2019年高考数学总复习压轴题突破--导数与零点个数（附解析）与综上可2019年高考数学总复习压轴题突破--极值点的关系证明（含解析）

2019 年高考数学总复习压轴题突破-导数与零点个数（附解析）与综上可 2019 年高考数学总复习压轴题突破-极值点的关系证明（含解析）2019 年高考数学总复习压轴题突破- 导数与零点个数（附解析）专题 02 导数与零点个数导数与零点个数，对于考生来讲中等偏难，基本的思路是利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值或最值，作出函数的大致图像，再数形结合可求得结果。【题型示 例】1、设 为实数,函数 (1)求 的极值点；(2)如果曲线 与 轴仅有一个交点 ,求实数 的取值范围【答案】（1） 的极大值点为 ,极小值点为 （2） 或 2、已知函数 .（1）求 的极值；（2）若函数 的图象与函数 的图象在区间 上有公共点,求实数 的取值范围.【答案】（1）极大值 ，无极小值；（2） .【解析】（1） 的 定义域为 , ,令 得 ，当 时， ， 是增函数；当 时， ， 是减函数，所以 在 处取得极大值,无极小值.（2） 当 时，即 时，由 （1）知 在 上是增函数，在 上是减函数，所以 ，因为 的图象与 的图象在 上有公共点,所以 ，解得 ，又 ，所以 .当 时，即 时， 在 上是增函数，所以 在 上最大值为 ，所以原问题等价于 ,解得 .又 ，所以此时 无解.综上,实数 的取值范围是 .3、设函数 （其中 ）（）求函数 的极值；（）求函数 在 上的最小值；（）若 ，判断函数 零点个数【答案】（1）极小值 ，不存在极大值；（2）（3）1 个【解析】（） ，由 得 ，由 得 ，在 单调递增，在 单调递减极小值 ，不存在极大值（） 由（）知， 在 单调递增，在 单调递减 当 时， 在 单调递减， 单调递增， 当 时， 在 单调递增，；（） 由题意求导得 ，由 得 或 ，由 得所以 在 上单调递增，在 上单调递减当 时， ，故函数 只有一个零点4、已知函数 .（I）若 ，求 的极值；（II）若 ，函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围.【答案】（I） 的极小值为 ；（II） 或 .【解析】（I） 时， ，其中则 得当 时 ， 单调递减，当 时 ， 单调递增，因而 的极小值为 ；（II）若 有且只有一个零点，即方程 在 上有且只有一个实数根，分离参数得 ，设 ，则 ，又设 ， ，而因而当 时 ，当 时 ，那么当 时 ， 单调递增，当 时 ， 单调递减， ，又 时 ，且 时从而 或 ，即 或 时函数 有且只有一个零点.【题型专练】1、已知函数 .（1）当 时，求 的极值；（2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.【答案】（1） 有得极大值 ，无 极小值；（2） .2、设函数 , .关于 的方程 在区间 上有解,求 的取值范围;【答案】 的取值范围 .【解析】方程 即为 ,令 ,则 ,当 时 , , 随 变化情况如表:, , ,当 时 , , 的取值范围 .3、已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）若当 时（其中 ），不等式 恒成立，求实数 的取值范围；（3）若关于 的方程 在区间 上恰好有两个相异的实根，求实数 的取值范围.【答案】（1） 的单调减区间为 ，增区间 ；（2） ；（3） .【解析】 ,所以(1) ,令 , 得： ，所以 的单调减区间为 ，增区间 ；（2）由（ 1）知 , 得 ，函数 在 上是连续的，又所以，当 时， 的最大值为故 时，若使 恒成立，则（3）原问题可转化为：方程 在区间 上恰有两个相异实根.令 ，则 ，令 ，解得： .当 时， 在区间 上单调递减，当 时， 在区间 上单调递增.在 和 处连续，又且 当 时， 的最大值是 ， 的最小值是在区间 上方程 恰好有两个相异的实根时，实 数 的取值范围是： 4、设函数 ,其中 为实数.（1）若 在 上是单调减函数, 且 在 上有最小值, 求 的取值范围；（2）若 在 上是单调增函数, 试求 的零点个数, 并证明你的结论.【答案】（） ；（）当 或 时， 有 个零点，当 时, 有 个零点，证明见解析（ 2） 在 上恒成立, 则 ,故 .若 , 令 得增区间为 ；令 得减区间为 ,当 时, ；当 时, ；当 时, ,当且仅当 时取等号. 故: 时, 有 个 零点；当 时 , 有 个零点.5、已知函数 在 处的切线斜率为 2.(1)求 的单调区间和极值 ;(2)若 在 上无解,求 的取值范围.【答案】（1）函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .函数的极小值为 ，极大值为 .（2）【解析】(1) ， ， ，令 ，解得 或 当 变化时， 的变化情况如下表:函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .