信号与系统分析ppt课件

理解冲激信号的特性 第一章信号与系统 认识本课程领域的一些名词 术语 学习信号运算规律 熟悉表达式与波形的对应关系 了解本课程研究范围 学习目标 初步了解本课程用到的主要方法和手段 学习的主要内容 什么是信号 什么是系统 为什么把这两个概念连在一起 系统的概念 1 1绪论 第一章信号与系统 信号的概念 消息 message 信息 information 信号 signal 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息 通常把消息中有意义的内容称为信息 本课程中对 信息 和 消息 两词不加严格区分 信号是信息的载体 通过信号传递信息 一 信号的概念 信号实例 信号我们并不陌生 如刚才铃声 声信号 表示该上课了 十字路口的红绿灯 光信号 指挥交通 电视机天线接受的电视信息 电信号 广告牌上的文字 图象信号等等 信号的产生 传输和处理需要一定的物理装置 这样的物理装置常称为系统 一般而言 系统 system 是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体 如手机 电视机 通信网 计算机网等都可以看成系统 它们所传送的语音 音乐 图象 文字等都可以看成信号 系统的基本作用是对信号进行传输和处理 输入信号 激励 输出信号 响应 二 系统的概念 信号处理 对信号进行某种加工或变换 目的 消除信号中的多余内容 滤除混杂的噪声和干扰 将信号变换成容易分析与识别的形式 便于估计和选择它的特征参量 信号处理的应用已遍及许多科学技术领域 信号传输 通信的目的是为了实现消息的传输 原始的光通信系统 古代利用烽火传送边疆警报 声音信号的传输 击鼓鸣金 利用电信号传送消息 1837年 莫尔斯 F B Morse 发明电报 1876年 贝尔 A G Bell 发明电话 利用电磁波传送无线电信号 1901年 马可尼 G Marconi 成功地实现了横渡大西洋的无线电通信 全球定位系统GPS GlobalPositioningSystem 个人通信具有美好的发展前景 通信系统 为传送消息而装设的全套技术设备 信号的描述 1 2信号的描述和分类 几种典型确定性信号 信号的分类 一 信号的描述 信号 是信息的一种物理体现 它一般是随时间位 信号 按物理属性分 电信号和非电信号 它们可 电信号的基本形式 随时间变化的电压或电流 描述信号的常用方法 本课程讨论电信号 简称 信号 2 信号的图形表示 波形 1 表示为时间的函数 信号 与 函数 两词常相互通用 置变化的物理量 以相互转换 二 信号的分类 按实际用途划分 电视信号 雷达信号 控制信号 通信信号 信号的分类方法很多 可以从不同的角度对信号进行分类 按所具有的时间特性划分 确定信号和随机信号 连续信号和离散信号 周期信号和非周其信号 能量信号和功率信号 一维信号和多维信号 因果信号与反因果信号 实信号与复信号 左边信号与右边信号 1 确定信号和随机信号 可用确定的时间函数表示的信号 f t 随机信号 确定性信号 伪随机信号 貌似随机而遵循严格规律产生的信号 电子系统中的起伏热噪声 雷电干扰信号 但实际传输的信号是不确定的 常受 到各种干扰及噪声的影响 取值具有不确定性的信号 伪随机码 2 连续信号和离散信号 连续时间信号 在一定的连续的时间范围内 对于 值域连续 值域不连续 任意的时间值 都有对应的函数值 连续 指函数的定义域 时间连续 但可含间断点 简称连续信号 至于值域可连续也可不连续 离散时间信号 仅在一些离散的瞬间才有定义的信号 简称离散信号 定义域 时间是离散的 离散点间隔 离散时刻tk k 0 1 2 有定义 Tk tk 1 tk可以相等也可不等 其余时间无定义 通常取等间隔T 表示为f kT 简写为f k 等间隔的离散信号称为序列 其中k称为序号 上述离散信号可简画为 用表达式可写为 或写为 对应某序号k的序列值称为第k个样点的 样值 模拟信号 抽样信号 数字信号 数字信号 模拟信号 抽样信号 量化 抽样 连续信号 幅值 时间 均连续 时间 幅值 离散 连续 时间 幅值 均离散 离散信号 模拟信号 数字信号 3 周期信号和非周期信号 定义在 区间 每隔一定时间T 或整数N 按相同规律重复变化的信号 连续周期信号f t 满足f t f t mT m 0 1 2 离散周期信号f k 满足f k f k mN m 0 1 2 满足上述关系的最小T 或整数N 称为该信号的周期 不具有周期性的信号称为非周期信号 连续周期信号举例 例判断下列信号是否为周期信号 若是 确定其周期 1 f1 t sin2t cos3t 2 f2 t cos2t sin t 分析 两个周期信号x t y t 的周期分别为T1和T2 若其周期之比T1 T2为有理数 则其和信号x t y t 仍然是周期信号 其周期为T1和T2的最小公倍数 解答 解答 1 sin2t是周期信号 其角频率和周期分别为 1 2rad s T1 2 1 scos3t是周期信号 其角频率和周期分别为 2 3rad s T2 2 2 2 3 s由于T1 T2 3 2为有理数 故f1 t 为周期信号 其周期为T1和T2的最小公倍数2 2 cos2t和sin t的周期分别为T1 s T2 2s 由于T1 T2为无理数 故f2 t 为非周期信号 离散周期信号举例1 例判断正弦序列f k sin k 是否为周期信号 若是 确定其周期 解f k sin k sin k 2m m 0 1 2 式中 称为数字角频率 单位 rad 由上式可见 仅当2 为整数时 正弦序列才具有周期N 2 当2 为有理数时 正弦序列仍为具有周期性 但其周期为N M 2 M取使N为整数的最小整数 当2 为无理数时 正弦序列为非周期序列 离散周期信号举例2 例判断下列序列是否为周期信号 若是 确定其周期 1 f1 k sin 3 k 4 cos 0 5 k 2 f2 k sin 2k 解 1 sin 3 k 4 和cos 