代数系统的一般性质-嘉应学院.ppt

1 半群和独异点 定义设V 是代数系统 为二元运算 如果 是可结合的 则称V为半群 定义如果半群V 中的二元运算含有幺元 则称V为含幺半群 也可叫做独异点 为了强调幺元的存在 有时将独异点记为 2 例6 1是半群 都是半群和独异点 其中 表示普通加法 幺元是0 是半群和独异点 其中 表示矩阵乘法 矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E 是半群和独异点 其中 是有穷字母表 表示连接运算 连接运算的幺元是空串 是半群和独异点 其中 表示集合的对称差运算 对称差运算的幺元是 是半群和独异点 其中Zn 0 1 n 1 表示模n加法 模n加法的幺元是0 3 因为半群V 中的运算 是可结合的 可以定义运算的幂 对任意的x S 规定xn是x1 x xn 1 xn x n为正整数 易证x的幂遵从以下规律 xn xm xn m xn m xnm n为正整数 半群中运算的幂 4 在独异点V 中 如果规定x0 e x是S中的任意元素 那么有关半群中幂的定义可以变成x0 exn 1 xn xn为非负整数 而关于幂的两个运算公式不变 只要其中的m和n是非负整数就可以了 独异点中运算的幂 5 例 6 7 子半群 半群的子代数叫做子半群 如果V 是半群 就是V的子半群 需要满足 T是S的非空子集 T对V中的运算 是封闭的 即可 8 独异点的子代数叫做子独异点 对独异点V 构成V的子独异点 需要满足 T是S的非空子集 T要对V中的运算 封闭 e T 即可 子独异点 9 10 试证上述定理并思考 若干个子半群的并是子半群吗 11 积半群 定义设V1 V2 为半群 则V1 V2 也是半群 且对任意 S1 S2有 称V1 V2为V1和V2的积半群 12 半群同态 定义设V1 V2 为半群 S1 S2 且对任意x y S1有 x y x y 则称 为半群V1到V2的同态 13 例半群V 其中S 是矩阵乘法 令 S S 那么有 这说明 是半群V的自同态 但不是满自同态 14 独异点的积代数 设V1 V2 是独异点 则它们的积代数是V1 V2 其中的 定义与积半群一样 即 对任意 S1 S2有 15 V1 V2 是独异点 设 S1 S2 如果对任意x y S1都有 x y x y e1 e2 则称 为独异点V1到V2的同态 独异点的同态 16 例独异点V 其中S 是矩阵乘法 令 S S 那么对任意x y S都有 17 但是而不是独异点V的么元 因此 不是独异点V的自同态 这就是说 如果把V看作半群 则 是V的自同态 如果把V看作独异点 则 就不是它的自同态了 18 19