《二次函数的应用(一)》教学设计与《等差数列》第1课时教学设计

二次函数的应用(一)教学设计与等差数列第 1 课时教学设计=二次函数的应用( 一) 教学 设计一、学生知识状况分析通过前面的学习，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。学生已经经历了由实际问题转化为数学问题的过程，对解决这类问题有了一定处理经验。二、教学目标知识目标：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值能力目标：1通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力2通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力情感态度与价值观：1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值2能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格3进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学习的信心，具有初步的创新精神和实践能力三、教学重点1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值2能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题四、教学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积的问题五、教学过程一、创设情境，引入新课 探究一：如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上，AN=40m，AM=30m，(1)如果设矩形的一边 AB=xm,那么 AD 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积 ym2，当 x 取何值时,y 的最大？最大值是多少？ 二次函数的应用（一）教学设计设计目的：对于这个问题，教师将其作为例题，不论是对问题本身的分析，还是具体的解法过程，都将作出细致、规范的讲解和示范。具体的过程如下：分析：(1) 要求 AD 边的长度，即求 BC 边的长度，而 BC 是EBC 中的一边，因此可以用三角形相似求出 BC由EBCEAF，得二次函数的应用（一）教学设计即二次函数的应用（一）教学设计所以 ADBC二次函数的应用（一）教学设计(40 x) (2)要求面积 y 的最大值，即求函数 yABADx二次函数的应用（一）教学设计(40 x)的最大值，就转化为数学问题了y二次函数的应用（一）教学设计(x 20)2300当 x20 时，y 最大300即当 x 取 20m 时，y 的值最大，最大值是 300m2探究二：如果把矩形改为如下图所示的位置，其顶点 A 和顶点 D 分别在两直角边上,BC 在斜边上.其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？ 二次函数的应用（一） 教学设计设计目的：通过两种情况的分析，训练学生的发散思维能力，关键是教会学生方法，也是这类问题的难点所在，即怎样设未知数，怎样转化为我们熟悉的数学问题.在此基础上对变式三进行探究，进而总结此类题型，得出解决问题的一般方法.二、例题讲解某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和) 为 15m当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多( 结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？（结果精确到 0.01m2）二次函数的应用（一）教学设计分析：x 为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此 x 与半圆面积和矩形面积都有关系要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大。解：7x 4yx15，y二次函数的应用（一）教学设计设窗户的面积是 S(m2)，则S二次函数的应用（一）教学设计 x22xy二次函数的应用（一）教学设计 x22x二次函数的应用（一） 教学设计3.5x27.5x3.5(x2 二次函数的应用（一） 教学设计 x)3.5(x 二次函数的应用（一） 教学设计)2二次函数的应用（一） 教学设计当 x二次函数的应用（一）教学设计1.07 时， S 最大二次函数的应用（一）教学设计4.02 因此，当 x 约为 1.07m 时，窗户通过的光线最多。此时，窗户的面积约为 4.02m2.三、归纳总结“二次函数应用”的思路：1.理解问题;2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.运用数学知识求解;5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.四、巩固练习习题 2.8 第 1 题二次函数的应用（一）教学设计 1.一根铝合金型材长为 6m，用它制作一个“日”字型的窗框，如果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时，窗架的面积最大？五、谈谈本节课你的收获。六、布置作业：习题 28 2六、教学反思在课堂教学过程中，注重以学生的自主探究为主，从提出问题到解决问题，说明知识来源于生活，而又服务于生活，体现了理论联系实际的教学原则。通过本节学习，学生不但从实际问题中理解数学知识，体会数学的乐趣，而且从能力上、思想上都达到一个新的境界。通过本节课的教学看到学生在计算上还存在很大问题，在这方面要注意培养学生的准确计算能力，同时还看到学生的潜力很大，作为教师要充分发挥学生的主观能动性，为学生的发展提供足够的时间和空间。等差数列第 1 课时教学设计等差数列第 1 课时教学设计本节课是普通高中课程标准实验教科书数学 5（北师大版）第一章数列第二节等差数列第一课时数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法【教学目标】1 知识与技能（1）理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列：（2）账务等差数列的通项公式及其推导过程：（3）会应用等差数列通项公式解决简单问题。2.过程与方法在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。3.情感、态度与价值观通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。【教学重点】等差数列的概念；等差数列的通项公式【教学难点】理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；等差数列的通项公式的推导过程【学情分析】我所教学的学生是我校高一（7 ）班的学生（平行班学生），经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展【设计思路】1教法启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点2学法引导学生首先从三个现实问题（数数问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法【教学过程】一：创设情境，引入新课1从 0 开始，将 5 的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么？2水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼如果一个水库的水位为 18m，自然放水每天水位降低 25m，最低降至5m那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位：m）组成一个什么数列？3我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息按照单利计算本利和的公式是：本利和本金（1利率存期）按活期存入 10 000 元钱，年利率是 072%，那么按照单利，5 年内各年末的本利和（单位：元）组成一个什么数列？教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数学生：1：0，5，10， 15，20，25， 2：18，155，13，10 5，8，553:10072，10144，10216 ， 10288，10360.（设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景, 目的是让学生感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型通过分析,由特殊到一般，激发学生学习探究知识的自主性，培养学生的归纳能力二：观察归纳，形成定义0，5，10 ，15，20，25 ，18， 155 ，13 ，105，8，5510072，10144，10216，10288，10360.思考 1 上述数列有什么共同特点？思考 2 根据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义吗？思考 3 你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗？教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的只要合理教师就要给予肯定教师引导归纳出：等差数列的定义；另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义（设计意图：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住：“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达）三：举一反三，巩固定义1.判定下列数列是否为等差数列？若是，指出公差 d.(1)1,1,1,1,1; (2)1,0,1,0,1;(3)2,1,0,-1,-2; (4)4,7,10,13,16. 教师出示题目,学生思考回答教师订正并强调求公差应注意的问题注意：公差 d 是每一项（第 2 项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为 0 （设计意图：强化学生对等差数列“等差”特征的理解和应用）2 思考 4:设数列 an的通项公式为 an=3n+1，该数列是等差数列吗？为什么？（设计意图：强化等差数列的证明定义法）四：利用定义，导出通项1.已知等差数列：8 ，5，2，求第 200 项？2.已知一个等差数列 an的首项是 a1，公差是 d，如何求出它的任意项 an 呢？教师出示问题，放手让学生探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展示根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法；让学生初步尝试处理数列问题的常用方法（设计意图：引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识鼓励学生自主解答，培养学生运算能力）五：应用通项，解决问题1 判断 100 是不是等差数列 2， 9，16， 的项？如果是，是第几项？2 在等差数列 an中，已知 a5=10，a12=31 ，求 a1，d 和 an.3 求等差数列 3,7,11，的第 4 项和第 10 项教师：给出问题，让学生自己操练，教师巡视学生答题情况学生：教师叫学生代表总结此类题型的解题思路，教师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式（设计意图：主要是熟悉公式,使学生从中体会公式与方程之间的联系初步认识“基本量法”求解等差数列问题）六：反馈练习：教材 13 页练习 1七：归纳总结：1.一个定义：等差数列的定义及定义表达式2.一个公式：等差数列的通项公式3.二个应用：定义和通项公式的应用教师：让学生思考整理，找几个代表发言，最后教师给出补充（设计意图：引导学生去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使学生能在新的高度上去重新认识和掌握基本概念，并灵活运用基本概念）【设计反思】本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力本节课教学采用启发方法，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率