数字信号处理高西全课后答案ppt课件

1 4习题与上机题解答 1 用单位脉冲序列 n 及其加权和表示题1图所示的序列 题1图 解 x n n 4 2 n 2 n 1 2 n n 1 2 n 2 4 n 3 0 5 n 4 2 n 6 2 给定信号 2n 5 4 n 1 60 n 4 0其它 1 画出x n 序列的波形 标上各序列值 2 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x n 序列 x n 3 令x1 n 2x n 2 试画出x1 n 波形 4 令x2 n 2x n 2 试画出x2 n 波形 5 令x3 n x 2 n 试画出x3 n 波形 解 1 x n 序列的波形如题2解图 一 所示 2 x n 3 n 4 n 3 n 2 3 n 1 6 n 6 n 1 6 n 2 6 n 3 6 n 4 3 x1 n 的波形是x n 的波形右移2位 再乘以2 画出图形如题2解图 二 所示 4 x2 n 的波形是x n 的波形左移2位 再乘以2 画出图形如题2解图 三 所示 5 画x3 n 时 先画x n 的波形 即将x n 的波形以纵轴为中心翻转180 然后再右移2位 x3 n 波形如题2解图 四 所示 题2解图 一 题2解图 二 题2解图 三 题2解图 四 3 判断下面的序列是否是周期的 若是周期的 确定其周期 1 2 解 1 因为 所以 这是有理数 因此是周期序列 周期T 14 2 因为 所以 16 这是无理数 因此是非周期序列 4 对题1图给出的x n 要求 1 画出x n 的波形 2 计算xe n x n x n 并画出xe n 波形 3 计算xo n x n x n 并画出xo n 波形 4 令x1 n xe n xo n 将x1 n 与x n 进行比较 你能得到什么结论 解 1 x n 的波形如题4解图 一 所示 2 将x n 与x n 的波形对应相加 再除以2 得到xe n 毫无疑问 这是一个偶对称序列 xe n 的波形如题4解图 二 所示 3 画出xo n 的波形如题4解图 三 所示 题4解图 一 题4解图 二 题4解图 三 4 很容易证明 x n x1 n xe n xo n 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列 偶对称序列可以用题中 2 的公式计算 奇对称序列可以用题中 3 的公式计算 5 设系统分别用下面的差分方程描述 x n 与y n 分别表示系统输入和输出 判断系统是否是线性非时变的 1 y n x n 2x n 1 3x n 2 2 y n 2x n 3 3 y n x n n0 n0为整常数 4 y n x n 5 y n x2 n 6 y n x n2 7 y n 8 y n x n sin n 解 1 令输入为x n n0 输出为y n x n n0 2x n n0 1 3x n n0 2 y n n0 x n n0 2x n n0 1 3 n n0 2 y n 故该系统是非时变系统 因为y n T ax1 n bx2 n ax1 n bx2 n 2 ax1 n 1 bx2 n 1 3 ax1 n 2 bx2 n 2 T ax1 n ax1 n 2ax1 n 1 3ax1 n 2 T bx2 n bx2 n 2bx2 n 1 3bx2 n 2 所以T ax1 n bx2 n aT x1 n bT x2 n 故该系统是线性系统 2 令输入为x n n0 输出为y n 2x n n0 3 y n n0 2x n n0 3 y n 故该系统是非时变的 由于T ax1 n bx2 n 2ax1 n 2bx2 n 3T ax1 n 2ax1 n 3T bx2 n 2bx2 n 3T ax1 n bx2 n aT x1 n bT x2 n 故该系统是非线性系统 3 这是一个延时器 延时器是线性非时变系统 下面证明 令输入为x n n1 输出为y n x n n1 n0 y n n1 x n n1 n0 y n 故延时器是非时变系统 由于T ax1 n bx2 n ax1 n n0 bx2 n n0 aT x1 n bT x2 n 故延时器是线性系统 4 y n x n 令输入为x n n0 输出为y n x n n0 y n n0 x n n0 y n 因此系统是线性系统 由于T ax1 n bx2 n ax1 n bx2 n aT x1 n bT x2 n 因此系统是非时变系统 5 y n x2 n 令输入为x n n0 输出为y n x2 n n0 y n n0 x2 n n0 y n 故系统是非时变系统 由于T ax1 n bx2 n ax1 n bx2 n 2 aT x1 n bT x2 n ax21 n bx22 n 因此系统是非线性系统 6 y n x n2 令输入为x n n0 输出为y n x n n0 2 y n n0 x n n0 2 y n 故系统是非时变系统 由于T ax1 n bx2 n ax1 n2 bx2 n2 aT x1 n bT x2 n 故系统是线性系统 7 y n x m 令输入为x n n0 输出为y n 0 DD x m n0 y n n0 x m y n 故系统是时变系统 由于T ax1 n bx2 n ax1 m bx2 m aT x1 n bT x2 n 故系统是线性系统 8 y n x n sin n 令输入为x n n0 输出为y n x n n0 sin n y n n0 x n n0 sin n n0 y n 故系统不是非时变系统 由于T ax1 n bx2 n ax1 n sin n bx2 n sin n aT x1 n bT x2 n 故系统是线性系统 6 给定下述系统的差分方程 试判定系统是否是因果稳定系统 并说明理由 1 y n x n k 2 y n x n x n 1 3 y n x k 4 y n x n n0 5 y n ex n 解 1 只要N 1 该系统就是因果系统 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关 如果 x n M 则 