0 5 k 的数字角频率分别为 1 3 4rad 2 0 5 rad由于2 1 8 3 2 2 4为有理数 故它们的周期分别为N1 8 N2 4 故f1 k 为周期序列 其周期为N1和N2的最小公倍数8 2 sin 2k 的数字角频率为 1 2rad 由于2 1 为无理数 故f2 k sin 2k 为非周期序列 举例 由上面几例可看出 连续正弦信号一定是周期信号 而正弦序列不一定是周期序列 两连续周期信号之和不一定是周期信号 而两周期序列之和一定是周期序列 例1 例2 例3 连续周期信号示例 离散周期信号示例1 离散周期信号示例2 4 能量信号与功率信号 将信号f t 施加于1 电阻上 它所消耗的瞬时功率为 f t 2 在区间 的能量和平均功率定义为 1 信号的能量E 2 信号的功率P 若信号f t 的能量有界 即E 则称其为能量有限信号 简称能量信号 此时P 0 若信号f t 的功率有界 即P 则称其为功率有限信号 简称功率信号 此时E 离散信号的功率和能量 离散信号 也有能量信号 功率信号之分 若满足的离散信号 称为能量信号 若满足的离散信号 称为功率信号 一般规律 一般周期信号为功率信号 时限信号 仅在有限时间区间不为零的非周期信号 为能量信号 还有一些非周期信号 也是非能量信号 如 t 是功率信号 t t et为非功率非能量信号 t 是无定义的非功率非能量信号 5 一维信号和多维信号 一维信号 多维信号 还有其他分类 如 只由一个自变量描述的信号 如语音信号 由多个自变量描述的信号 如图像信号 实信号与复信号 左边信号与右边信号 因果信号和反因果信号 三 几种典型确定性信号 本课程讨论确定性信号 先连续 后离散 先周期 后非周期 指数信号 重要特性 其对时间的微分和积分仍然是指数形式 单边指数信号 衰减 通常把称为指数信号的时间常数 记作 代表信号衰减速度 具有时间的量纲 l指数衰减 l直流 常数 l指数增长 K 正弦信号 振幅 K周期 频率 f角频率 初相 衰减正弦信号 复指数信号 讨论 不能产生 用来描述各种信号 信号分析及运算简化 ej t cos t jsin t 抽样信号 SamplingSignal 两信号的相加和相乘信号的时间变化平移反转尺度变换信号的微分和积分 1 3信号的基本运算 一 信号的加法和乘法 同一瞬时两信号对应值相加 相乘 离散序列相加 乘 二 信号的时间变换 1 信号的反转 2 信号的平移 3 信号的展缩 尺度变换 4 混合运算举例 1 信号反转 将f t f t f k f k 称为对信号f t t 没有实现此功能的实际器件 数字信号处理中可 的反转或反折 从图形上看是将f 以纵坐标为轴反转180o 如 以实现此概念 例如堆栈中的 后进先出 2 信号的平移 将f t f t t0 f k f k k0 称为对信号f 的 雷达接收到的目标回波信号就是平移信号 平移或移位 若t0 或k0 0 则将f 右移 否则左移 如 3 信号的展缩 尺度变换 将f t f at 称为对信号f t 的尺度变换 离散信号 由于f ak 仅在为ak为整数时才有意义 进行尺度 如 若a 1 则波形沿横坐标压缩 若0 a 1 则扩展 变换时可能会使部分信号丢失 因此一般不作波形的尺度变换 4 混合运算举例 例1 例3 平移与反转相结合 平移 反转 尺度变换相结合 正逆运算 例2 平移与尺度变换相结合 注意 对正向运算 先平移 后反转和展缩不易出错 意一切变换都是相对t而言 对逆运算 反之 混合运算时 三种运算的次序可任意 但一定要注 平移与反转相结合举例 例已知f t 如图所示 画出f 2 t 解答 法一 先平移f t f t 2 再反转f t 2 f t 2 法二 先反转f t f t 再右移f t f t 2 左移 右移 f t 2 平移与展缩相结合举例 例已知f t 如图所示 画出f 3t 5 解答 时移 尺度变换 尺度变换 时移 平移 展缩 反折相结合举例 例已知f t 如图所示 画出f 2t 4 解答 也可以先压缩 再平移 最后反转 三 微分和积分 冲激信号 阶跃函数 冲击函数 阶跃序列和单位样值序列 1 4阶跃函数和冲激函数 函数本身有不连续点 跳变点 或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数 一 单位阶跃函数 电路如图 持续下去 1 定义 在t 0时刻 电路接入电源 波形图如上图 注意 在t 0处 发生跳变 未定义或1 2 单位阶跃函数 1 且无限 2 延迟单位阶跃信号 3 阶跃函数的性质 1 可以方便地表示某些信号 f t t t T 2 用阶跃函数表示信号的作用区间 3 积分 二 单位冲激函数 单位冲激函数是个奇异函数 它是对强度极大 矩形脉冲演变为冲击函数 狄拉克 Dirac 定义定义 冲击函数与阶跃函数关系 冲击函数的性质 作用时间极短一种物理量的理想化模型 1 矩形脉冲演变为冲击函数 t 含义 宽为 高为 1 面积为1 变化 面积1不变 脉冲宽度 脉冲幅度 t 单位冲击函数 函数 在t 0点有一 冲激 在t 0点以外各处 函数值为零 0 1 注意 如果矩形面积 E E 冲激强度为E 矩形脉冲如右图 2 狄拉克 Dirac 定义 函数值只在t 0时不为零 积分面积为1 t 0时 为无界函数 3 t 与 t 的关系 引入冲激函数之后 间断点的导数也存在 f t 2 t 1 2 t 1 f t 2 t 1 2 t 1 三 冲激函数的性质 取样性冲击偶尺度变换复合函数形式的冲击函数 1 取样性 筛选性 对于平移情况 如果f t 在t 0处连续 且处处有界 则有 取样性证明 分t 0和t 0两种情况讨论 1 当t 0时 t 0 f t t 0 积分结果为0 2 当t 0时 t 0 f t t f 0 t 取样性质举例 0 t 2 冲激偶规则函数求极限定义 t t 冲激偶的性质 f t t f 0 t f 0 t 证明 f t t f t t f t t f t t f t t f t t f 0 t f 0 