D5-2.2高阶偏导数方向导数与梯度ppt课件

第2 2节高阶偏导数 方向导数与梯度 二 方向导数 三 梯度 一 高阶偏导数 作业习题5 2 A 15 16 17 18 19 21 22 25 1 一 高阶偏导数 设z f x y 在域D内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数 则称它们是z f x y 的二阶偏导数 按求导顺序不同 有下列四个二阶偏导数 混合偏导数 2 类似可以定义更高阶的偏导数 例如 z f x y 关于x的三阶偏导数为 z f x y 关于x的n 1阶偏导数 再关于y的一阶 偏导数为 3 23 3 例1 求函数 解 注意 此处 但这一结论并不总成立 的二阶偏导数及 4 23 4 例如 二者不等 5 23 5 则 定理 例如 对三元函数u f x y z 说明 本定理对n元函数的高阶混合导数也成立 函数在其定义区域内是连续的 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序 即与求导次序无关 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 当三阶混合偏导数 在点 x y z 连续时 有 而初等 证明在课件P29 30 6 23 6 例2 证明函数 满足拉普拉斯 证 利用对称性 有 方程 7 23 偏微分方程 7 二 方向导数 定义 若函数 则称 为函数在点P处沿方向l的方向导数 在点 处 沿方向l 方向角为 存在下列极限 记作 8 23 8 定理 则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在 证明 由函数 且有 在点P可微 得 故 9 23 9 对于二元函数 为 的方向导数为 特别 当l与x轴同向 当l与x轴反向 向角 10 23 10 例3 求函数 在点P 1 1 1 沿向量 3 的方向导数 11 23 解2 按定义做 麻烦 11 例4 设 是曲面 在点P 1 1 1 处 指向外侧的法向量 解 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数 在点P处沿 求函数 12 23 12 三 梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向 f的值增长最快的那个方向 模 f的最大方向导数的值 方向导数取最大值 13 23 13 例5 求函数 在点P 2 3 沿曲线 朝x增大方向的方向导数 解 将已知曲线用参数方程表示为 它在点P的切向量为 14 23 14 1 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数f P 在点P处的梯度 记作 gradient 在点 处的梯度 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 向量 2 梯度的几何意义 15 23 15 称为函数f的等值线 P5 则L 上点P处的法向量为 P29 同样 对应函数 有等值面 等量面 当各偏导数不同时为零时 其上 点P处的法向量为 16 23 等值线实质就是曲面z f x y 与平面z C的交线在xoy坐标平面上的投影 16 3 梯度的基本运算公式 17 23 函数在一点的梯度垂直于等值面 或等值线 在该点的切线 或梯度与等值线在相应点的法线平行 指向函数增大的方向 17 例6 证 试证 18 23 18 例7 已知位于坐标原点的点电荷q在任意点 试证 证 利用例4的结果 这说明场强 处所产生的电位为 垂直于等位面 且指向电位减少的方向 19 23 19 内容小结 混合偏导数连续 与求导顺序无关 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 与求导顺序无关时 应选择方便的求导顺序 1 高阶偏导数 20 23 20 2 方向导数 三元函数 在点 沿方向l 方向角 的方向导数为 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向l 方向角为 21 23 21 3 梯度 三元函数 在点 处的梯度为 二元函数 在点 处的梯度为 22 23 22 5 方向导数的几何意义 P26 4 几个概念之间的关系 方向导数存在 偏导数存在 可微 23 23 23 思考与练习 1 设函数 1 求函数在点M 1 1 1 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数 2 求函数在M 1 1 1 处的梯度与 1 中切线方向 的夹角 24 30 24 曲线 1 1 在点 解答提示 M 1 1 1 处切线的方向向量 25 30 25 26 30 26 备用题1 函数 在点 处的梯度 解 则 注意x y z具有轮换对称性 92考研 27 30 27 指向B 3 2 2 方向的方向导数是 在点A 1 0 1 处沿点A 2 函数 提示 则 96考研 28 30 28 证 令 则 则 定理 令 29 30 补充内容 29 同样 在点 连续 得 30 30 30 数学实验安排 第8周 4月10号 第10周 4月24号 第12周 5月8号 第14周 5月22号 主C 204上数学实验理论课第13周上机实验 地点 理科楼 2261 ACCA11 12 公管11时间 5月15号 星期二早上8 00 12 00 2 软件11 12 13 14时间 5月15号 星期二晚上18 00 22 00 第15周上机实验 地点 理科楼 2261 ACCA11 12 公管11时间 5月29号 星期二早上8 00 12 002 软件11 12 13 14时间 5月29号 星期二晚上18 00 22 00 31