y n M 因此系统是稳定系统 2 该系统是非因果系统 因为n时间的输出还和n时间以后 n 1 时间 的输入有关 如果 x n M 则 y n x n x n 1 2M 因此系统是稳定系统 3 如果 x n M 则 y n x k 2n0 1 M 因此系统是稳定的 假设n0 0 系统是非因果的 因为输出还和x n 的将来值有关 4 假设n0 0 系统是因果系统 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关 如果 x n M 则 y n M 因此系统是稳定的 5 系统是因果系统 因为系统的输出不取决于x n 的未来值 如果 x n M 则 y n ex n e x n eM 因此系统是稳定的 7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h n 和输入序列x n 如题7图所示 要求画出y n 输出的波形 解 解法 一 采用列表法 y n x n h n x m h n m 题7图 y n 2 1 0 5 2 1 4 5 2 1 n 2 1 0 1 2 3 4 5 解法 二 采用解析法 按照题7图写出x n 和h n 的表达式分别为x n n 2 n 1 2 n 3 h n 2 n n 1 n 2 由于x n n x n x n A n k Ax n k 故 y n x n h n x n 2 n n 1 n 2 2x n x n 1 x n 2 将x n 的表示式代入上式 得到y n 2 n 2 n 1 0 5 n 2 n 1 n 2 4 5 n 3 2 n 4 n 5 8 设线性时不变系统的单位脉冲响应h n 和输入x n 分别有以下三种情况 分别求出输出y n 1 h n R4 n x n R5 n 2 h n 2R4 n x n n n 2 3 h n 0 5nu n xn R5 n 解 1 y n x n h n R4 m R5 n m 先确定求和域 由R4 m 和R5 n m 确定y n 对于m的非零区间如下 0 m 3 4 m n 根据非零区间 将n分成四种情况求解 n7时 y n 0 最后结果为0n7 n 10 n 3 8 n4 n 7y n 的波形如题8解图 一 所示 2 y n 2R4 n n n 2 2R4 n 2R4 n 2 2 n n 1 n 4 n 5 y n 的波形如题8解图 二 所示 y n 题8解图 一 题8解图 二 3 y n x n h n R5 m 0 5n mu n m 0 5nR5 m 0 5 mu n m y n 对于m的非零区间为0 m 4 m n n 0时 y n 0 0 n 4时 1 0 5 n 1 0 5n 2 0 5n n 5时 最后写成统一表达式 y n 2 0 5n R5 n 31 0 5nu n 5 9 证明线性卷积服从交换律 结合律和分配律 即证明下面等式成立 1 x n h n h n x n 2 x n h1 n h2 n x n h1 n h2 n 3 x n h1 n h2 n x n h1 n x n h2 n 证明 1 因为令m n m 则 2 利用上面已证明的结果 得到 交换求和号的次序 得到 10 设系统的单位脉冲响应h n 3 8 0 5nu n 系统的输入x n 是一些观测数据 设x n x0 x1 x2 xk 试利用递推法求系统的输出y n 递推时设系统初始状态为零状态 解 n 0时 n 0 n 1时 n 2时 最后得到 11 设系统由下面差分方程描述 设系统是因果的 利用递推法求系统的单位脉冲响应 解 令x n n 则 n 0时 n 1时 n 2时 n 3时 归纳起来 结果为 12 设系统用一阶差分方程y n ay n 1 x n 描述 初始条件y 1 0 试分析该系统是否是线性非时变系统 解 分析的方法是让系统输入分别为 n n 1 n n 1 时 求它的输出 再检查是否满足线性叠加原理和非时变性 1 令x n n 这时系统的输出用y1 n 表示 该情况在教材例1 4 1中已求出 系统的输出为 y1 n anu n 2 令x n n 1 这时系统的输出用y2 n 表示 n 0时 n 1时 n 2时 任意n时 最后得到 3 令x n n n 1 系统的输出用y3 n 表示 n 0时 n 1时 n 2时 n 3时 任意n时 最后得到 由 1 和 2 得到y1 n T n y2 n T n 1 y1 n y2 n 1 因此可断言这是一个时不变系统 情况 3 的输入信号是情况 1 和情况 2 输入信号的相加信号 因此y3 n T n n 1 观察y1 n y2 n y3 n 得到y3 n y1 n y2 n 因此该系统是线性系统 最后得到结论 用差分方程y n ay n 1 x n 0 a 1描写的系统 当初始条件为零时 是一个线性时不变系统 13 有一连续信号xa t cos 2 ft j 式中 f 20Hz j 2 1 求出xa t 的周期 2 用采样间隔T 0 02s对xa t 进行采样 试写出采样信号的表达式 3 画出对应的时域离散信号 序列 x n 的波形 并求出x n 的周期 解 1 xa t 的周期为 2 3 x n 的数字频率 0 8 故 因而周期N 5 所以x n cos 0 8 n 2 画出其波形如题13解图所示 题13解图 14 已知滑动平均滤波器的差分方程为 1 求出该滤波器的单位脉冲响应 2 如果输入信号波形如前面例1 3 4的图1 3 1所示 试求出y n 并画出它的波形 解 1 将题中差分方程中的x n 用 n 代替 得到该滤波器的单位脉冲响应 即 2 已知输入信号 用卷积法求输出 输出信号y n 为 表1 4 1表示了用列表法解卷积的过程 计算时 表中x k 不动 h k 反转后变成h k h n k 则随着n的加大向右滑动 每滑动一次 将h n k 和x k 对应相乘 再相加和平均 得到相应的y n 滑动平均 清楚地表明了这种计算过程 最后得到的输出波形如前面图1 3 2所示 该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化 