t 证明 冲激偶的性质 n t 的定义 t 的平移 不能按常规函数对待 t 面积抵消 3 对 t 的尺度变换 证明 推论 1 2t 0 5 t 当a 1时 t t 为偶函数 t t 为奇函数 举例 2 冲激信号尺度变换的证明 从定义看 p t 面积为1 强度为1 p at 面积为 强度为 冲激信号尺度变换举例 例1 例2 举例 已知f t 画出g t f t 和g 2t 4 复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如 f t 的冲激函数 其中f t 是普通函数 并且f t 0有n个互不相等的实根ti i 1 2 n t2 4 1 t 2 t 2 f t 图示说明例f t t2 4 一般地 这表明 f t 是位于各ti处 强度为的n个冲激函数构成的冲激函数序列 注意 如果f t 0有重根 f t 无意义 t2 4 1 t 2 t 2 冲激函数的性质总结 1 取样性 2 奇偶性 3 比例性 4 微积分性质 5 冲激偶 四 序列 k 和 k 这两个序列是普通序列 非奇异函数 1 单位 样值 序列 k 取样性质 f k k f 0 k f k k k0 f k0 k k0 例 定义 1 1 2 2 0 1 2 单位阶跃序列 k 定义 k 与 k 的关系 k k k 1 或 k k k 1 定义 系统的分类系统的数学模型系统的框图描述 1 5系统的描述 一 系统的分类 1 广义定义 是一个由若干个有相互关联的单元组合 而成的具有特定功能的整体 如 通信系统 控制系统 计算机系统 但要注意 其概念很宽泛 不仅仅限于电路 通信等方面 课程 电路 网络 系统通用 2 系统的分类 可以从多种角度来观察 分析研究系统的特征 提出对系统进行分类的方法 系统的分类 连续系统与离散系统动态系统与即时系统但输入单输出与多输入多输出系统线性系统与非线性系统时不变与时变系统因果系统与非因果系统稳定系统与不稳定系统 常用分类方法 系统的分类 连续 时间 系统 系统的激励和响应均为连续信号 离散 时间 系统 系统的激励和响应均为离散信号 混合系统 连续系统与离散系统的组合 是连续信号 一个为离散信号 如A D D A变换器 系统的激励和响应一个是 连续系统与离散系统 系统的分类 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励 有关 而且与它过去的历史状况有关 则称为动态 系统或记忆系统 如 含有记忆元件 电容 电感等 的电路是动态系统 否则称 即时系统或无记忆系统 电阻串并联 动态系统与即时系统 课程 动态系统 二 系统的数学模型 连续系统解析描述 微分方程离散系统解析描述 差分方程 1 连续系统的解析描述 图示RLC电路 以uS t 作激励 以uC t 作为响应 由KVL和VAR列方程 并整理得 二阶常系数线性微分方程 抽去具有的物理含义 微分方程写成 这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统 机械减振系统 其中 k为弹簧常数 M为物体质量 C为减振液体的阻尼系数 x为物体偏离其平衡位置的位移 f t 为初始外力 其运动方程为 能用相同方程描述的系统称为 物理系统不同 数学模型相同 2 离散系统的解析描述 例 某人每月初在银行存入一定数量的款 月息为 元 月 求第k个月初存折上的款数 设第k个月初的款数为y k 这个月初的存款为f k 上个月初的款数为y k 1 利息为 y k 1 则y k y k 1 y k 1 f k 即 y k 1 y k 1 f k 若设开始存款月为k 0 则有y 0 f 0 上述方程就称为y k 与f k 之间所满足的差分方程 所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程 未知序列项变量最高序号与最低序号的差数 称为差分方程的阶数 上述为一阶差分方程 由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统 三 系统的框图描述 连续系统的基本单元离散系统的基本单元系统模拟 系统的模型 微分方程 差分方程 微分 差分 运算 包含 表示 单元符号并连接成系统 加法 乘法 1 连续系统的基本单元 延时器 加法器 积分器 数乘器 乘法器 注意 没有微分器 实际 用积分单元代替 2 离散系统的基本单元 加法器 迟延单元 数乘器 3 系统模拟 实际系统 方程 模拟框图 实验室实现 模拟系统 指导实际系统设计 例1 例2 例3 例4 方程 框图用变换域方法和梅森公式简单 后面讨论 由微分方程画框图例1 例1 已知y t ay t by t f t 画框图 解 将方程写为y t f t ay t by t 由微分方程画框图例2 例2请画出如下微分方程所代表的系统的系统框图 解 解法二 解2 该方程含f t 的导数 可引入辅助函数画出框图 设辅助函数x t 满足x t 3x t 2x t f t 可推导出y t x t x t 它满足原方程 例3由框图写微分方程 例3 已知框图 写出系统的微分方程 设辅助变量x t 如图 x t x t x t x t f t 2x t 3x t 即x t 2x t 3x t f t y t 4x t 3x t 根据前面 逆过程 得 y t 2y t 3y t 4f t 3f t 例4由框图写差分方程 例4 已知框图 写出系统的差分方程 解 设辅助变量x k 如图 x k x k 1 x k 2 即x k 2x k 1 3x k 2 f k y k 4x k 1 5x k 2 消去x k 得y k 2y k 1 3y k 2 4f k 1 5f k 2 x k f k 2x k 1 3x k 2 系统的特性系统的分析方法 1 6系统的特性与分析方法 一 系统的特性 连续系统与离散系统动态系统与即时系统但输入单输出与多输入多输出系统线性系统与非线性系统时不变与时变系统因果系统与非因果系统稳定系统与不稳定系统 