2018年中考数学一模试卷含详细解析

2018 年中考数学一模试卷含详细解析一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上1. 下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（ ） Ay=ax2+bx+c B y=x（x1）C Dy=（x1）2x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、 y=x（x1）=x2 x 是二次函数；C、 y= 不是二次函数；D、y=（x1）2x2=2x+1 为一次函数故选：B 【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键2. 在 RtABC 中， C=90 ，AC=2 ，下列结论中，正确的是（ ） AAB=2sinA B AB=2cosA CBC=2tanA DBC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案【解答】解：C=90，AC=2，cosA= = ，故 AB= ，故选项 A，B 错误；tanA= = ，则 BC=2tanA，故选项 C 正确；则选项 D 错误故选：C【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键3. 如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断 EDBC 的是（ ）B C D【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可【解答】解：A当 时，能判断 EDBC；B. 当 时，能判断 EDBC；C. 当 时，不能判断 EDBC；D. 当 时，能判断 EDBC；故选：C【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4. 已知 ，下列说法中，不正确的是（ ）A B 与 方向相同C D 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用【解答】解：A、错误应该是 5 = ；B、正确因为 ，所以 与 的方向相同；C、正确因为 ，所以 ；D、正确因为 ，所以| |=5| |；故选：A【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量零向量和任何向量平行5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是边 AD 上的一点，射线 CF和 BA 的延长线交于点 E，如果 ，那么 的值是（ ）A B C D【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，AE CD，EAF CDF， ， ， ，AFBC，EAF EBC ， = ，故选： D【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键6. 如图，已知 AB 和 CD 是O 的两条等弦OM AB ，ON CD，垂足分别为点 M、N，BA 、DC 的延长线交于点P，联结 OP下列四个说法中： ；OM=ON ； PA=PC；BPO=DPO，正确的个数是（ ）A1 B2 C 3 D4【分析】如图连接 OB、OD ，只要证明 RtOMB RtOND，Rt OPMRtOPN 即可解决问题【解答】解：如图连接 OB、OD；AB=CD， = ，故 正确OMAB ，ON CD，AM=MB ，CN=ND，BM=DN，OB=OD，RtOMBRtOND，OM=ON，故正确，OP=OP，RtOPMRt OPN，PM=PN，OPB= OPD ，故正确，AM=CN，PA=PC，故正确，故选：D【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型二填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7如果 =，那么 = 【分析】利用比例的性质由 = 得到 = ，则可设 a=2t，b=3t ，然后把 a=2t，b=3t 代入 中进行分式的运算即可【解答】解： = ， = ，设 a=2t，b=3t， = = 故答案为 【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质8已知线段 a=4 厘米， b=9 厘米，线段 c 是线段 a 和线段 b 的比例中项，线段 c 的长度等于 6 厘米【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积所以 c2=49，解得 c=6（线段是正数，负值舍去） ，c=6cm，故答案为：6【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型9化简： =4+7 【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解： = 4 +6 =4 +7 ，故答案为 ；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则10. 在直角坐标系平面内，抛物线 y=3x2+2x 在对称轴的左侧部分是下降 的（填“上升”或“下降” ）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案【解答】解：在 y=3x2+2x 中，a=30，抛物线开口向上，在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键11. 二次函数 y=（x1）23 的图象与 y 轴的交点坐标是（0，2） 【分析】求自变量为 0 时的函数值即可得到二次函数的图象与 y 轴的交点坐标【解答】解：把 x=0 代入 y=（x1）23 得 y=13= 2，所以该二次函数的图象与 y 轴的交点坐标为（0，2） ，故答案为（0，2） 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在 y 轴上的点的横坐标为 012. 将抛物线 y=2x2 平移，使顶点移动到点 P（3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 y=2（x+3）2+1 【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3 ）2+1故答案为：y=2 （x+3 ） 2+1【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式13. 在直角坐标平面内有一点 A（3，4） ，点 A 与原点 O 的连线与x 轴的正半轴夹角为 ，那么角 的余弦值是 【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解【解答】解：在直角坐标平面内有一点 A（3，4） ，OA= =5，cos = 故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握14. 如图，在 ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在边 BC、AB 上，且ADE=B ，如果 DE：AD=2：5，BD=3 ，那么 AC= ， 【分析】根据ADE=B，EAD=DAB，得出AEDABD，利用相似三角形的性质解答即可【解答】解：ADE=B，EAD=DAB，AEDABD， ，即 ，AB= ，AB=AC，AC= ，故答案为： ，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解15. 