椭圆的定义及性质ppt课件

思考 问题 一架救援机从A地出发进行救援任务 之后必须回到B地加油 已知飞机一次最多能飞行500公里 而AB两地相距200公里 问这架飞机能够救援到的区域是怎样的 1 PA PB 500 AB 200 2 定义 平面内与两个定点F1 F2的距离的和等于常数2a F1F2 的点的轨迹叫椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两个焦点的距离2c叫做椭圆的焦距 椭圆的定义和标准方程 3 求方程的过程 解 1 建系 以F1F2所在的直线为x轴 以线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系 则有两焦点坐标分别为 F1 c 0 F2 c o 2 设点p x y 是椭圆上一点 如图 根据已知有 PF1 PF2 2a 这个椭圆的一个标准方程为 a b 0 a2 b2 c2 4 求方程的过程 解 1 建系 以F1F2所在的直线为y轴 以线段F1F2的中垂线为x轴建立直角坐标系 则有两焦点坐标分别为 F1 0 c F2 0 c 2 设点p x y 是椭圆上一点 如图 根据已知有 PF1 PF2 2a 这个椭圆的标准方程为 a b 0 a2 b2 c2 5 椭圆的标准方程 6 椭圆的几何性质 1 范围 x a y b椭圆位于直线x a和直线y b所围成的矩形区域内2 对称性 关于x轴和y轴对称 也关于原点中心对称 A1 7 椭圆的几何性质 A1 A2 A1 B2 B1 3 顶点和长短轴 长轴 A1A2短轴 B1B2顶点 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b 4 离心率 8 椭圆的第二定义 已知点M x y 到定点F c 0 的距离和它到定直线的距离的比为常数 a c 0 求点M的轨迹方程 这个方程是椭圆的一个标准方程 称这个定点F是椭圆的一个焦点 定直线是椭圆的一条准线 比值叫这个椭圆的离心率 9 结论 椭圆有两条和它的两个焦点相对应的准线 F1 10 结论 椭圆有两条和它的两个焦点相对应的准线 与F2对应的准线方程 与F1对应的准线方程 11 例1 求椭圆4x2 y2 2的准线方程 椭圆的焦点在y轴上 且a2 2 b2 0 5 c2 1 5椭圆的两条准线方程为 解 由已知有椭圆的标准方程为 12 ex1 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为 离心率为 则椭圆的短轴长为多少 13 eg1 椭圆9x2 25y2 225 0上一点到左准线的距离为2 5 则P到右焦点的距离是 A 8 B c 7 5 D 7 椭圆的性质的应用 14 eg2 椭圆的右焦点为F 设点A P是椭圆上一动点 求使取得最小值时的P的坐标 并求出这个最小值 15 问题 平面内到两个定点F1 F2的距离的差是定值 PF1 PF2 2a的点P的轨迹是什么 1 若这个定值为0 它表示什么 2 若这个定值 F1F2 它表示什么 3 若这个定值 F1F2 它表示什么 4 若这个定值非零且 F1F2 它表示什么 16 当差值为0时 即 PF1 PF2 时 P 轨迹是线段F1F2的中垂线 17 当 PF1 PF2 F1F2 时 或 PF2 PF1 F1F2 时 轨迹是分别以F1和F2为端点的两条射线 可不可能 P 18 当 PF1 PF2 的绝对值 F1F2 不可能 因为在三角形中 两边之差小于第三边 19 理想化的问题 一个出租汽车司机想从A地点送一个乘客到达目的地后 然后返回B点的家 已知A B两点的距离为20公里假设司机送客和返回家都是直线行驶 假设汽车每行驶一公里耗费一元 乘客每乘坐一公里付费二元 请问这个司机怎样考虑接受乘客的目的地 他才可能至少能收益15元 假设不考虑职业道德 20 分析 为了把问题简单化 我们先研究司机刚好只收益15元的情形 2 PA PA PB PA PB 15 注意 PA PB 15 AB 20 21 你会替司机出个主意了吗 要求 PA PB 15且 AB 20 PA PB 15时呢 22 定义 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数2a F1F2 的点的轨迹叫双曲线 这两个定点F1 F2叫做双曲线的焦点 两个焦点的距离叫做双曲线的焦距2c