常用分类方法 系统的特性 线性性质时不变性因果性稳定性 1 线性 y t 系统的响应 f t 系统的激励 线性性质 齐次性和可加性 可加性 齐次性 f y y T f f y af ay f1 y1 f2 y2 f1 f2 y1 y2 af1 bf2 ay1 by2 综合 线性性质 线性系统的条件 动态系统响应不仅与激励 f 有关 而且与 可分解性 零状态线性 y T f x 0 yzi T 0 x 0 yzs T f 0 零输入线性 动态系统是线性系统 要满足下面3个条件 系统的初始状态 x 0 有关 初始状态也称 内部激励 线性系统的条件 可分解性 y yzi yzs 零状态线性 T af1 t bf2 t 0 aT f1 0 bT f2 0 y T f x 0 yzi T 0 x 0 yzs T f 0 零输入线性 T 0 ax1 0 bx2 0 aT 0 x1 0 bT 0 x2 0 举例1 举例2 线性系统 连续 离散 线性微分 差分 方程 判断线性系统举例 例1 判断下列系统是否为线性系统 1 y t 3x 0 2f t x 0 f t 1 2 y t 2x 0 f t 3 y t x2 0 2f t 解 1 yzs t 2f t 1 yzi t 3x 0 1显然 y t yzs t yzi t 不满足可分解性 故为非线性 2 yzs t f t yzi t 2x 0 y t yzs t yzi t 满足可分解性 由于T af t 0 af t ayzs t 不满足零状态线性 故为非线性系统 3 yzi t x2 0 T 0 ax 0 ax 0 2 ayzi t 不满足零输入线性 故为非线性系统 例2 判断下列系统是否为线性系统 解 y t yzs t yzi t 满足可分解性 T af1 t bf2 t 0 aT f1 t 0 bT f2 t 0 满足零状态线性 T 0 ax1 0 bx2 0 e t ax1 0 bx2 0 ae tx1 0 be tx2 0 aT 0 x1 0 bT 0 x2 0 满足零输入线性 所以 该系统为线性系统 2 时不变性 时不变系统 系统参数不随时间变化 线性系统 时不变 常系数微分方程 时变 变系数微分方程 线性时不变系统 yzs T f 0 yzs t td T f t td 0 yzs k kd T f k kd 0 时不变性 f t td yzs t td f t yzs t 举例 判断时不变系统举例 例 判断下列系统是否为时不变系统 1 yzs k f k f k 1 2 yzs t tf t 3 yzs t f t 解 1 令g k f k kd T 0 g k g k g k 1 f k kd f k kd 1 而yzs k kd f k kd f k kd 1 显然T 0 f k kd yzs k kd 故该系统是时不变的 2 令g t f t td T 0 g t tg t tf t td 而yzs t td t td f t td 显然T 0 f t td yzs t td 故该系统为时变系统 3 yzs t f t 令g t f t td T 0 g t g t f t td 而yzs t td f t td 显然T 0 f t td yzs t td 故该系统为时变系统 直观判断方法 若f 前出现变系数 或有反转 展缩变换 则系统为时变系统 LTI系统的微分特性和积分特性 本课程重点 讨论线性时不变系统 2 微分特性 证明 LinearTime Invariant 简称LTI系统 1 线性性质 齐次性和可加性 3 积分特性 若f t yzs t f t y zs t 若f t yzs t 3 因果性 因果系统 即因果系统 激励是原因 响应是结果 响应是不 输出不超前于输入 判断方法 举例 综合举例 指零状态响应不会出现在激励之前的系统 有t t0 yzs t 0 t t0时f t 加入 可能在激励施加之前出现的 因果系统判断举例 如下列系统均为因果系统 yzs t 3f t 1 而下列系统为非因果系统 1 yzs t 2f t 1 2 yzs t f 2t 因为 令t 1时 有yzs 1 2f 2 因为 若f t 0 t t0 有yzs t f 2t 0 t 0 5t0 因果系统与非因果系统 实际的物理可实现系统均为因果系统 非因果系统的概念与特性也有实际的意义 如信号的压缩 扩展 语音信号处理等 若信号的自变量不是时间 如位移 距离 亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要 因果信号 可表示为 t 0接入系统的信号称为因果信号 4 稳定性 一个系统 若对有界的激励f 所产生的零状态响应yzs 也是有界时 则称该系统为有界输入有界输出稳定 简称稳定 即若 f 其 yzs 则称系统是稳定的 如 yzs k f k f k 1 是稳定系统 因为 f t t 有界 当t 时 它也 无界 是不稳定系统 二 LTI系统分析概述 系统分析 对给定的具体系统 求出它对给定激励的响应 具体地说 系统分析就是建立系统的数学方程并求出解答 系统的分析方法 输入输出法 外部法 状态变量法 内部法 chp 8 外部法 时域分析 2 3 变换域法 连续系统 频域法 4 和复频域法 5 离散系统 频域法 4 和z域法 6 系统特性 系统函数 7 求解的基本思路 把零输入响应和零状态响应分开求 把复杂信号分解为众多基本信号之和 根据线性系统的可加性 多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和 采用的数学工具 时域 卷积积分与卷积和频域 傅里叶变换复频域 拉普拉斯变换与Z变换 2 1LTI连续系统的响应 第二章连续系统的时域分析 1 LTI连续系统的时域分析 2 特点 比较直观 物理概念清楚 是学习各种变换 时域分析法 函数的变量 t 域分析法的基础 3 时域分析法主要内容 概述 求出响应与激励关系 