使波形变化缓慢 15 已知系统的差分方程和输入信号分别为 用递推法计算系统的零状态响应 解 求解程序ex115 m如下 程序ex115 m 调用filter解差分方程y n 0 5y n 1 x n 2x n 2 xn 1 2 3 4 2 1 zeros 1 10 x n 单位脉冲序列 长度N 31 B 1 0 2 A 1 0 5 差分方程系数 yn filter B A xn 调用filter解差分方程 求系统输出信号y n n 0 length yn 1 subplot 3 2 1 stem n yn axis 1 15 2 8 title 系统的零状态响应 xlabel n ylabel y n 程序运行结果 yn 1 00001 50004 25005 87505 06256 46880 76561 6172 0 80860 4043 0 20210 1011 0 05050 0253 0 01260 0063 0 00320 0016 0 00080 0004 0 00020 0001 0 00000 0000 0 00000 0000 程序运行结果的y n 波形图如题15 解图所示 题15 解图 16 已知两个系统的差分方程分别为 1 y n 0 6y n 1 0 08y n 2 x n 2 y n 0 7y n 1 0 1y n 2 2x n x n 2 分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应 解 1 系统差分方程的系数向量为 B1 1 A1 1 0 6 0 08 2 系统差分方程的系数向量为 B2 2 0 1 A2 1 0 7 0 1 2 5习题与上机题解答 1 设X ej 和Y ej 分别是x n 和y n 的傅里叶变换 试求下面序列的傅里叶变换 1 x n n0 2 x n 3 x n 4 x n y n 5 x n y n 6 nx n 7 x 2n 8 x2 n 9 解 1 令n n n0 即n n n0 则 2 3 令n n 则 4 FT x n y n X ej Y ej 下面证明上式成立 令k n m 则 5 或者 6 因为 对该式两边 求导 得到 因此 7 令n 2n 则 或者 8 利用 5 题结果 令x n y n 则 9 令n n 2 则 2 已知 求X ej 的傅里叶反变换x n 解 3 线性时不变系统的频率响应 频率响应函数 H ej H ej ej 如果单位脉冲响应h n 为实序列 试证明输入x n Acos 0n j 的稳态响应为 解 假设输入信号x n ej 0n 系统单位脉冲响应为h n 则系统输出为 上式说明当输入信号为复指数序列时 输出序列仍是复指数序列 且频率相同 但幅度和相位取决于网络传输函数 利用该性质解此题 上式中 H ej 是 的偶函数 相位函数是 的奇函数 H ej H e j 故 4 设 将x n 以4为周期进行周期延拓 形成周期序列 画出x n 和的波形 求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换 解 画出x n 和的波形如题4解图所示 题4解图 或者 5 设题5图所示的序列x n 的FT用X ej 表示 不直接求出X ej 完成下列运算或工作 题5图 1 2 3 4 确定并画出傅里叶变换实部Re X ej 的时间序列xa n 5 6 解 1 2 3 4 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分 即 按照上式画出xe n 的波形如题5解图所示 题5解图 5 6 因为 因此 6 试求如下序列的傅里叶变换 1 x1 n n 3 2 3 x3 n anu n 0 a 1 4 x4 n u n 3 u n 4 解 1 2 3 4 或者 7 设 1 x n 是实偶函数 2 x n 是实奇函数 分别分析推导以上两种假设下 其x n 的傅里叶变换性质 解 令 1 因为x n 是实偶函数 对上式两边取共轭 得到 因此X ej X e j 上式说明x n 是实序列 X ej 具有共轭对称性质 由于x n 是偶函数 x n sin 是奇函数 那么 因此 该式说明X ej 是实函数 且是 的偶函数 总结以上 x n 是实偶函数时 对应的傅里叶变换X ej 是实函数 是 的偶函数 2 x n 是实奇函数 上面已推出 由于x n 是实序列 X ej 具有共轭对称性质 即X ej X e j 由于x n 是奇函数 上式中x n cos 是奇函数 那么 因此 这说明X ej 是纯虚数 且是 的奇函数 8 设x n R4 n 试求x n 的共轭对称序列xe n 和共轭反对称序列xo n 并分别用图表示 解 xe n 和xo n 的波形如题8解图所示 题8解图 9 已知x n anu n 0 a 1 分别求出其偶函数xe n 和奇函数xo n 的傅里叶变换 解 因为xe n 的傅里叶变换对应X ej 的实部 xo n 的傅里叶变换对应X ej 的虚部乘以j 因此 10 若序列h n 是实因果序列 其傅里叶变换的实部如下式 HR ej 1 cos 求序列h n 及其傅里叶变换H ej 解 11 若序列h n 是实因果序列 h 0 1 其傅里叶变换的虚部为HI ej sin 求序列h n 及其傅里叶变换H ej 解 12 设系统的单位脉冲响应h n anu n 0 a 1 输入序列为x n n 2 n 2 完成下面各题 1 求出系统输出序列y n 2 分别求出x n h n 和y n 的傅里叶变换 解 1 2 13 已知xa t 2cos 2 f0t 式中f0 100Hz 以采样频率fs 400Hz对xa t 进行采样 得到采样信号和时域离散信号x n 试完成下面各题 1 写出的傅里叶变换表示式Xa j 2 写出和x n 的表达式 3 分别求出的傅里叶变换和x n 序列的傅里叶变换 解 上式中指数函数的傅里叶变换不存在 引入奇异函数 函数 它的傅里叶变换可以表示成 2 3 式中 式中 0 0T 0 5 rad上式推导过程中 指数序列的傅里叶变换仍然不存在 只有引入奇异函数 函数才能写出它的傅里叶变换表示式 