o a c 双曲线的定义 如果定义中没有 绝对值 这三个字 还是双曲线吗 23 双曲线的标准方程的求法 为了体现双曲线的对称美 和我们研究数学的由简单到复杂的思维规律 我们也选择对称的建系方式 称如下建系所得的双曲线方程为双曲线的标准方程 24 解 第 1 步 如图 以F1F2所在直线为x轴 以线段F1F2的中垂线为y轴 建立直角坐标系 则点F1和点F2的坐标分别为 c 0 c 0 25 第 2 步 设点P x y 双曲线上的任意一点 则有 PF1 PF2 2a 26 3 由 PF1 PF2 2a和两点间的距离公式得 27 这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么 28 焦点在x轴上的双曲线的标准方程是 同理 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 注 a2 c2 b2 结论 29 例1已知两个定点的坐标分别是F1 5 0 F2 5 0 求到这两点的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程 30 例2已知一个动圆过点A 2 0 并且和一个定圆 x 2 2 y2 4相切 求这个动圆的圆心的轨迹方程 31 双曲线的标准方程中的几个参量 例3 判断下列方程是否表示双曲线 若是 求出三个量a b c的值 再请你指出各自的顶点和焦点坐标 32 证明 设m n 0 则有 和有公共的焦点 它们的实轴长和虚轴长正好对换和有公共的渐进线 它们的实轴和虚轴正好对换 我们称它们为共轭双曲线 33 例4 请判断以下方程表示什么样的曲线 并指出它们的焦点在哪个坐标轴上 34 双曲线的渐近线方程练习 例5 求出下列双曲线的渐近线的方程 35 与双曲线的渐近线有关的结论 1 求双曲线的渐近线方程时 只需将上式右边的1换成0即可 2 双曲线表示任意以为渐近线的双曲线系 k 0 36 双曲线的渐近线方程 37 例 双曲线的中心在原点 对称轴是两坐标轴 有一条渐近线方程为2x 3y 0 并且过定点 2 2 求这个双曲线的方程 2 2 38 解法一 如图 双曲线的两条渐近线把坐标平面分成四部分 点 2 2 刚好在上部分 故有这条双曲线的焦点在y轴上 设它的标准方程为 39 由双曲线的标准方程为知它的渐近线方程为 40 又已知点 2 2 在双曲线上 则有 故所求的双曲线的方程为 41 解2 据题意 双曲线的渐近线方程为 即 不妨设所求的双曲线的方程为 将点 2 2 的坐标代入上式 故所求的双曲线的方程为 42 证明 双曲线上任一点到它的两渐近线的距离之积为定值 并求这个定值 证明 由已知 它的渐近线方程为 它们的标准方程为bx ay 0 设 x0 y0 是双曲线上的任意一点 则有 43 p 示意 如图 过点P向两条渐近线引垂线交两条渐近线于点M N 则有 M N 44 问题 PM PN 有最值吗 何时有 是多少 p M N 45 已知双曲线右支上一点P到它的右焦点的距离为10 则P到双曲线的左准线的距离是多少 46 回顾 椭圆的焦点半经公式及求法 2 设P x y 是椭圆上的任意一点 则 PF1 和 PF2 的值为a ey 1 设P x y 是椭圆上的任意一点 则 PF1 和 PF2 的值为a ex 47 分析 如图 过点P向两准线引垂线交两准线于点M N 根据双曲线的第二定义 48 同理 49 同理 当焦点在y轴上时 PF1 a ey PF2 a ey 50 如下图提示 你能推出焦点在x轴上的双曲线的焦半经公式吗 51 若它的焦点在x轴上 则有 PF1 PF2 为ex a 若它的焦点在y轴上呢 则有 PF1 PF2 为ey a 52 双曲线中三角形PF1F2中的边和角 正弦定理 余弦定理 和三角形面积公式在图中的体现及相互间的联系 53 54 1 余弦定理 55 2 正弦定理 56 3 三角形的面积公式 57 实例1 点P是双曲线上的一点 F1 F2是焦点 求的面积 58 圆锥曲线的统一定义 平面内到定点的距离和到定直线的距离的比是定值e的点的轨迹是 1 当01时表示一个双曲线 3 当e 1时表示什么呢 平面内到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹叫抛物线至此 椭圆 双曲线 抛物线的定义就统一起来了 这三种曲线统称为圆锥曲线 