代数学基础群和子群的基本概念.ppt

代数学基础 内容提要群环和域有限域 群 一般来说 一个代数结构是指一个非空集合S以及定义在S上的二元运算的总体 要求二元运算满足一定的条件 定义群的定义 注意 有限群和无限群 如果集合G中的元素个数有限 就称群G为有限群 否则称为无限群 阿贝尔群阿贝尔群又称交换群 commutativegroup 本章中出现的所有群都是指交换群 举例 下面 我们给出群的一些具体例子 群的例子 1 整数集Z在加法下构成群 记为 Z Z 是一个无限群 阿贝尔群 有理数集Q 实数集R和复数集C关于加法都形成无限群 单位元 逆元素的定义与整数加法群相同 群的例子 2 Q R和C中的非零元素在乘法下构成群 将这些群分别记为Q R 和C 这三个群的完整表示是 Q R C 将这些群称为乘法群 群的例子 3 对任意自然数n 整数模n集合构成一个包含n个元素的有限加法群 这里的加法运算是模n加 将这个群记为Zn 这个群的完整表示为 Zn modn 注意 Zn是Z nZ的简化表示 群的例子 4 时钟上表示小时的数字在模12加法下构成群Z12 将 Z12 mod12 称为时钟群 群的例子 5 Zn 0 1 2 n 1 Zn中所有与n互素的的元素是Zn的一个子集 这个子集按照模n乘法运算构成一个群 用Zn 表示 例如 Z15 mod15 1 2 4 7 8 11 13 14 mod15 群的例子 6 集合B 0 1 在异或运算下形成群 群的例子 7 x3 1 0的根在乘法运算下构成一个有限群 x 1是方程的一个解 该方程有三个根 用u和v表示其它两个根 由于x3 1 x 1 x2 x 1 则u和v是x2 x 1 0的两个根 由二次方程根与系数的关系 u和v互逆 封闭性 x2 3 1 0 群的例子 8 置换群S 1 2 n Sn是S上所有置换构成的集合 Sn n 是Sn中置换 表示 和 的复合 即 x x Sn构成群 称为n阶对称群 置换的表示 1234 56 132 1432 1423 重复群运算的简化表示 群的性质 子群 子群 对于群G的一个非空子集H 要判别H是否是G的子群 需要验证4条 封闭性结合律 不必验证 单位元逆元素 子群的例子 1 在加法运算下 ZQRC 注意 在这个例子中 子群中的单位元和群中的单位元相同 都是0子群中元素的逆元素和群中该元素的逆元素一致 子群的例子 2 全体偶数的集合 包括0 在加法运算下 是整数加法群的一个子群 因此也是 1 中所有群的子群 子群的例子 3 在乘法运算下 Q R C 子群的例子 4 子群的例子 5 B 0 1 在异或运算下是一个群 0 是B的一个真子群 1 不是B的子群 子群的例子 6 设G是一个群 e是它的单位元 e 和G是群G的两个平凡子群 群的阶 有限群G中元素的个数称为G的阶 记为 G Zn nB 0 1 按照异或运算 B 2 Roots x3 1 3 子群中的单位元 在我们给出的例子中 子群的单位元就是包含它的群的单位元 事实上 对任意子群都有这样的结论成立 证明 设H是G的一个子群 H中的单位元为eH G中的单位元为eG 那么 在H中 有eH eH eH 在G中 有eH eG eH 从而可得到eH eG 子群中的逆元素 由于eH eG 因此子群H中元素的逆元正是它在G中的逆元 子群的判别 1 子群的判别方法 子群的判别 2 设H是群G的一个非空子集 H是G的子群的充要条件是对任意的元素x yH 有xy 1H 子群的判别 3 当H是一个有限集合时 判别会变得容易些 只需满足封闭性即可 拉格朗日定理 陪集 Coset 的定义 拉格朗日定理 商群的概念 注 此处 首先应说明商群上的运算是一个二元运算 实际上 商群上的运算可以看作集合之间的乘法运算 因为 商群的例子 1 设n 0是一个整数 在加法运算下 集合nZ 0 n n 2n 2n 是Z的一个子群 那么商群Z nZ x nZ x为任一整数 有n个元素 即Z nZ 0 nZ 1 nZ n 1 nZ 可以看出Z nZ Zn事实上 Z nZ是Zn的正式和标准记法 为了表达的方便 用Zn代替Z nZ 商群的阶 商群的例子 2 群元素的阶 注 当一个元素g的阶ord g 有限时 如果有gn e成立 则必有ord g n 即n一定是ord g 的倍数 例子 1 在时钟群Z12中 12是满足112 0 mod12 的最小正整数 所有ord 1 12 类似地 ord 2 6 ord 3 4 ord 4 3 ord 5 12 例子 2 0 1 关于异或运算形成一个群 ord 0 1 ord 1 2 例子 3 在群Roots x3 1 中 ord u ord v 3 ord 1 1 例子 4 在Z中 ord 1 推论 拉格朗日 推论提供了群的阶和群中元素的阶之间的关系 欧拉定理和费马小定理可以直接由推论得到 欧拉函数 欧拉定理 费马小定理