14 求出以下序列的Z变换及收敛域 1 2 nu n 2 2 nu n 1 3 2 nu n 4 n 5 n 1 6 2 n u n u n 10 解 1 2 3 4 ZT n 10 z 5 ZT n 1 z 10 z 6 15 求以下序列的Z变换及其收敛域 并在z平面上画出极零点分布图 1 x n RN n N 4 2 x n Arncos 0n j u n r 0 9 0 0 5 rad j 0 25 rad 3 式中 N 4 解 1 由z4 1 0 得零点为 由z3 z 1 0 得极点为z1 2 0 1零极点图和收敛域如题15解图 a 所示 图中 z 1处的零极点相互对消 题15解图 2 零点为 极点为 极零点分布图如题15解图 b 所示 3 令y n R4 n 则x n 1 y n y n zX z Y z 2 X z z 1 Y z 2 因为 因此 极点为z1 0 z2 1 零点为 在z 1处的极零点相互对消 收敛域为0 z 极零点分布图如题15解图 c 所示 16 已知 求出对应X z 的各种可能的序列表达式 解 X z 有两个极点 z1 0 5 z2 2 因为收敛域总是以极点为界 因此收敛域有三种情况 z 0 5 0 5 z 2 2 z 三种收敛域对应三种不同的原序列 1 收敛域 z 0 5 令 n 0时 因为c内无极点 x n 0 n 1时 c内有极点0 但z 0是一个n阶极点 改为求圆外极点留数 圆外极点有z1 0 5 z2 2 那么 2 收敛域0 5 z 2 n 0时 c内有极点0 5 n 0时 c内有极点0 5 0 但0是一个n阶极点 改成求c外极点留数 c外极点只有一个 即2 x n Res F z 2 2 2nu n 1 最后得到 3 收敛域 z 2 n 0时 c内有极点0 5 2 n 0时 由收敛域判断 这是一个因果序列 因此x n 0 或者这样分析 c内有极点0 5 2 0 但0是一个n阶极点 改求c外极点留数 c外无极点 所以x n 0 最后得到 17 已知x n anu n 0 a 1 分别求 1 x n 的Z变换 2 nx n 的Z变换 3 a nu n 的Z变换 解 1 2 3 18 已知 分别求 1 收敛域0 52对应的原序列x n 解 1 收敛域0 5 z 2 n 0时 c内有极点0 5 x n Res F z 0 5 0 5n 2 nn 0时 c内有极点0 5 0 但0是一个n阶极点 改求c外极点留数 c外极点只有2 x n Res F z 2 2n 最后得到x n 2 nu n 2nu n 1 2 n 2 n 0时 c内有极点0 5 2 n 0时 c内有极点0 5 2 0 但极点0是一个n阶极点 改成求c外极点留数 可是c外没有极点 因此 x n 0 最后得到 x n 0 5n 2n u n 19 用部分分式法求以下X z 的反变换 1 2 解 1 2 20 设确定性序列x n 的自相关函数用下式表示 试用x n 的Z变换X z 和x n 的傅里叶变换X ej 分别表示自相关函数的Z变换Rxx z 和傅里叶变换Rxx ej 解 解法一 令m n m 则 解法二 因为x n 是实序列 X e j X ej 因此 21 用Z变换法解下列差分方程 1 y n 0 9y n 1 0 05u n y n 0n 1 2 y n 0 9y n 1 0 05u n y 1 1 y n 0n 1 3 y n 0 8y n 1 0 15y n 2 n y 1 0 2 y 2 0 5 y n 0 当n 3时 解 1 y n 0 9y n 1 0 05u n y n 0n 1 n 0时 n 0时 y n 0最后得到y n 0 5 0 9 n 1 0 5 u n 2 y n 0 9y n 1 0 05u n y 1 1 y n 0n 1 n 0时 n 0时 y n 0最后得到y n 0 45 0 9 n 0 5 u n 3 y n 0 8y n 1 0 15y n 2 n y 1 0 2 y 2 0 5 y n 0 当n 2时 Y z 0 8z 1 Y z y 1 z 0 15z 2 Y z y 1 z y 2 z2 1 n 0时 y n 4 365 0 3n 6 375 0 5nn 0时 y n 0最后得到y n 4 365 0 3n 6 375 0 5n u n 22 设线性时不变系统的系统函数H z 为 1 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络 即 H ej 常数 2 参数a如何取值 才能使系统因果稳定 画出其极零点分布及收敛域 解 1 极点为a 零点为a 1 设a 0 6 极零点分布图如题22解图 a 所示 我们知道 H ej 等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度 按照题22解图 a 得到 因为角 公用 且 AOB AOC 故 即 故H z 是一个全通网络 或者按照余弦定理证明 题22解图 2 只有选择 a 1才能使系统因果稳定 设a 0 6 极零点分布图及收敛域如题22解图 b 所示 23 设系统由下面差分方程描述 y n y n 1 y n 2 x n 1 1 求系统的系统函数H z 并画出极零点分布图 2 限定系统是因果的 写出H z 的收敛域 并求出其单位脉冲响应h n 3 限定系统是稳定性的 写出H z 的收敛域 并求出其单位脉冲响应h n 解 1 y n y n 1 y n 2 x n 1 将上式进行Z变换 得到Y z Y z z 1 Y z z 2 X z z 1 因此 零点为z 0 令z2 z 1 0 求出极点 极零点分布图如题23解图所示 题23解图 2 由于限定系统是因果的 收敛域需选包含 点在内的收敛域 即 求系统的单位脉冲响应可以用两种方法 一种是令输入等于单位脉冲序列 通过解差分方程 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应 另一种方法是求H z 的逆Z变换 我们采用第二种方法 式中 令 n 0时 h n Res F z z1 Res F z z2 因为h n 