DSP第2章习题课ppt课件

第2章时域离散信号和系统的频域分析 2 1学习要点2 2FT和ZT的逆变换2 3分析信号和系统的频率特性 2 4例题2 5习题课 2 1学习要点 数字信号处理中有三个重要的数学变换工具 即傅里叶变换 FT Z变换 ZT 和离散傅里叶变换 DFT 利用它们可以将信号和系统在时域和频域相互转换 大大方便了对信号和系统的分析和处理 2 1 1学习要点 1 傅里叶变换的正变换和逆变换定义 以及存在条件 2 傅里叶变换的性质和定理 傅里叶变换的周期性 移位与频移性质 时域卷积定理 巴塞伐尔定理 频域卷积定理 频域微分性质 实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性 3 周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式 4 Z变换的正变换和逆变换定义 以及收敛域与序列特性之间的关系 5 Z变换的定理和性质 移位 反转 z域微分 共轭序列的Z变换 时域卷积定理 初值定理 终值定理 巴塞伐尔定理 6 系统的传输函数和系统函数的求解 7 用极点分布判断系统的因果性和稳定性 8 零状态响应 零输入响应和稳态响应的求解 9 用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性 2 1 2重要公式 1 这两式分别是序列的傅里叶变换的正变换和逆变换的公式 注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件 即 2 这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对 可用以表现周期序列的频谱特性 3 该式用以求周期序列的傅里叶变换 如果周期序列的周期是N 则其频谱由N条谱线组成 注意画图时要用带箭头的线段表示 4 若y n x n h n 则 这是时域卷积定理 5 若y n x n h n 则 这是频域卷积定理或者称复卷积定理 6 式中 xe n 和xo n 是序列x n 的共轭对称序列和共轭反对称序列 常用以求序列的xe n 和xo n 7 这两式分别是序列的Z变换的正变换定义和它的逆Z变换定义 8 前两式均称为巴塞伐尔定理 第一式是用序列的傅里叶变换表示 第二式是用序列的Z变换表示 如果令x n y n 可用第二式推导出第一式 9 若x n a n 则 x n a n 是数字信号处理中很典型的双边序列 一些测试题都是用它演变出来的 2 2FT和ZT的逆变换 1 FT的逆变换为 用留数定理求其逆变换 或者将z ej 代入X ej 中 得到X z 函数 再用求逆Z变换的方法求原序列 注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域 或者说封闭曲线c可取单位圆 例如 已知序列x n 的傅里叶变换为 求其反变换x n 将z ej 代入X ej 中 得到 因极点z a 取收敛域为 z a 由X z 很容易得到x n anu n 2 ZT的逆变换为 求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解 用围线积分法求逆Z变换有两个关键 一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系 可以总结成几句话 收敛域包含 点 序列是因果序列 收敛域在某圆以内 是左序列 收敛域在某圆以外 是右序列 收敛域在整个z面 是有限长序列 以上 均未考虑0与 两点 这两点可以结合问题具体考虑 另一个关键是会求极点留数 2 3分析信号和系统的频率特性 求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换 但分析频率特性使用Z变换却更方便 我们已经知道系统函数的极 零点分布完全决定了系统的频率特性 因此可以用分析极 零点分布的方法分析系统的频率特性 包括定性地画幅频特性 估计峰值频率或者谷值频率 判定滤波器是高通 低通等滤波特性 以及设计简单的滤波器 内容在教材第5章 等 根据零 极点分布可定性画幅频特性 当频率由0到2 变化时 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化 在极点附近会形成峰 极点愈靠进单位圆 峰值愈高 零点附近形成谷 零点愈靠进单位圆 谷值愈低 零点在单位圆上则形成幅频特性的零点 当然 峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近 滤波器是高通还是低通等滤波特性 也可以通过分析极 零点分布确定 