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2019 届理科高三数学 12 月月考试题附解析（满分 150 分，时间 120 分钟）一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ）1、已知集合 ， ，则下列关系中正确的是（ ）（A） （B） （C ） （D） 2、若复数 满足 ，则 的共轭复数为（ ）（A） （B） （C） （D） 3、中国古代数学著作算法统综中有这样的一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地” ，请问此人第 2 天走的路程为( )A. 24 里 B. 48 里 C. 72 里 D. 96 里4、为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）（A）向左平移 个长度单位 （B）向右平移 个长度单位（C ）向左平移 个长度单位 （D）向右平移 个长度单位5、已知 m、n 为两条不同的直线，、 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A 若 ,且,则 .B 若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 /C 若 ，则 D 若 ，则 6、在 中， ， ， ，则 ( ) A. B. C. D. 7、下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是（ ）（A） （B） （C ） (D） 8、已知等差数列 的前 项和为 ，则“ 的最大值是 ”是“ ”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件9、函数 的图象大致为( ) 10、已知函数 （ ， ）的部分图象如图，则 （ ）（A） （B） （C ） （D） 11若函数 在 为单调函数，则实数 a 的取值范围是( )A. B. C. D. 12、已知函数 ，若 且 ，则 的最小值为( ) A.2ln2-1 B.2-ln2 C. 1+ln2 D. 2二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置上）13.已知 满足约束条件 则 的最大值为 14在三棱锥 中， , , , ,则该三棱锥的外接球的表面积为 15、已知 ，则 _.16定义在 上的奇函数 的导函数为 ，且 当 x0 时， 则不等式 的解集为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（12 分）已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， （1）求 ；（2）设数列 的前 n 项和为 ，求证： 18、(本小题满分 12 分）已知向量 （1）若 ，且 ，求 的值；（2）设函数 且 ，求 的单调递增区间.19（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， ，,AD=1, 底面 .() 证明： ；() 求平面 与平面 所成的锐二面角的大小.20 （本小题满分 12 分）如图， 中，已知点 在边 上，且 ,， ， .（1）求 的长；（2）求 .21. （本小题满分 12 分）已知函数 (1)讨论 的单调性及最值；(2)当 时，若函数 恰有两个零点 ，求证： 请考生从第（22） 、 （23）题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分， （22） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 （ 为参数） ，在以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；（2）过点 且与直线 平行的直线 交 于 ， 两点，求点 到 ， 两点的距离之积.（23） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 （1）求不等式 的解集 ；（2）对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围答案及解析一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分 ）1-5、 B D D A D 6-10、C C B C D 11-12、A C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）13. 3 14 15、 16 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 ）17.（12 分）解析：（1）设公差为 d，由题 解得 ， - 2 分所以 - 4 分（2） 由（1） ， ，则有 则 所以 - 12 分18、(本小题满分 12 分）解：（1） 且 2 分4 分 6 分 （2） 所以， 9 分 由 ，得 又 或 故所求 的单调递增区间是 和 。 12 分（19） （本小题满分 12 分）解：() 因为 ,由余弦定理得 1 分从而 ，故 3 分又 底面 ，可得 4 分所以 平面 . 5 分故 6分() 如图，以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴建立空间直角坐标系 ， 7 分则 , , ，易得平面 的一个法向量为 8 分设平面 PBC 的法向量为 ，则 9 分可取 10 分11 分故平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 12 分20 （本小题满分 12 分）解：（1）因为 ， 所以， ,即 1 分 由 得 ， ， 3 分， 在 中，由余弦定理知道 或 5 分6 分（2） 8 分在 中，由正弦定理得， 10 分12 分21. （本小题满分 12 分）解：(1)f(x)xtx2(x0)，1 分当 t0 时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，f(x)无最值；3 分当 t0 时，由 f(x)0 ，得 xt，f(x)在(0，t)上单调递减，在(t，)上单调递增，故 f(x)在 xt 处取得极小值也是最小值，最小值为 f(t)ln t1s ，无最大值 6 分(2)证明： f(x)恰有两个零点 x1，x2(01 ，则 l， ，故 ，x1x242t21t2ln tln t. 10 分令函数 h(t)t21t 2ln t，h(t) ，h(t) 在(1，)上单调递增，t1，h(t)h(1) 0，又 tx2x11 ，ln t0，故 x1x24 成立 12 分请考生从第（22） 、 （23）题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分， 22. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程解：（）曲线 化为普通方程为： ,2 分由 ，得 ，4 分所以直线 的直角坐标方程为 .5 分（2）直线 的参数方程为 （ 为参数） ，7 分代入 化简得： ，9 分设 两点所对应的参数分别为 ，则 ， . 10 分23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲解：（） ，当 时， ，即 ，所以 ；1 分当 时， ，即 ，所以 ；2 分当 时， ，即 ，所以 ；3 分综上，不等式 的解集为 4 分（）设 5 分因为对任意 ，都有 成立，所以 当 时， ，6 分所以 所以 ，符合 7 分 当 时， ，8 分所以 所以 ，符合 9 分综上，实数 的取值范围是 10 分
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