小船渡河问题分析ppt课件

小船渡河问题专题分析 培尖班课程 1 学习目标 知道满足什么条件时 渡河时间最短 知道满足什么条件时 渡河位移最短 2 例 一条宽度为L的河 水流速度为v水 已知船在静水中的速度为v船 那么 1 怎样渡河时间最短 2 若v船 v水怎样渡河位移最小 3 若v船 v水 怎样渡河船漂下的距离最短 解析 1 如下图所示 设船头斜向上游与河岸成任意角 这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1 v船sin 渡河所需的时间为 t L V船sin 可以看出 L v船一定时 t随sin 增大而减小 当 90 时 sin 1 最大 所以 船头与河岸垂直时 渡河时间最短 最短时间 tmin L V船 3 2 如上图所示 渡河的最小位移即河的宽度 为了使渡河位移等于L 必须使船的合速度v的方向与河岸垂直 即使沿河岸方向的速度分量为0 这时船头应指向河的上游 并与河岸成一定的角度 根据三角函数关系有v船cos v水 0cos v水 v船 arccos v水 v船 因为0 cos 1 所以只有在v船 v水时 船才有可能垂直河岸渡过 或者由三角形几何关系知道 4 3 如果水流速度大于船在静水中的航行速度 则不论船的航向如何 总是被水冲向下游 怎样才能使漂下的距离最短呢 如图所示 设船头与河岸成 角 合速度v与河岸成 角 取小于90 的一边 可以看出 角越大 船漂下的距离x越短 那么在什么条件下 角最大呢 以v水的矢尖为圆心 v船为半径画圆 当v与圆相切时 角最大 根据cos v船 v水 船头与河岸的夹角应为 arccos v船 v水 船漂下的最短距离 xmin v水 v船cos L V船sin 此时渡河的最短位移 s LV水 V船 V船与合速度垂直 5 1 要使过河的时间最短 则船头必须垂直河岸 2 要使过河的位移最短 a 若v船 v水 则船头必须指向河岸上游方向 使合速度垂直河岸 最小位移等于河宽 b 若v船 v水 只有当V船 V合时 过河的位移最小 小结 6 在高处拉低处小船问题 小船的运动可以看成为沿绳方向运动和垂直绳子作圆周运动的合运动 如右图所示 在河岸上通过滑轮用细绳拉船 绳的速度为4m s 当绳拉船的部分与水平方向成60 角时 船的速度是多少 分析 船向岸边运动是合运动 它包括两个运动一个是沿绳方向的运动和垂直绳子方向的运动 两个运动合在一起使船向岸边靠拢 根据平行四边形法则 例2 7 汽车通过高处滑轮问题 物体的运动速度等于绳子的运动速度 绳子的运动可以看成沿绳子方向的向下运动和垂直绳子斜向上的运动合成 如右图所示汽车以速度v匀速行驶 当汽车到达某点时 绳子与水平方向恰好成 角 此时物体M的速度大小是多少 分析 滑轮左侧汽车后面的绳子实际上同时参与了两个运动 沿绳子方向拉长的运动和左上方摆动 而M的运动速度就是沿绳子方向拉长的速度 所以vM vcos 例3 8 练习1 一只船在静水中的速度为0 4m s 它要渡过一条宽度为40m的河 河水的流速为0 3m s 则下列说法中正确的是 A 船不可能渡过河B 船有可能垂直到达对岸C 船不能垂直到达对岸D 船到达对岸所需时间都是100s B 练习2 河宽100m 某人站在河边 发现垂直于河岸方向河的正中恰好有人落水 正逢涨潮 水速3m s 如该人用2m s的速度游去救人 最快到达的时间为s 他应该按方向游去 25 垂直于河岸 9 练习4河宽60m 水流速度6m s 小船在静水中速度为3m s 则它渡河的最短时间为s 最短航程为m 这时渡河的时间为s 解 画出运动示意图如图示 当船头垂直河岸时 渡河的时间最短t d v 20s 因为v船 v水 只有当V船 V合时 过河的位移最小 如图示 Sin v船 v水 1 2 30 S d Sin 120m t2 S v合 d v船sin60 60 3 0 866 23 1s 20 120 23 1 10 练习5 有一小船正在渡河 离对岸50m时 已知在下游120m处有一危险区 假设河水流速为5m s 为了使小船不通过危险区到达对岸 那么 小船从现在起相对于静水的最小速度应是 A 2 08m sB 1 92m sC 1 58m sD 1 42m s 解 画出示意图 要避开危险区 则合速度方向应在AC左侧 最小的船速应垂直于合速度 由几何关系得AC 130msin 5 13 v船 v水sin 25 13 1 92m s B 11 综合能力提高甲乙两船在静水中的航行速度分别为V甲 V乙 两船从同一渡口向对岸划去 已知甲船想以最短的时间渡河 乙船想以最短航程过河 结果两船抵达对岸的地点恰好相同 则甲乙两船渡河所用的时间之比t甲 t乙 V2乙 V2甲 12 T甲 d V甲T乙 d V乙合sin V乙合 V乙ctg dcos V乙sin2 T甲 T乙 V乙sin2 V甲cos cos V乙 V甲sin cos T甲 T乙 V2乙 V2甲 13