不必等画出幅度特性再确定 一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带 阻带在最靠近单位圆的零点附近 如果没有零点 则离极点最远的地方是阻带 参见下节例2 4 1 2 4例题 例2 4 1 已知IIR数字滤波器的系统函数试判断滤波器的类型 低通 高通 带通 带阻 某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题 解 将系统函数写成下式 系统的零点为z 0 极点为z 0 9 零点在z平面的原点 不影响频率特性 而惟一的极点在实轴的0 9处 因此滤波器的通带中心在 0处 这是一个低通滤波器 解 Xe ej FT xr n 因为X ej 0 2 所以X e j X ej 2 00 当0 时 故 当 2 时 X ej 0 故 0 2 因此Re X ej X ej Im X ej 0 例2 4 3 已知 0 n N N 1 n 2N n 0 2N n 求x n 的Z变换 解 题中x n 是一个三角序列 可以看做两个相同的矩形序列的卷积 设y n RN n RN n 则 n 0 0 n N 1 N n 2N 1 2N n 将y n 和x n 进行比较 得到y n 1 x n 因此Y z z 1 X z Y z ZT RN n ZT RN n 例2 4 4 时域离散线性非移变系统的系统函数H z 为 1 要求系统稳定 确定a和b的取值域 2 要求系统因果稳定 重复 1 解 1 H z 的极点为a b 系统稳定的条件是收敛域包含单位圆 即单位圆上不能有极点 因此 只要满足 a 1 b 1即可使系统稳定 或者说a和b的取值域为除单位圆以的整个z平面 2 系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内 所以a和b的取值域为 0 a 1 0 b 1 例2 4 5 f1 10Hz f2 25Hz 采用理想采样 采样频率Fs 40Hz对其进行采样得到 1 写出的表达式 2 对进行频谱分析 写出其傅里叶变换表达式 并画出其幅度谱 3 如要用理想低通滤波器将cos 2 f1t 滤出来 理想滤波器的截止频率应该取多少 解 2 按照采样定理 的频谱是x t 频谱的周期延拓 延拓周期为Fs 40Hz x t 的频谱为 画出幅度谱如图2 4 1所示 图2 4 1 3 观察图2 4 1 要把cos 2 f1t 滤出来 理想低通滤波器的截止频率fc应选在10Hz和20Hz之间 可选fc 15Hz 如果直接对模拟信号x t cos 2 f1t cos 2 f2t 进行滤波 模拟理想低通滤波器的截止频率选在10Hz和25Hz之间 可以把10Hz的信号滤出来 但采样信号由于把模拟频谱按照采样频率周期性地延拓 使频谱发生变化 因此对理想低通滤波器的截止频率要求不同 例2 4 6 对x t cos 2 t cos 5 t 进行理想采样 采样间隔T 0 25s 得到 再让通过理想低通滤波器G j G j 用下式表示 1 写出的表达式 2 求出理想低通滤波器的输出信号y t 解 1 2 为了求理想低通滤波器的输出 要分析的频谱 中的两个余弦信号频谱分别为在 0 5 和 1 25 的位置 并且以2 为周期进行周期性延拓 画出采样信号的频谱示意图如图2 4 2 a 所示 图2 4 2 b 是理想低通滤波器的幅频特性 显然 理想低通滤波器的输出信号有两个 一个的数字频率为0 5 另一个的数字频率为0 75 相应的模拟频率为2 和3 这样理想低通滤波器的输出为y t 0 25 cos 2 t cos 3 t 图2 4 2 2 5习题与上机题解答 1 设X ej 和Y ej 分别是x n 和y n 的傅里叶变换 试求下面序列的傅里叶变换 1 x n n0 2 x n 3 x n 4 x n y n 5 x n y n 6 nx n 7 x 2n 8 x2 n 9 解 1 令n n n0 即n n n0 则 2 3 令n n 则 4 FT x n y n X ej Y ej 下面证明上式成立 令k n m 则 5 或者 6 因为 对该式两边 求导 得到 因此 7 令n 2n 则 或者 8 利用 5 题结果 令x n y n 则 2 已知 求X ej 的傅里叶反变换x n 4 设 将x n 以4为周期进行周期延拓 形成周期序列 画出x n 和的波形 求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换 解 画出x n 和的波形如题4解图所示 题4解图 或者 10 若序列h n 是实因果序列 其傅里叶变换的实部如下式 HR ej 1 cos 求序列h n 及其傅里叶变换H ej 解 13 已知xa