是因果序列 n 0时 h n 0 故 3 由于限定系统是稳定的 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域 即 z2 z z1 n 0时 c内只有极点z2 只需求z2点的留数 n 0时 c内只有两个极点 z2和z 0 因为z 0是一个n阶极点 改成求圆外极点留数 圆外极点只有一个 即z1 那么 最后得到 24 已知线性因果网络用下面差分方程描述 y n 0 9y n 1 x n 0 9x n 1 1 求网络的系统函数H z 及单位脉冲响应h n 2 写出网络频率响应函数H ej 的表达式 并定性画出其幅频特性曲线 3 设输入x n ej 0n 求输出y n 解 1 y n 0 9y n 1 x n 0 9x n 1 Y z 0 9Y z z 1 X z 0 9X z z 1 令 n 1时 c内有极点0 9 n 0时 c内有极点0 9 0 最后得到h n 2 0 9nu n 1 n 2 极点为z1 0 9 零点为z2 0 9 极零点图如题24解图 a 所示 按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图 b 所示 3 题24解图 25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x n anu n h n bnu n 0 a 1 0 b 1 1 试用卷积法求网络输出y n 2 试用ZT法求网络输出y n 解 1 用卷积法求y n n 0时 n 0时 y n 0最后得到 2 用ZT法求y n 令 n 0时 c内有极点 a b 因此 因为系统是因果系统 所以n 0时 y n 0 最后得到 26 线性因果系统用下面差分方程描述 y n 2ry n 1 cos r2y n 2 x n 式中 x n anu n 0 a 1 0 r 1 常数 试求系统的响应y n 解 将题中给出的差分方程进行Z变换 式中 因为是因果系统 收敛域为 z max r a 且n 0时 y n 0 故 c包含三个极点 即a z1 z2 27 如果x1 n 和x2 n 是两个不同的因果稳定实序列 求证 式中 X1 ej 和X2 ej 分别表示x1 n 和x2 n 的傅里叶变换 解 FT x1 n x2 n X1 ej X2 ej 进行IFT 得到 令n 0 则 由于x1 n 和x2 n 是实稳定因果序列 因此 1 2 3 由 1 2 3 式 得到 28 若序列h n 是因果序列 其傅里叶变换的实部如下式 求序列h n 及其傅里叶变换H ej 解 求上式的Z的反变换 得到序列h n 的共轭对称序列he n 为 因为h n 是因果序列 he n 必定是双边序列 收敛域取 a z a 1 n 1时 c内有极点 a n 0时 c内有极点 a 0 因为he n he n 所以 29 若序列h n 是因果序列 h 0 1 其傅里叶变换的虚部为 求序列h n 及其傅里叶变换H ej 解 令z ej 有 jHI ej 对应h n 的共轭反对称序列ho n 因此jHI z 的反变换就是ho n 因为h n 是因果序列 ho n 是双边序列 收敛域取 a z a 1 n 1时 c内有极点 a n 0时 c内有极点 a 0 因为hI n h n 所以 教材第3章习题与上机题解答 1 计算以下序列的N点DFT 在变换区间0 n N 1内 序列定义为 1 x n 1 2 x n n 3 x n n n0 0 n0 N 4 x n Rm n 0 m N 5 6 7 x n ej 0nRN n 8 x n sin 0n RN n 9 x n cos 0n RN N 10 x n nRN n 解 1 2 3 4 5 0 k N 1 6 0 k N 1 7 或 8 解法一直接计算 解法二由DFT的共轭对称性求解 因为 所以 所以 即 结果与解法一所得结果相同 此题验证了共轭对称性 9 解法一直接计算 解法二由DFT共轭对称性可得同样结果 因为 10 解法一 上式直接计算较难 可根据循环移位性质来求解X k 因为x n nRN n 所以x n x n 1 NRN n N n RN n 等式两边进行DFT 得到X k X k WkN N N k 故 当k 0时 可直接计算得出X 0 为 这样 X k 可写成如下形式 解法二k 0时 k 0时 所以 即 2 已知下列X k 求x n IDFT X k 1 2 其中 m为正整数 0 m N 2 N为变换区间长度 解 1 n 0 1 N 1 2 n 0 1 N 1 3 已知长度为N 10的两个有限长序列 做图表示x1 n x2 n 和y n x1 n x2 n 循环卷积区间长度L 10 解 x1 n x2 n 和y n x1 n x2 n 分别如题3解图 a b c 所示 题3解图 4 证明DFT的对称定理 即假设X k DFT x n 证明DFT X n Nx N k 证 因为 所以 由于 所以DFT X n Nx N k k 0 1 N 15 如果X k DFT x n 证明DFT的初值定理 证 由IDFT定义式 可知 6 设x n 的长度为N 且X k DFT x n 0 k N 1令h n x n NRmN n m为自然数 H k DFT h n mN0 k mN 1求H k 与X k 的关系式 解 H k DFT h n 0 k mN 1 令n n lN l 0 1 m 1 n 0 1 N 1 则 因为 所以 7 证明 若x n 为实序列 X k DFT x n N 则X k 为共轭对称序列 即X k X N k 若x n 实偶对称 即x n x N n 则X k 也实偶对称 若x n 实奇对称 即x n x N n 则X k 为纯虚函数并奇对称 证 1 由教材 3 2 17 3 2 20 式知道 如果将x n 表示为x n xr n jxi n 则X k DFT x n Xep k Xop k 其中 Xep k DFT xr n 是X k 的共轭对称分量 Xop k DFT jxi n 是X k 的共轭反对称分量 所以 如果x n 为实序列 则Xop k DFT