经典法 零输入响应和零状态响应 冲击响应与卷积积分 建立线性微分方程并 一 微分方程的经典解 y n t an 1y n 1 t a1y 1 t a0y t bmf m t bm 1f m 1 t b1f 1 t b0f t 高等数学中经典解法 完全解 齐次解 特解 LTI连续系统 常系数的n阶线性常微分方程 齐次解 满足齐次方程的通解 又叫齐次解 特解 满足非齐次方程的解 叫特解 1 齐次解 举例 齐次方程 特征方程 特征根 后由初始条件定 特征根 n个单实特征根 齐次解 r重实根 1对共轭复根 r重共轭复根 齐次解的形式由特征根定 待定系数Ci在求得全解 齐次解举例 解 系统的特征方程为 特征根 对应的齐次解为 2 特解 特解的函数形式与激励函数形式有关如下表 将特解函数式 代入原方程 比较定出待定系数 激励f t 响应y t 的特解yp t 举例 常数 常数 特征根均不为0 特征根 特征根 r重特征根 特征根 j 有r重特征根为0 特解举例 如果已知 分别求两种情况下此方程的特解 例 给定微分方程式 解 1 由于f t t2 故特解函数式为 将此式代入方程得到 这里 P2 P1 P0 等式两端各对应幂次的系数应相等 于是有 联解得到 所以 特解为 2 当f t et时 特解为yp t Pet 这里 P是待定系数 代入方程后有 3 全解 完全解 齐次解 特解 注意 举例 齐次解的函数形式 仅与系统本身的特性有关 特解中待定系数 特解带入非齐次方程 对比求 齐次解中待定系数 在全解求得后由初始条件定 与激励f t 的函数形式无关 又叫固有响应或自由响应 特解的函数形式 又叫强迫响应 由激励确定 自由响应 强迫响应 例描述某系统的微分方程为y t 5y t 6y t f t 求 1 当f t 2e t t 0 y 0 2 y 0 1时的全解 2 当f t e 2t t 0 y 0 1 y 0 0时的全解 解 1 特征方程 2 5 6 0 特解 yp t e t 其特征根 1 2 2 3 齐次解 yh t C1e 2t C2e 3t 特解 yp t Pe t 特解带入方程 Pe t 5 Pe t 6Pe t 2e t 解得 P 1 全解 齐次解 特解例题 全解 y t yh t yp t C1e 2t C2e 3t e t其中待定常数C1 C2由初始条件确定 y 0 C1 C2 1 2 y 0 2C1 3C2 1 1解得C1 3 C2 2最后得全解y t 3e 2t 2e 3t e t t 0 2 齐次解同上 当激励f t e 2t时 其指数与特征根之一相重 特解 yp t P1t P0 e 2t 特解代入方程 P1e 2t e 2t 得 P1 1但P0未定 特解 yp t t P0 e 2t 全解 全解 y t C1e 2t C2e 3t te 2t P0e 2t C1 P0 e 2t C2e 3t te 2t将初始条件代入 y 0 C1 P0 C2 1y 0 2 C1 P0 3C2 1 0解得 C1 P0 2 C2 1最后得微分方程的全解 y t 2e 2t e 3t te 2t t 0上式第一项的系数C1 P0 2 不能区分C1和P0 因而也不能区分自由响应和强迫响应 二 关于0 和0 状态的转换 t 0 f t 接入t 0 t 0 y j 0 反映的是历史状态 与激励f t 无关 初始值或起始值 y j 0 冲击函数匹配法 0 f t 共同决定0 t 例1 右侧是否包含 t t 例2 0 和0 初始值举例1 例1 描述某系统的微分方程为y t 3y t 3f t 已知y 0 2f t t 求y 0 解 将输入f t t 代入上述微分方程得y t 3y t 3 t 1 冲击函数匹配法原理 t 0时刻 微分方程左右两端 t 及其各阶导数平衡相等 0 和0 初始值举例1 y t 3y t 3 t 冲击函数匹配法原理 t 0时刻 微分方程左右两端 t 及其各阶导数平衡相等 分析 右端有 t y t 含3 t 右端 t 不存在 y t 必含3 t y t 必含 9 t y t 含 9 t y t 在t 0时刻 有y 0 y 0 9跳变 y 0 y 0 9 三 零输入响应和零状态响应 y t yzi t yzs t LTI系统响应 第1种 自由响应 强迫响应 第2种 零输入响应 零状态响应 yzit 没有外加输入信号 只由起始状态所产生的响应 yzst 不考虑起始储能的作用 起始状态 0 只由系 统外加输入信号所产生的响应 全响应y t yzi t yzs t 的求取方法 借助经典方法 卷积积分法 后面学 1 概述 y t yh t yp t 零输入响应和零状态响应 y t yzi t yzs t 1 yzi t 零输入响应 微分方程 齐次 y n t an 1y n 1 t a1y 1 t a0y t 0 Czij 待定系数 2 yzs t 零状态响应 微分方程 非齐次 2 经典分析及求解 y n t an 1y n 1 t a1y 1 t a0y t bmf m t bm 1f m 1 t b1f 1 t b0f t 零输入响应和零状态响应 其中 Czsj 待定系数 yp t 特解 3 y t 全响应 自由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应 3 yzi 0 yzs 0 及各阶导数的确定 由yzi j 0 由yzs j 0 由y j 0 响应及各阶导数初始值 j 0 1 2 n 1 y t yzi t yzs t y j t yzi j t yzs j t y j 0 yzi j 0 yzs j 0 y j 0 yzi j 0 yzs j 0 起始条件yzs 0 例1 响应 零状态响应 由0 f t 共同决定 Czsj 由yzs j 0 定 响应 且 t 0 时 激励没有接入 yzs j 0 0 例1 零状态 前提 yzs j 0 t 0后 起始条件yzi 0 若有 利用 函数匹配法 t 0后 有输入 微分方程 右端有没有 函数 其中 