函数的极小值为 ，极大值为 .(2)令 ， 在 上无解 , 在 上恒成立 , ，记 ， 在 上恒成立 , 在 上单调递减 , ，若 ，则 ， ， 单调递减, 恒成 立,若 ，则 ，存在 ，使得 ，当 时， ，即 ， 在 上单调递增 , ， 在 上成立 ,与已知矛盾, 故舍去,综上可 2019 年高考数学总复习压轴题突破-极值点的关系证明（含解析）2019 年高考数学总复习压轴题突破- 极值点的关系证明（含解析）专题 01 极值点的关系证明极值点的关系证明是今年高考的热点和难点，其关键在于根据极值的必要条件确定极值 点 的关系，再通过极值的加减，运算整理，构造函数，再利用导数求最 值即可证明。以下给出四个例子及两个练习。【题型示例】1、已知函数 ,其中 为正实数(1)若函数 在 处的切线斜率为 ，求 的值；(2)求函数 的单调区间；(3)若函数 有两个极值点 ，求证： 【答案】(1) (2)单调减区间为 , ,单调减区间为 (3)见解析【解析】(1)因为 ，所以 ，则 ,所以 的值为 (2) ，函数 的定义域为 ，若 ,即 ,则 ,此时 的单调减区间为 ;若 ,即 ,则 的两根为 ,此时 的单调减区间为 , ,单调减区间为 (3)由 (2)知 ，当 时，函数 有两个极值点 , 且 因为要证 ,只需证 构造函数 ，则 ，在 上单调递增,又 ,且 在定义域上不间断 ,由零点存在定理，可知 在 上唯一实根 , 且 则 在 上递减, 上递增,所以 的最小值为 因为 ,当 时, ,则 ,所以 恒成立所以 ,所以 ，得证2、已知 。(1)若 时, 在 上为单调递增函数, 求实数的取值范围 .(2)若 , 存在两个极值点 , 且 ,求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)当 时, , 在 上为单调递增函数, 即 ,只需满足 即可,即 .(2) , , ,令 , 时, , , 无极值点 ,时 ,令 得: 或 ,由 的定义域可知 ,且 , 且 ,解得: , , 为 的两个极值点,即 , ,且 , ,得 :,令 , , 时, , , 在 递减, , 时, ,不合题意,综上, .3、已知函数 （1）当 时，求 的极值；（2）讨论 的单调性；（3）设 有两个极值点 ， ，若过两点 ， 的直线 与 轴的交点在曲线 上，求 的值【答案】（1）当 时， 的极大值为 ；当 时， 的极小值为 ；（2）见解析；（3） 或 或 【解析】（1）当 时， ，则则 的关系如下：增 减 增所以，当 时， 的极大值为 ；当 时， 的极小值为 （2） ，当 时， ，且仅当 时 ，所以 在 R 是增函数当 时， 有两个根当 时，得 或 ，所以 的单独增区间为： ；当 时，得 ，所以 的单独减区间为： （3）由题设知， ， 是 的两个根， ，且所 以同理， 所以，直线 的解析式为设直线 与 轴的交点为 则 ，解得代入 得因为 在 轴上，所以解得， 或 或 4、已知 。(1)若 时, 在 上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若 , 存在两个极值点 , 且 ,求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2 ) .【解析】(1)当 时, , 在 上为单调递增函数, 即 ,只需满足 即可,即 .(2) , , ,令 , 时, , , 无极值点 ,时 ,令 得: 或 ,由 的定义域可知 ,且 , 且 ,解得: , , 为 的两个极值点,即 , ,且 , ,得 :,令 , , 时, , , 在 递减, , 时, ,不合题意,综上, .【专题练习】1、设函数 ， .（1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值；（2）求函数 的单调区间；（3）若函数 有两个极值点 ，且 ，求证： .【答案】（1） ；（2）函数 在 ， 单调递增，在 单调递减（3）当函数 有两个极值点时， ， ，故此时 ，且 ，即 ，所 以 ，设 ，其中 ，则 ，由于 时， ，故 在 是增函数，故 ，所以 .当 ，即 时， 的两个根为 ， ，当 ，即 时， ，当 时， 故当 时，函数 在 单调递减，在 单调递增；当 时，函数 在 ， 单调递增，在 单调递减（3）当函数 有两个极值点时， ， ，故此时 ，且 ，即 ，所以 ，设 ，其中 ，则 ，由于 时， ，故 在 是 增函数，故 ，所以 .2、 已知函数 .(1) 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2) 若函数 有两个极值点 ，求 的取值范围.【答案】（1） ；（2） .【解析】（1）当 时， ， ，所以 .因此曲线 在点 处的切线方程为 .（2）由题意得 ，故 的两个不等的实数为 .由韦达定理得 ，解得 .故 ，设 .则 ， 所以 在 上单调递减，所以 .因此 的取值范围为 .知， .