jxi n 0 故X k DFT x n Xep k 即X k X N k 2 由DFT的共轭对称性可知 如果x n xep n xop n 且X k Re X k jIm X k 则Re X k DFT xep n jIm X k DFT xop n 所以 当x n x N n 时 等价于上式中xop n 0 x n 中只有xep n 成分 所以X k 只有实部 即X k 为实函数 又由 1 证明结果知道 实序列的DFT必然为共轭对称函数 即X k X N k X N k 所以X k 实偶对称 同理 当x n x N n 时 等价于x n 只有xop n 成分 即xep n 0 故X k 只有纯虚部 且由于x n 为实序列 即X k 共轭对称 X k X N k X N k 为纯虚奇函数 8 证明频域循环移位性质 设X k DFT x n Y k DFT y n 如果Y k X k l NRN k 则 证 令m k l 则 9 已知x n 长度为N X k DFT x n 求Y k 与X k 的关系式 解 10 证明离散相关定理 若X k X1 k 2 k 则 证 根据DFT的惟一性 只要证明 即可 令m l n 则 所以 当然也可以直接计算X k X1 k X2 k 的IDFT 0 n N 1 由于 0 n N 1 所以 11 证明离散帕塞瓦尔定理 若X k DFT x n 则 证 12 已知f n x n jy n x n 与y n 均为长度为N的实序列 设F k DFT f n N0 k N 1 1 2 F k 1 jN 试求X k DFT x n N Y k DFT y n N以及x n 和y n 解 由DFT的共轭对称性可知x n X k Fep k jy n jY k Fop k 方法一 1 0 n N 1 由于 0 n m N 1 所以x n an0 n N 1同理y n bn0 n N 1 2 F k 1 jN 方法二令 只要证明A k 为共轭对称的 B k 为共轭反对称 则就会有A k Fep k X k B k Fop k jY k 因为 共轭对称 共轭反对称 所以 由方法一知x n IDFT X k anRN n y n IDFT Y k bnRN n 13 已知序列x n anu n 0 a 1 对x n 的Z变换X z 在单位圆上等间隔采样N点 采样序列为 求有限长序列IDFT X k N 解 我们知道 是以2 为周期的周期函数 所以 以N为周期 将看作一周期序列的DFS系数 则 由式 知为 将式 代入式 得到 由于 所以 由题意知 所以根据有关X k 与xN n 的周期延拓序列的DFS系数的关系有 由于0 n N 1 所以 因此 说明 平时解题时 本题推导 的过程可省去 直接引用频域采样理论给出的结论 教材中式 3 3 2 和 3 3 3 即可 14 两个有限长序列x n 和y n 的零值区间为x n 0n 0 8 n y n 0n 0 20 n对每个序列作20点DFT 即X k DFT x n k 0 1 19 Y k DFT y n k 0 1 19试问在哪些点上f n 与x n y n 值相等 为什么 解 如前所述 记fl n x n y n 而f n IDFT F k x n 20y n fl n 长度为27 f n 长度为20 由教材中式 3 4 3 知道f n 与fl n 的关系为 只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上 才满足f n fl n 所以f n fl n x n y n 7 n 19 15 已知实序列x n 的8点DFT的前5个值为0 25 0 125 j0 3018 0 0 125 j0 0518 0 1 求X k 的其余3点的值 2 求X1 k DFT x1 n 8 3 求 解 1 因为x n 是实序列 由第7题证明结果有X k X N k 即X N k X k 所以 X k 的其余3点值为 X 5 X 6 X 7 0 125 j0 0518 0 0 125 j0 3018 2 根据DFT的时域循环移位性质 3 16 x n x1 n 和x2 n 分别如题16图 a b 和 c 所示 已知X k DFT x n 8 求 和 注 用X k 表示X1 k 和X2 k 解 因为x1 n x n 3 8R8 n x2 n x n 2 8R8 n 所以根据DFT的时域循环移位性质得到 17 设x n 是长度为N的因果序列 且 试确定Y k 与X ej 的关系式 解 y n 是x n 以M为周期的周期延拓序列的主值序列 根据频域采样理论得到 18 用微处理机对实数序列作谱分析 要求谱分辨率F 50Hz 信号最高频率为1kHz 试确定以下各参数 1 最小记录时间Tpmin 2 最大取样间隔Tmax 3 最少采样点数Nmin 4 在频带宽度不变的情况下 使频率分辨率提高1倍 即F缩小一半 的N值 解 1 已知F 50Hz 因而 2 3 4 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变 应该使记录时间扩大1倍 即为0 04s 实现频率分辨率提高1倍 F变为原来的1 2 19 已知调幅信号的载波频率fc 1kHz 调制信号频率fm 100Hz 用FFT对其进行谱分析 试求 1 最小记录时间Tpmin 2 最低采样频率fsmin 3 最少采样点数Nmin 解 调制信号为单一频率正弦波时 已调AM信号为x t cos 2 fct jc 1 cos 2 fmt jm 所以 已调AM信号x t 只有3个频率 fc fc fm fc fm x t 的最高频率fmax 1 1kHz 频率分辨率F 100Hz 对本题所给单频AM调制信号应满足100 F 整数 以便能采样到这三个频率成分 故 1 2 3 注意 对窄带已调信号可以采用亚奈奎斯特采样速率采样 压缩码率 而在本题的解答中 我们仅按基带信号的采样定理来求解 20 在下列说法中选择正确的结论 线性调频Z变换可以用来计算一个有限长序列h n 在z平面实轴上诸点 zk 的Z变换H zk 使 1 zk ak k 0 1 