t 2cos 2 f0t 式中f0 100Hz 以采样频率fs 400Hz对xa t 进行采样 得到采样信号和时域离散信号x n 试完成下面各题 1 写出的傅里叶变换表示式Xa j 2 写出和x n 的表达式 3 分别求出的傅里叶变换和x n 序列的傅里叶变换 解 上式中指数函数的傅里叶变换不存在 引入奇异函数 函数 它的傅里叶变换可以表示成 2 3 式中 式中 0 0T 0 5 rad上式推导过程中 指数序列的傅里叶变换仍然不存在 只有引入奇异函数 函数才能写出它的傅里叶变换表示式 18 已知 分别求 1 收敛域0 52对应的原序列x n 解 1 收敛域0 5 z 2 n 0时 c内有极点0 5 x n Res F z 0 5 0 5n 2 nn 0时 c内有极点0 5 0 但0是一个n阶极点 改求c外极点留数 c外极点只有2 x n Res F z 2 2n 最后得到x n 2 nu n 2nu n 1 2 n 2 n 0时 c内有极点0 5 2 n 0时 c内有极点0 5 2 0 但极点0是一个n阶极点 改成求c外极点留数 可是c外没有极点 因此 x n 0 最后得到 x n 0 5n 2n u n 2 解 1 2 20 设确定性序列x n 的自相关函数用下式表示 试用x n 的Z变换X z 和x n 的傅里叶变换X ej 分别表示自相关函数的Z变换Rxx z 和傅里叶变换Rxx ej 解 解法一 令m n m 则 解法二 因为x n 是实序列 X e j X ej 因此 22 设线性时不变系统的系统函数H z 为 1 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络 即 H ej 常数 2 参数a如何取值 才能使系统因果稳定 画出其极零点分布及收敛域 解 1 极点为a 零点为a 1 设a 0 6 极零点分布图如题22解图 a 所示 我们知道 H ej 等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度 按照题22解图 a 得到 因为角 公用 且 AOB AOC 故 即 故H z 是一个全通网络 或者按照余弦定理证明 题22解图 2 只有选择 a 1才能使系统因果稳定 设a 0 6 极零点分布图及收敛域如题22解图 b 所示 因此 零点为z 0 令z2 z 1 0 求出极点 极零点分布图如题23解图所示 题23解图 2 由于限定系统是因果的 收敛域需选包含 点在内的收敛域 即 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法 一种是令输入等于单位脉冲序列 通过解差分方程 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应 另一种方法是求H z 的逆Z变换 我们采用第二种方法 式中 令 n 0时 h n Res F z z1 Res F z z2 因为h n 是因果序列 n 0时 h n 0 故 3 由于限定系统是稳定的 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域 即 z2 z z1 n 0时 c内只有极点z2 只需求z2点的留数 n 0时 c内只有两个极点 z2和z 0 因为z 0是一个n阶极点 改成求圆外极点留数 圆外极点只有一个 即z1 那么 最后得到 24 已知线性因果网络用下面差分方程描述 y n 0 9y n 1 x n 0 9x n 1 1 求网络的系统函数H z 及单位脉冲响应h n 2 写出网络频率响应函数H ej 的表达式 并定性画出其幅频特性曲线 3 设输入x n ej 0n 求输出y n 解 1 y n 0 9y n 1 x n 0 9x n 1 Y z 0 9Y z z 1 X z 0 9X z z 1 令 n 1时 c内有极点0 9 n 0时 c内有极点0 9 0 最后得到h n 2 0 9nu n 1 n 2 极点为z1 0 9 零点为z2 0 9 极零点图如题24解图 a 所示 按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图 b 所示 3 题24解图 25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x n anu n h n bnu n 0 a 1 0 b 1 1 试用卷积法求网络输出y n 2 试用ZT法求网络输出y n 解 1 用卷积法求y n n 0时 n 0时 y n 0最后得到 2 用ZT法求y n 令 n 0时 c内有极点 a b 因此 因为系统是因果系统 所以n 0时 y n 0 最后得到