对应 一 两直线间的平行射影与仿射对应 1 平行射影或透视仿射 若直线 且 点A B C D 过点A B C D 作直线的平行线交于 则可得直线 到直线 的一个映射 称为平行射影或透视仿射 记为T 原象点 A B C D 直线a上的点 平行射影的方向 直线 透视仿射与方向有关 方向变了 则得到另外的透视仿射 O 点O为自对应点或二重点 同一平面上两相交直线的公共点 2 仿射对应 仿射对应是透视仿射链或平行射影链 表示透视仿射链 T表示仿射 仿此 每一个对应点都可以这样表示 注 1 仿射是有限回的平行射影组成的 2 判断仿射是否是透视仿射的方法 对应点的联线是否平行 3 书写的顺序与平行射影的顺序是相反的 平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的 是透视仿射链 2 仿射 二 两平面的平行射影与仿射对应 1 平行射影 如图 点A B C共线a 则共线 g A B C a l 两相交平面的交线为自对应点的集合即透视轴 二 仿射不变性与不变量 定义 仿射不变性与不变量 经过一切仿射对应不变的性质和数量 仿射图形 经过任何仿射对应不改变的图形 仿射性 经过任何仿射对应不改变的性质 仿射量 经过任何仿射对应不改变的数量 一 仿射不变性 1 仿射对应保持同素性 几何元素保留同一种类而不改变 即点对应点 直线对应为直线 2 保持点与直线的结合性 3 保持两直线间的平行性 反证法 4 平行四边形是仿射不变的图形 思考1 菱形 正方形 梯形是仿射不变的图形吗 二 仿射不变量 1 单比 设A B C为三点共线 则有向线段的比 称为这三点的单比 简比 记作 单比 ABC 等于点C分割线段AB的分割比的相反数 当点C在线段AB上时 ABC 0 当点C在线段AB或BA的延长线上时 当点C与点A重合时 当点C与点B重合时 当点C为线段AB的中点时 ABC 1 则点C称为分点 A B两点称为基点 ABC 0 ABC 0 ABC 不存在即 根据单比的定义可得出以下结论 当点C趋向无穷远时 ABC 1 例1 经过点A 3 2 和B 6 1 两点直线被直线x 3y 6 0截于P点 求简比 ABP 解 设 点P在直线x 3y 6 0上 x 3y 6 0 定理 共线三点的单比是仿射不变量 定理 两平行线段之比是仿射不变量 A B C 要证 A B C D E 可作DEAC A B C D E 证明 如图 作DEAC 单比是仿射不变量 推论 一直线上两线段之比是仿射不变量 思考2 一般的 任意两线段长度之比 是不是仿射不变量 推论1 在仿射变换下 任何两个多边形面积之比是仿射不变量 推论2 在仿射变换下 任何两个封闭图形的面积之比是仿射不变量 定理 任意两个三角形面积之比是仿射不变量 小结 仿射不变性 同素性 结合性 平行性 注 垂直 角平分线不具有仿射不变性 相切性 中点 重心 对称中心 仿射图形 仿射不变量 共线三点的简比 图形面积的比 定理 任意两个三角形面积之比是仿射不变量 证明 分两种情形 特殊情形 有两对对应点在对应轴g上并且重合 如图 A B C g 一般情形 如图 对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上 ABC与 对应 三对对应边相交于对应轴g上 A B C g X Y Z 由的证明可得 4 2仿射坐标系 设有仿射坐标系xoy 以E为单位点 如图 一个仿射变换T将平面上一点P变换为一点 求P的坐标 x y 和在坐标系xoy下的坐标之间的关系 一 仿射变换的代数表示 x y O P x y 或者写为 且 因为三点不共线 三点不共线 所以行列式不为0 例1 求出使点分别变为的仿射变换 解 设所求仿射变换为 分别将 的坐标代入上式 解此方程组得 故所求仿射变换为 练习 求使得直线x 2y 1 0上的点 1 1 变为 1 2 其它点都不变的仿射变换 例2 求仿射变换的不变点和不变直线 解 1 求不变点 设x x y y 因此得 解得不变点的坐标为x 6 y 8 2 求不变直线 设任意直线l方程为 ax by c 0 若1为不变直线 则像1 的方程可设为 ax by c 0 将变换代入得到a 3x y 4 b 4x 2y c 0 即 3a 4b x a 2b y 4a c 0 因为 式与 式表示同一直线 将 2代入方程组得 a 4 b 1 c 16 故不变直线为4x y 16 0 将 1代入方程组得 a 1 b 1 c 2 故不变直线为x y 2 0 将 1代入方程组得 a 0 b 0 c 1 就本章内容而言 1时 自对应直线不存在 故所求自对应直线为 4x y 16 0和x y 2 0 求使直线x 0 y 0 x 2y 1 0分别变为直线x y 0 x y 0 x 2y 1 0 的仿射变换 练习 解 设所求的仿射变换为 则有 由以上 1 2 3 联立解得 二 常见的仿射变换 1 正交变换 正交变换使平面上共线三点变成共线三点 不共线三点变成不共线三点 而且保持两直线的夹角不变 1 平移变换 2 旋转变换 3 轴反射变换 二 常见的仿射变换 2 位似变换 注 位似变换的基本性质 1 对应点连线经过定点 位似中心 2 保持共线三点的简单比不变 3 使得直线 不过O 变为其平行直线 4 使得任意一对对应线段的比值等位似比k 3 相似变换 注 相似变换的基本性质 1 保持共线三点的简单比不变 2 使得任意图形变成其相似图形 使平行直线变为平行直线 3 保持任意两条线段的比值不变 从而保持两直线夹角不变 4 正交变换 位似变换都是其特例 1 4 压缩变换 变为椭圆 由此可知 圆的仿射象为椭圆 圆 例3 计算椭圆的面积 解 设有一圆 其面积为 取仿射变换为均匀压缩变换 则该圆的仿射象为椭圆 设它的面积为S则 例4已知平行四边形ABCD的边AB BC上各有一点E F 且EF AC 试证明 AED与 CDF面积相等 T 例5设ABCDEF是椭圆的内接六边形 AB DE BC EF 试证明CD AF T 作业 习题4 2第1题复习题四第1题