N 1 a为实数 a 1 2 zk ak k 0 1 N 1 a为实数 a 1 3 1 和 2 都不行 即线性调频Z变换不能计算H z 在z平面实轴上的取样值 解 在chirp Z变换中 在z平面上分析的N点为zk AW kk 0 1 N 1其中所以当A0 1 0 0 W0 a 1 j 0时 zk ak 故说法 1 正确 说法 2 3 不正确 21 我们希望利用h n 长度为N 50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理 要求采用重叠保留法通过DFT 即FFT 来实现 所谓重叠保留法 就是对输入序列进行分段 本题设每段长度为M 100个采样点 但相邻两段必须重叠V个点 然后计算各段与h n 的L点 本题取L 128 循环卷积 得到输出序列ym n m表示第m段循环卷积计算输出 最后 从ym n 中选取B个样值 使每段选取的B个样值连接得到滤波输出y n 1 求V 2 求B 3 确定取出的B个采样应为ym n 中的哪些样点 解 为了便于叙述 规定循环卷积的输出序列ym n 的序列标号为n 0 1 2 127 先以h n 与各段输入的线性卷积ylm n 分析问题 因为当h n 的50个样值点完全与第m段输入序列xm n 重叠后 ylm n 才与真正的滤波输出y n 相等 所以 ylm n 中第0点到第48点 共49个点 不正确 不能作为滤波输出 第49点到第99点 共51个点 为正确的滤波输出序列y n 的第m段 即B 51 所以 为了去除前面49个不正确点 取出51个正确的点连接 得到不间断又无多余点的y n 必须重叠100 51 49个点 即V 49 下面说明 对128点的循环卷积ym n 上述结果也是正确的 我们知道 因为ylm n 长度为 N M 1 50 100 1 149 所以n从21到127区域无时域混叠 ym n ylm n 当然 第49点到第99点二者亦相等 所以 所取出的51点为从第49点到第99点的ym n 综上所述 总结所得结论 V 49 B 51选取ym n 中第49 99点作为滤波输出 读者可以通过作图来理解重叠保留法的原理和本题的解答 22 证明DFT的频域循环卷积定理 证 DFT的频域循环卷积定理重写如下 设h n 和x n 的长度分别为N和M ym n h n x n H k DFT h n L X k DFT X n L则 LX k 其中 L max N M 根据DFT的惟一性 只要证明ym n IDFT Ym k h n x n 就证明了DFT的频域循环卷积定理 教材第4章习题与上机题解答 快速傅里叶变换 FFT 是DFT的快速算法 没有新的物理概念 FFT的基本思想和方法教材中都有详细的叙述 所以只给出教材第4章的习题与上机题解答 1 如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 s 每次复数加需要1 s 用来计算N 1024点DFT 问直接计算需要多少时间 用FFT计算呢 照这样计算 用FFT进行快速卷积对信号进行处理时 估计可实现实时处理的信号最高频率 解 当N 1024 210时 直接计算DFT的复数乘法运算次数为N2 1024 1024 1048576次复数加法运算次数为N N 1 1024 1023 1047552次直接计算所用计算时间TD为TD 4 10 6 10242 1047552 10 6 5 241856s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为 快速卷积时 需要计算一次N点FFT 考虑到H k DFT h n 已计算好存入内存 N次频域复数乘法和一次N点IFFT 所以 计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为 所以 每秒钟处理的采样点数 即采样速率 由采样定理知 可实时处理的信号最高频率为 应当说明 实际实现时 fmax还要小一些 这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率 而且在采用重叠相加法时 重叠部分要计算两次 重叠部分长度与h n 长度有关 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间 2 如果将通用单片机换成数字信号处理专用单片机TMS320系列 计算复数乘和复数加各需要10ns 请重复做上题 解 与第1题同理 直接计算1024点DFT所需计算时间TD为TD 10 10 9 10242 10 10 9 1047552 20 96128ms 用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为 快速卷积计算时间Tc约为 可实时处理的信号最高频率fmax为 由此可见 用DSP专用单片机可大大提高信号处理速度 所以 DSP在数字信号处理领域得到广泛应用 机器周期小于1ns的DSP产品已上市 其处理速度更高 3 已知X k 和Y k 是两个N点实序列x n 和y n 的DFT 希望从X k 和Y k 求x n 和y n 为提高运算效率 试设计用一次N点IFFT来完成的算法 解 因为x n 和y n 均为实序列 所以 X k 和Y n 为共轭对称序列 jY k 为共轭反对称序列 可令X k 和jY k 分别作为复序列F k 的共轭对称分量和共轭反对称分量 即F k X k jY k Fep k Fop k 计算一次N点IFFT得到f n IFFT F k Re f n jIm f n 由DFT的共轭对称性可知Re f n IDFT Fep k IDFT X k x n jIm f n IDFT Fop k IDFT jY k jy n 故 4 设x n 是长度为2N的有限长实序列 X k 为x n 的2N点DFT 1 试设计用一次N点FFT完成计算X k 的高效算法 2 若已知X k 试设计用一次N点IFFT实现求X k 的2N点IDFT运算 解 本题的解题思路就是DIT FFT思想 1 在时域分别抽取偶数和奇数点x