Czij要由起始条件yzi j 0 定 yzi j 0 yzi j 0 y j 0 类似电路中的换路定则 yzs 0 由0 f t 共同决定 零输入响应 f t 0t 0 yzi j 0 存在 零输入响应和零状态响应举例 例1 描述某系统的微分方程为y t 3y t 2y t 2f t 6f t 已知y 0 2 y 0 0 f t t 求该系统的零输入响应和零状态响应 解 yzi t 形式同齐次方程 yzi t 3yzi t 2yzi t 0 齐次方程的特征根为 1 2 yzi 0 yzi 0 y 0 yzi 0 yzi 0 y 0 零输入响应 yzi t Czi1e t Czi2e 2tCzi1Czi2由yzi 0 yzi 0 决定 解得系数 Czi1 4 Czi2 2 1 零输入响应yzi t 零状态响应yzs t yzi t 4e t 2e 2t t 0 2 零状态响应yzs t 满足下列方程 yzs t 解的形式 同非齐次方程 由两部分组成 形式同齐次方程的解 特解 满足非齐次方程 yzs t Czs1e t Czs2e 2t C 对t 0后yzs t 3yzs t 2yzs t 6 yzs t 3yzs t 2yzs t 2 t 6 t yzs 0 yzs 0 0 零状态响应yzs t Czs1Czs2 由yzs 0 及yzs 0 定 yzs t 3yzs t 2yzs t 6 yzs t Czs1e t Czs2e 2t C yzs t 中有3各系数待定 Czs1 Czs2 C C应满足 带入方程求得 C 3 yzs 0 yzs 0 由 函数匹配法定 法一 分析 直接积分 零状态响应yzs t yzs t 3yzs t 2yzs t 2 t 6 t 右端有 t 微分方程积分得 yzs t 含有 t yzs t 跃变 yzs t 在t 0连续 yzs 0 yzs 0 yzs 0 yzs 0 0 yzs 0 yzs 0 3 yzs 0 yzs 0 2 因此 yzs 0 2 yzs 0 2 零状态响应yzs t 对t 0时 yzs t 3yzs t 2yzs t 6yzs t Czs1e t Czs2e 2t 3求得yzs t 4e t e 2t 3 t 0 yzs 0 2 yzs 0 2 注意 yzi t yzs t 顺序问题 例1 已知y 0 2 y 0 0 f t t 零输入响应和零状态响应举例 求该系统的零输入响应和零状态响应 已知y 0 3 y 0 1 f t t 描述某系统的微分方程为y t 3y t 2y t 2f t 6f t 例2 零输入响应 yx t Cx1e t Cx2e 2t 零状态响应 yf t Cf1e t Cf2e 2t C 其中Cx1Cx2由yx 0 yx 0 决定 而 yx j 0 yx j 0 y j 0 其中Cf1Cf2由yf 0 yf 0 决定 yf j 0 利用 函数匹配法 例1 微分方程yf j 0 0与y j 0 无关 同例1yf t 4e t e 2t 3 t 0 y j 0 yx j 0 yf j 0 例2 首先求出yf t yf j 0 yx j 0 解 零状态响应yf t 求得 yf 0 0yf 0 2 利用y j 0 yx j 0 yf j 0 求得 yx 0 3yx 0 1 yx t Cx1e t Cx2e 2t 零输入响应yx t yx t 4e t 2e 2t t 0 例3 描述某系统的微分方程为y t 3y t 2y t 2f t 6f t f t t 时 求零状态响应 分析 LTI系统零状态响应 线性和微分特性 设f t 作用于系统 零状态响应yf1 t 根据LTI系统微分特性 yf1 t T 0 f t 即 满足y t 3y t 2y t f t yf1 t T 0 f t 根据LTI系统线性特性 yf t 2yf1 t 6yf1 t 冲激响应求解举例2 解 1 零输入响应同上 例1 描述某系统的微分方程为y t 3y t 2y t 2f t 6f t 已知y 0 2 y 0 0 f t t 求该系统的零输入响应和零状态响应 故令yzs t a t r1 t yzs t r2 t yzs t r3 t ri t 为不含 t 的某函数 代入式 1 有 2 零状态响应yzs t 满足方程 方法二 yzs t 3yzs t 2yzs t 2 t 6 t 1 yzs 0 yzs 0 0 利用 t 系数匹配 得a 2所以yzs t r3 t 2 yzs t r2 t 3 yzs t 2 t r1 t 4 对式 3 从0 到0 积分得yzs 0 yzs 0 0对式 4 从0 到0 积分得yzs 0 yzs 0 2故yzs 0 0 yzs 0 2 a t r1 t 3r2 t 2r3 t 2 t 6 t yzs t Czs1e t Czs2e 2t 3 求得yzs t 4e t e 2t 3 t 0 yzs t 3yzs t 2yzs t 2 t 6 t 1 yzs 0 yzs 0 0 2 2冲激响应和阶跃响应 概述 1 学习了2种求LTI系统响应的方法 自由响应 强迫响应 零输入相应 零状态响应 下面一节的内容 针对零状态响应的求取 找寻一种好方法 2 把一激励信号 函数 分解为冲击函数或阶 冲击响应阶跃响应 跃函数之和 积分 只要求出了系统对冲击函 数或阶跃函数的响应 利用LTI系统的特性 在系统的输出端 叠加得到系统总的零状态响应 那么系统对冲击或阶跃信号的零状态响应 就 是下面要学习的内容 一 冲激响应 1 定义 由单位冲激函数 t 所引起的零状态响应称为单位冲激响应 简称冲激响应 记为h t h t T 0 t 2 系统冲激响应的求解 冲激响应的数学模型 对于LTI系统 可以用一n阶微分方程表示 响应及其各阶导数 最高阶为n次 激励及其各阶导数 最高阶为m次 h t 解的形式 例 当特征根均为单根时 由于 t 及其导数在t 0 时都为零 因而方程式 举例 右端的自由项恒等于零 这样原系统的冲激响应形式 与齐次解的形式相同 解 求特征根 