59 平面内到定点的距离和它到定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线 抛物线的标准方程 以后我们约定这个定点到定直线的距离为P K 讨论 怎样建立坐标系所得方程简单 60 建系方式一 以后我们约定这个定点到定直线的距离为P 讨论 怎样建立坐标系所得方程简单 O x y 如图 以过焦点且垂直于准线的直线为x轴 以线段KF的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 则F点的坐标为准线的方程为 61 设点M x y 是所求的曲线上的任意一点 过点M作MD垂直直线L交L于点D 则有根据定义有 MD MF M x y D 它叫抛物线的一种标准方程 它的焦点坐标和准线方程是 62 抛物线的标准方程有四种 请分别画出它们的草图 并指出它们的焦点坐标 准线方程 你还记得上式中P的几何含义吗 63 焦点的坐标为 准线的方程为 64 焦点的坐标为 准线的方程为 65 焦点的坐标为 准线的方程为 66 焦点的坐标为 准线的方程为 67 例1 1 已知抛物线的焦点坐标是F 0 2 求它的标准方程 68 2 已知抛物线的标准方程为y x2 求它的焦点坐标和准线方程 69 例2 探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分 灯口的直经为60cm 灯深为40cm 求抛物线的标准方程和焦点的位置 F O x y A B 70 抛物线的几何性质 1 范围 一 二 三 四 2 对称轴及顶点 一 二 三 四 3 离心率抛物线的离心率恒为1 71 抛物线的焦半径公式 一 二 三 四 设M x y 是以下抛物线上的任意一点 F是抛物线的焦点 则焦半经EF的长度为 当抛物线的方程为y2 2px时 则 MF 当抛物线的方程为y2 2px时 则 MF 当抛物线的方程为x2 2py时 则 MF 当抛物线的方程为x2 2py时 则 MF 72 例3 过抛物线y2 2px的焦点F任意作一条直线交抛物线于A B两点 求证 以A B为直经的圆和这个抛物线的准线相切 A B M 73 过抛物线y2 2px的焦点F的弦长公式 设直线AB与抛物线的对称轴的夹角为 则有 F O x y A B 74 特殊情形 当 90 即AB和对称轴垂直时 AB 2 AF 2p 此时称线段AB为抛物线的通经 75 设直线AB的斜率为k k 0 则直线的点斜式方程为 联立方程 76 77 还有新的方法 设A B两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 两式相减得 78 79 例4 过抛物线y2 2px的焦点的一条直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是x1 x2 纵坐标分别是y1 y2 求证 分析 当直线的斜率不存在时 当直线的斜率存在时 80 例5 PQ是过抛物线的焦点的一条弦 通过点P和抛物线的顶点的直线交准线于点M 求证 直线MQ平行于抛物线的对称轴 分析 不妨设抛物线的标准方程为y2 2px 设点P的坐标为 x1 y1 点Q的坐标为 下面只需证 ym y2 x2 y2 而且易知点M的横坐标为 81 设直线PQ的斜率为k 则直线PQ的方程为 82 又因为点P O M在一条直线上 则有 ym y2 即MP垂直于这条抛物线的对称轴 83 测试 1 求过点A 2 4 的抛物线的标准方程 2 过抛物线y2 4x的焦点的直线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 两点 如果x1 x2 6 求 AB 的长 84 直线和抛物线的交点的个数 请你讨论一下过点 1 0 的直线和抛物线y2 6x的交点个数 并得出相应的结论所对应的直线的斜率的范围 85 讨论双曲线和直线y kx m k 0 的交点的个数 利用图形和解析式的结合 86 87 思考 直线l与椭圆相交于P Q两点 且线段PQ的中点为M 如下图试用这P Q点的坐标表示 1 直线l的斜率k 2 直线OM的斜率kOM 3 PQ o x M x0 y0 Q x2 y2 P x1 y1 y 88 例2 在面积为1的 PMN中 tgM tgN 2 建立适当的坐标系 求出以M N为焦点且过P点的椭圆方程 93 理 89