n 得到两个N点实序列x1 n 和x2 n x1 n x 2n n 0 1 N 1 x2 n x 2n 1 n 0 1 N 1根据DIT FFT的思想 只要求得x1 n 和x2 n 的N点DFT 再经过简单的一级蝶形运算就可得到x n 的2N点DFT 因为x1 n 和x2 n 均为实序列 所以根据DFT的共轭对称性 可用一次N点FFT求得X1 k 和X2 k 具体方法如下 令y n x1 n jx2 n Y k DFT y n k 0 1 N 1则 2N点DFT x n X k 可由X1 k 和X2 k 得到 这样 通过一次N点IFFT计算就完成了计算2N点DFT 当然还要进行由Y k 求X1 k X2 k 和X k 的运算 运算量相对很少 2 与 1 相同 设x1 n x 2n n 0 1 N 1 x2 n x 2n 1 n 0 1 N 1 X1 k DFT x1 n k 0 1 N 1 X2 k DFT x2 n k 0 1 N 1则应满足关系式 由上式可解出 由以上分析可得出运算过程如下 由X k 计算出X1 k 和X2 k 由X1 k 和X2 k 构成N点频域序列Y k Y k X1 k jX2 k Yep k Yop k 其中 Yep k X1 k Yop k jX2 k 进行N点IFFT 得到y n IFFT Y k Re y n jIm y n n 0 1 N 1由DFT的共轭对称性知 由x1 n 和x2 n 合成x n 0 n 2N 1 在编程序实现时 只要将存放x1 n 和x2 n 的两个数组的元素分别依次放入存放x n 的数组的偶数和奇数数组元素中即可 5 分别画出16点基2DIT FFT和DIF FFT运算流图 并计算其复数乘次数 如果考虑三类碟形的乘法计算 试计算复乘次数 解 本题比较简单 仿照教材中的8点基2DIT FFT和DIF FFT运算流图很容易画出16点基2DIT FFT和DIF FFT运算流图 但画图占篇幅较大 这里省略本题解答 请读者自己完成 教材第5章习题与上机题解答 1 已知系统用下面差分方程描述 试分别画出系统的直接型 级联型和并联型结构 式中x n 和y n 分别表示系统的输入和输出信号 解 将原式移项得 将上式进行Z变换 得到 1 按照系统函数H z 根据Masson公式 画出直接型结构如题1解图 一 所示 题1解图 一 2 将H z 的分母进行因式分解 按照上式可以有两种级联型结构 画出级联型结构如题1解图 二 a 所示 画出级联型结构如题1解图 二 b 所示 题1解图 二 3 将H z 进行部分分式展开 根据上式画出并联型结构如题1解图 三 所示 题1解图 三 2 设数字滤波器的差分方程为 试画出系统的直接型结构 解 由差分方程得到滤波器的系统函数为 画出其直接型结构如题2解图所示 题2解图 3 设系统的差分方程为y n a b y n 1 aby n 2 x n 2 a b x n 1 ab式中 a 1 b 1 x n 和y n 分别表示系统的输入和输出信号 试画出系统的直接型和级联型结构 解 1 直接型结构 将差分方程进行Z变换 得到Y z a b Y z z 1 abY z z 2 X z z 2 a b X z z 1 ab 按照Masson公式画出直接型结构如题3解图 一 所示 题3解图 一 2 级联型结构 将H z 的分子和分母进行因式分解 得到 按照上式可以有两种级联型结构 画出级联型结构如题3解图 二 a 所示 画出级联型结构如题3解图 二 b 所示 题3解图 二 4 设系统的系统函数为 试画出各种可能的级联型结构 并指出哪一种最好 解 由于系统函数的分子和分母各有两个因式 因而可以有两种级联型结构 H z H1 z H2 z 画出级联型结构如题4解图 a 所示 画出级联型结构如题4解图 b 所示 第一种级联型结构最好 因为用的延时器少 题4解图 5 题5图中画出了四个系统 试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应 并求其总系统函数 解 1 h n h1 n h2 n h3 n H z H1 z H2 z H3 z 2 h n h1 n h2 n h3 n H z H1 z H2 z H3 z 3 h n h1 n h2 n h3 n H z H1 z H2 z H3 z 4 h n h1 n h2 n h3 n h4 n h5 n h1 n h2 n h1 n h3 n h4 n h5 n H z H1 z H2 z H1 z H3 z H4 z H5 z 题5图 6 题6图中画出了10种不同的流图 试分别写出它们的系统函数及差分方程 解 图 a 图 b 图 c H z a bz 1 cz 2 图 d 图 e 图 f 图 g 图 h 图 i 图 j 题6图 7 假设滤波器的单位脉冲响应为h n anu n 0 a 1求出滤波器的系统函数 并画出它的直接型结构 解 滤波器的系统函数为 系统的直接型结构如题7解图所示 题7解图 8 已知系统的单位脉冲响应为h n n 2 n 1 0 3 n 2 2 5 n 3 0 5 n 5 试写出系统的系统函数 并画出它的直接型结构 解 将h n 进行Z变换 得到它的系统函数H z 1 2z 1 0 3z 2 2 5z 3 0 5z 5画出它的直接型结构如题8解图所示 题8解图 9 已知FIR滤波器的系统函数为 试画出该滤波器的直接型结构和线性相位结构 解 画出滤波器的直接型结构 线性相位结构分别如题9解图 a b 所示 题9解图 10 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为 1 N 6 h 0 h 5 15 h 1 h 4 2 h 2 h 3 3 2 N 7 h 0 h 6 3 h 1 h 5 2 h 2 h 4 1 h 3 0 试画出它们的线性相位型结构图 并分别说明它们的幅度特性 相位特性各有什么特点 解 分别画出 1 2 的结构图如题10解图 一 二 所示 1 属第一类N为偶数的线性相位滤波器 幅度特性关于 0 2 偶对称 相位特性为线性 奇对称 2 属第二类N为奇数的线性相位滤波器