冲激响应 例1求系统的冲激响应 带 t 两种求待定系数方法 平衡求0 法 奇异函数相平衡求待定系数法 法一 求0 值确定系数 代入h t 确定系数C1 C2 得 注意 系数a同 注意 系数a同 代入微分方程 利用 t 系数匹配 a 1b 2 所以 对式 1 从0 到0 积分得 h 0 h 0 2 对式 2 从0 到0 积分得 h 0 h 0 1 法二 用奇异函数项相平衡法求待定系数 根据系数平衡 得 不用求h 0 h 0 解法三 线性时不变性质法 解 求冲击响应 设h1 t 满足简单方程 将边界条件代入h1 t 式 解得C1 1 2 C2 1 2 则由系统的线性时不变特性 冲激响应求解举例2 例2描述某系统的微分方程为y t 5y t 6y t f t 2f t 3f t 求其冲激响应h t 解根据h t 的定义有h t 5h t 6h t t 2 t 3 t 1 h 0 h 0 0先求h 0 和h 0 由方程可知 h t 中含 t 故令h t a t b t c t r1 t h t a t b t r2 t h t a t r3 t ri t 为不含 t 的某函数 代入式 1 有 a t b t c t r1 t 5 a t b t r2 t 6 a t r3 t t 2 t 3 t 整理得a t b 5a t c 5b 6a t r1 t 5r2 t 6r3 t t 2 t 3 t 利用 t 系数匹配 得a 1 b 3 c 12所以h t t r3 t 2 h t t 3 t r2 t 3 h t t 3 t 12 t r1 t 4 对式 3 从0 到0 积分得h 0 h 0 3对式 4 从0 到0 积分得h 0 h 0 12故h 0 3 h 0 12 微分方程的特征根为 2 3 故系统的冲激响应为h t C1e 2t C2e 3t t 0代入初始条件h 0 3 h 0 12求得C1 3 C2 6 所以h t 3e 2t 6e 3t t 0结合式 2 得h t t 3e 2t 6e 3t t 对t 0时 有h t 6h t 5h t 0 3 基本单元的冲激响应 二 阶跃响应 g t T t 0 线性时不变系统满足微 积分特性 2 3卷积积分 信号的时域分解与卷积积分卷积的图解法 一 信号的时域分解与卷积积分 1 信号的时域分解 预备知识 问f1 t p t 直观看出 任意信号分解 考虑 任意f t 用许多窄脉冲表示出来 如图 第k个窄脉冲出现的时刻 k 0 号 脉冲高度f 0 宽度为 用p t 表示为 f 0 p t 1 号 脉冲高度f 宽度为 用p t 表示为 f p t 信号f t 分解为冲击函数叠加 2 任意信号作用下的零状态响应 yzs t f t 根据h t 的定义 t h t 由时不变性 t h t f t 由齐次性 f h t 由叠加性 f t yzs t 卷积积分 3 卷积积分的定义 已知定义在区间 上的两个函数f1 t 为f1 t 与f2 t 的卷积积分 简称卷积 记为 例 变量 t为参变量 结果仍为t的函数 和f2 t 则定义积分 f t f1 t f2 t 注意 积分是在虚设的变量 下进行的 为积分 二 卷积的图解法 卷积过程可分解为四步 1 换元 t换为 得f1 f2 2 反转平移 由f2 反转 f2 平移t f2 t 3 两信号重叠部分相乘 f1 f2 t 4 相乘后图形积分 从 到 对乘积项积分 注意 t为参变量 例 图解法计算卷积举例 例1f t h t 如图所示 求yzs t h t f t 解 h t 函数 换元为h f t 函数 换元为f 反折 并平移t 图解法计算卷积举例 2 0 t 1 t 0 f t yzs t 0 3 1 t 2 t 0 h 0 图解法计算卷积举例 4 2 t 3 5 3 t 例2f1 t f2 t 如图所示 求f t f1 t f2 t 解 f1 t 函数 换元为f1 f2 t 函数 换元为f2 反折 移位 t 卷积计算 1 t 2 没有重叠 f t 0 2 2 t 0 3 0 t 2 卷积计算 4 2 t 4 2 5 4 t 没有重叠 f t 0 卷积计算 例3f1 t 3e 2t f2 t 2 t 求f t f1 t f2 t 解 分析 1 t 0 f t f1 t f2 t 0 3 t t 0即 t 2 0 4 积分限 0 t 求某一时刻卷积值 图解法一般比较繁琐 确定积分的上下限是关键 但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的 例 f1 t f2 t 如图所示 已知f t f2 t f1 t 求f 2 f1 f1 2 解 1 换元 2 f1 得f1 3 f1 右移2得f1 2 4 f1 2 乘f2 5 积分 得f 2 0 面积为0 2 4卷积积分的性质 卷积代数运算与冲击函数或阶跃函数的卷积微分积分性质卷积的时移特性相关函数 卷积积分是一种数学运算 它有许多重要的性质 或运算规则 灵活地运用它们能简化卷积运算 一 卷积代数运算 1 交换律 证明 卷积结果与交换两函数的次序无关 一般选比较简单函数进行反转和平移 证明 证明 2 分配律 系统并联 框图表示 结论 并联系统冲激响应等于子系统冲激响应之和 3 结合律 证明 系统级联 框图表示 结论 串联系统冲激响应等于子系统冲激响应的 卷积 二 与冲激函数的卷积 1 f t t t f t f t 证 信号f t 分解为冲击函数叠加 f t t f t f t t f t t f 0 筛选特性 与冲激函数的卷积 推广 证 2 f t t t0 f t t0 与 t t0 卷积相当于函数延迟t0 f t f t f t t t0 t t0 推广 f t t1 t t2 f t t1 t2 t t1 t t2 t t1 t2 f t t t0 f t0 3 若f1 t f2 t f t 卷积的时移特性 证 则f1 t t1 f2 t t2 f1 t t2 f2 t t1 f t t1 t2 f1 t t1 f2 t t2 f1 t t t1 f2 t t t2 f1 t t t2 f2 t t t1 f1 t t2 f2 t t1 且f1 t t1 f2 t t2 f1 t t t1 f2 t t t2 f1 t f t2 t t1 t t2 f t t t1 t2 f t t1 t2 f1 t t1 f2 t t2 f1 t t2 f2 t t1 f t t1 t2 卷积的时移特性 应用 与阶跃函数的卷积 t t t t 3 f t t 推广 注意 t t 不存在 卷积性质例题 1 t 3 t 5 例1 解 2 e 2t t 3 t 5 方法一 t 3 t 5 分析 3 3 t 5 t 5 t 3 t 5 分析 t 5 3 t 2 t 3 t 5 t 2 t 2 1 t 3 t 5 卷积性质例题 t 3 t 5 例1 解 方法二 t t t t t 3 t 5 t t t 3 5 分析 t 3 5 利用性质及结论 f1 t t1 f2 t t2 f t t1 t2 t 2 t 2 三 卷积的微积分性质 1 若f t f1 t f2 t f1 t f2 t 则f 1 t f1 1 t f2 t f1 t f2 1 t 证明 f 1 t 同理 f 1 t 卷积的积分性质 若f t f1 t f2 t f1 t f2 t 2 则 证明 f 1 t f1 t f2 1 t 卷积的积分性质 3 在f1 0或f2 1 0的前提下 同理 f 1 t f2 t f1 1 t f1 1 t f2 t f1 t f2 t f1 t f2 1 t f1 f2 0 卷积性质的推广 例1 杜阿密积分 LTI系统 1 利用定义式直接进行积分 对于容易求积分的函 数比较有效 如指数函数 多项式函数等 2 图解法 特别适用于求某时刻点上的卷积值 3 利用性质 比较灵活 卷积的求解 重点 难点 求解卷积的方法可归纳为 推广 f i t f1 j t f2 i j t i j可 卷积性质例1 例1 f1 t 如图 f2 t e t t 求f1 t f2 t 解 f1 t f2 t f1 t f2 1 t f1 t t t 2 f1 t f2 t 1 e t t 1 e t 2 t 2 注意 当f1 t 1 f2 t e t t 套用f1 t f2 t f1 t f2 1 t 0 f2 1 t 0显然是错误的 卷积性质例3 例 f1 t f2 t 如图 求f1 t f2 t 解 f1 t 2 t 2 t 1 f2 t t 1 t 1 f1 t f2 t 2 t t 1 2 t t 1 2 t 1 t 1 2 t 1 t 1 由于 t t t t 据时移特性 有f1 t f2 t 2 t 1 t 1 2 t 1 t 1 2t t 2 t 2 t 2 五 相关函数 相关函数是鉴别信号的有力工具 被广泛应用于雷达回波的识别 通信同步信号的识别等领域 相关函数的定义项关于卷积的关系相关函数的图解 相关是一种与卷积类似的运算 与卷积不同的是没有一个函数的反转 概述 相关个概念 互相关是表示两个不同函数的相似性参数 可证明 R12 R21 若f1 t f2 t f t 则得自相关函数 显然 R R 偶函数 注 1 定义 实能量有限函数f1 t 和f2 t 的互相关函数 互相关是表示两个不同函数的相似性参数 可证明 R12 R21 若f1 t f2 t f t 则得自相关函数 显然 R R 偶函数 注 实功率有限信号相关函数的定义 f1 t 与f2 t 是功率有限信号 相关函数 自相关函数 例 解 对此功率有限信号 由自相关函数的定义 有 此例结论 1 周期信号自相关函数仍为周期信号 且周期相同 2 自相关函数是一偶函数 R 0 为最大值 3 余弦函数自相关函数仍为余弦 同理可证 任意相位的正弦 余弦之自相关函数仍为余弦 2 相关与卷积的关系 R12 t f1 t f2 t R21 t f1 t f2 t 可见 若f1 t 和f2 t 均为实偶函数 则卷积与相关完全相同 3 相关函数的图解 0 t1 2 系统级联 系统级联 框图表示 结论 子系统级联时 总的冲激响应等于子系统 冲激响应的卷积 系统并联 系统并联 框图表示 结论 子系统并联时 总系统的冲激响应等于各子 系统冲激响应之和 第三章离散系统的时域分析 1 LTI离散系统的时域分析 2 特点 比较直观 物理概念清楚 是学习离散变换 时域分析法 序列的变量 k 域分析法的基础 3 时域分析法主要内容 概述 求出响应与激励关系 经典法 零输入响应和零状态响应 冲击响应与卷积和 建立线性差分方程并 注意 离散系统与连续系统的分析方法 并行相似 连续系统 离散系统 微分方程 差分方程 卷积积分 卷积和 变换域 傅氏 s 变换域 离散傅氏 z 系统函数 系统函数 系统描述 分析方法 离散与连续对比 1 著名的斐波那契数列问题 假设每对大兔子每个月生一对小兔子 而 每对小兔子一个月后长成大兔子 而且不会死亡 在最初一个月内有一对大兔子 问第k个月时 一共有几对兔子 2 1LTI离散系统的响应 一 差分与差分方程 解 y k 第k个月兔子的对数 第k个月 老 小 y k 对 第k 1个月 老 小 y k 1 对 第k 2个月 老 小 y k 2 对 老 老 y k y k 1 y k y k 2 y k 1 y k 差分方程 差分与差分方程 设有序列f k 则 1 差分运算 离散信号的变化率有两种表示形式 f k 2 f k 1 f k 1 f k 2 等 称为f k 的移位序列 仿照微分运算 引出离散信号的差分运算的概念 定义差分 1 一阶前向差分定义 f k f k 1 f k 2 一阶后向差分定义 f k f k f k 1 式中 和 称为差分算子 无原则区别 本书主要用后向差分 简称为差分 3 差分的线性性质 af1 k bf2 k a f1 k b f2 k 4 二阶差分定义 2f k f k f k f k 1 f k f k 1 f k f k 1 f k 1 f k 2 f k 2f k 1 f k 2 5