如图，某水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 AD=6 米，坝高是 20 米，背水坡 AB 的坡角为 30，迎水坡 CD 的坡度为1：2，那么坝底 BC 的长度等于（46+20 ）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线 AE、DF ，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 RtABE、RtDCF 求得线段BE、CF 的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长【解答】解：如图，作 AEBC，DFBC，垂足分别为点 E，F ，则四边形 ADFE 是矩形由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米， B=30，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 RtABE 中，B=30，BE= AE=20 米在 RtCFD 中， = ，CF=2DF=40 米，BC=BE+EF+FC=20 +6+40=46+20 （米） 所以坝底 BC 的长度等于（46+20 ）米故答案为（ 46+20 ） 【点评】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义16. 已知 RtABC 中， C=90，AC=3，BC= ，CDAB，垂足为点 D，以点 D 为圆心作D，使得点 A 在D 外，且点 B 在D内设D 的半径为 r，那么 r 的取值范围是 【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，进而得出 CD 的长，由点与圆的位置关系即可得出结论【解答】解：RtABC 中，ACB=90 ， AC=3，BC= ，AB= =4CD AB，CD= ADBD=CD2，设 AD=x，BD=4x解得 x= 点 A 在圆外，点 B 在圆内，r 的范围是 ，故答案为： 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键17. 如图，点 D 在ABC 的边 BC 上，已知点 E、点 F 分别为ABD 和ADC 的重心，如果 BC=12，那么两个三角形重心之间的距离 EF 的长等于 4 【分析】连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，点 E、F 分别是ABD 和ACD 的重心，DG= BD，DH= CD，AE=2GE，AF=2HF，BC=12，GH=DG+DH= （BD+CD ）= BC= 12=6，AE=2GE，AF=2HF，EAF= GAH，EAF GAH， = = ，EF=4，故答案为：4【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍18. 如图，ABC 中，AB=5，AC=6 ，将ABC 翻折，使得点 A 落到边 BC 上的点 A 处，折痕分别交边 AB、AC 于点 E，点 F，如果 AFAB，那么 BE= 【分析】设 BE=x，则 AE=5x=AF=AF，CF=6（5x）=1+x，依据ACFBCA，可得 = ，即 = ，进而得到 BE= 【解答】解：如图，由折叠可得，AFE=AFE，AFAB，AEF=AFE，AEF=AFE，AE=AF，由折叠可得，AF=AF，设 BE=x，则 AE=5x=AF=AF，CF=6 （5x）=1+x，AFAB，ACFBCA， = ，即 = ，解得 x= ，BE= ，故答案为： 【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19 （10 分）计算： 45【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案【解答】解：原式= = = 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 20 （10 分）已知一个二次函数的图象经过A（0，3） ，B（1，0） ，C（m，2m+3） ，D（ 1，2 ）四点，求这个函数解析式以及点 C 的坐标【分析】设一般式 y=ax2+bx+c，把 A、B、D 点的坐标代入得 ，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3 ）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把 A（0，3） ，B（1，0） ，D（1，2 ）代入得 ，解得 ，抛物线的解析式为 y=2x2+x3，把 C（ m，2m+3）代入得 2m2+m3=2m+3 ，解得 m1= ，m2=2，C 点坐标为（ ，0）或（2，7） 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解21 （10 分）如图，已知O 经过ABC 的顶点 A、B ，交边 BC 于点 D，点A 恰为 的中点，且 BD=8，AC=9，sinC=，求 O 的半径【分析】如图，连接 OA交 BC 于 H首先证明 OABC，在RtACH 中，求出 AH，设O 的半径为 r，在 RtBOH 中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA交 BC 于 H点 A 为 的中点，OABD，BH=DH=4，AHC= BHO=90，sinC= = ，AC=9 ，AH=3，设O 的半径为 r，在 RtBOH 中，BH2+OH2=OB2，42+（r3）2=r2，r= ，O 的半径为 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题22 （10 分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段 a、b、c （如图） ，求作线段 x，使 a：b=c：x他的作法如下：（1） 、以点 O 为端点画射线 OM，ON （2） 、在 OM 上依次截取 OA=a，AB=b（3） 、在 ON 上截取 OC=c（4） 、联结 AC，过点 B 作 BDAC，交 ON 于点 D所以：线段 CD 就是所求的线段 x试将结论补完整这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线） ，所得对应线段成比例 如果 OA=4，AB=5 ， ，试用向量 表示向量 【分析】根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线） ，所得对应线段成比例”可得；先证OACOBD 得 = ，即 BD= AC，从而知 = = =【解答】解：根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD ；这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线） ，所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线） ，所得对应线段成比例；OA=4、AB=5，且 BDAC，OACOBD， = ，即 = ，BD= AC， = = = 【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算23 （12 分）已知：如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 E，AD=DC，DC2=DEDB，求证：（1） BCEADE；（2） ABBC=BDBE【分析】 （1）由DAC=DCA，对顶角AED=BEC，可证BCEADE（2）根据相似三角形判定得出ADEBDA，进而得出BCEBDA，利用相似三角形的性质解答即可【解答】证明：（1）AD=DC，DAC= DCA，DC2=DEDB ， = ， CDE=BDC，CDEBDC ，DCE= DBC，DAE=EBC ，AED=BEC ，BCEADE，（2）DC2=DEDB，AD=DCAD2=DEDB，同法可得ADEBDA ，DAE=ABD= EBC，BCEADE，ADE=BCE ，BCEBDA ， = ，AB BC=BDBE【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解24 （12 分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中 a、c 为常数，且 a0）与 x 轴交于点 A，它的坐标是（3，0） ，与 y 轴交于点 B，此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4（1） 求抛物线的表达式；（2） 求CAB 的正切值；（3） 如果点 P 是抛物线上的一点，且ABP=CAO，试直接写出点 P 的坐标【分析】 （1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为 y=a（x+1 ）2+4，将点（3，0）代入求得 a 的值即可；（2） 先求得 A、B、C 的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、 AB、AC 的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明ABC=90，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3） 记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D先求得 D（1，0） ，然后再证明DBO=CAB，从而可证明 CAO=ABD，故此当点 P 与点 D 重合时，ABP=CAO；当点 P 在 AB 的上时过点 P 作 PEAO，过点 B 作BFAO，则PEBF 先证明 EPB= CAB，则 tanEPB= ，设 BE=t，则PE=3t，P（3t，3+t） ，将 P（ 3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得 t 的值，从而可得到点 P 的坐标【解答】解：（1）抛物线的对称轴为 x= =1a0，抛物线开口向下又抛物线与 x 轴有交点，C 在 x 轴的上方，抛物线的顶点坐标为（1，4） 设抛物线的解析式为 y=a（x+1 ）2+4，将点（3，0）代入得：4a+4=0，解得： a=1，抛物线的解析式为 y=x22x+3 （2） 将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=3，B （ 0，3） C （ 1，4） 、B （0，3） 、A（3，0） ，BC= ，AB=3 ，AC=2 ，BC2+AB2=AC2，ABC=90tanCAB= =（3） 如图 1 所示：记抛物线与 x 轴的另一个交点为 D点 D 与点 A 关于 x=1 对称，D（1，0） tanDBO= 又由（2）可知：tanCAB= DBO= CAB 又 OB=OA=3 ，BAO= ABOCAO= ABD当点 P 与点 D 重合时，ABP=CAO，P（1，0） 如图 2 所示：当点 P 在 AB 的上时过点 P 作 PEAO，过点 B 作BFAO，则 PEBFBFAO，BAO= FBA又CAO=ABP ，PBF= CAB 又 PEBF ，EPB=PBF，EPB=CAB tanEPB= 设 BE=t，则 PE=3t，P（3t，3+t） 将 P（3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=x22x+3 得：9t2+6t+3=3+t，解得 t=0（舍去）或 t= P（ ， ） 综上所述，点 P 的坐标为 P（1，0）或 P（ ， ） 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键25 （14 分）如图 1，BAC 的余切值为 2，AB=2 ，点 D 是线段AB 上的一动点（点 D 不与点 A、B 重合） ，以点 D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点 E、F 都在射线 AC 上，且点 F 在点 E 的右侧，联结 BG，并延长 BG，交射线 EC 于点 P（1） 点 D 在运动时，下列的线段和角中， 是始终保持不变的量（填序号） ；AF；FP；BP； BDG；GAC；BPA；（2） 设正方形的边长为 x，线段 AP 的长为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3） 如果PFG 与AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长【分析】 （1）作 BM AC 于 M，交 DG 于 N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设 BM=t，则 AM=2t，利用勾股定理得（2t ）2+t2=（2 ）2，解得t=2，即 BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，则 AE=2x，AF=3x，由于tanGAF= = ，则可判断GAF 为定值；再利用 DGAP 得到BDG=BAC，则可判断 BDG 为定值；在 RtBMP 中，利用勾股定理和三角函数可判断 PB 在变化，BPM 在变化， PF 在变化；（2） 易得四边形 DEMN 为矩形，则 NM=DE=x，证明BDGBAP，利用相似比可得到 y 与 x 的关系式；（3） 由于 AFG=PFG=90，PFG 与AFG 相似，且面积不相等，利用相似比得到 PF= x，讨论：当点 P 在点 F 点右侧时，则 AP= x，所以= x，当点 P 在点 F 点左侧时，则 AP= x，所以 = x，然后分别解方程即可得到正方形的边长【解答】解：（1）作 BMAC 于 M，交 DG 于 N，如图，在 RtABM 中， cotBAC= =2，设 BM=t，则 AM=2t，AM2+BM2=AB2，（2t）2+t2=（2 ）2，解得 t=2，BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在 RtADE 中，cotDAE= =2，AE=2x，AF=3x，在 RtGAF 中，tan GAF= = = ，GAF 为定值；DGAP ，BDG= BAC ，BDG 为定值；在 RtBMP 中，PB= ，而 PM 在变化，PB 在变化，BPM 在变化，PF 在变化，所以BDG 和GAC 是始终保持不变的量；故答案为 ；（2） 易得四边形 DEMN 为矩形，则 NM=DE=x，DGAP ，BDGBAP， = ，即 = ，y= （1 x2）（3） AFG=PFG=90，PFG 与AFG 相似，且面积不相等， = ，即 = ，PF= x，当点 P 在点 F 点右侧时， AP= x， = x，解得 x= ，当点 P 在点 F 点左侧时， AP=AFPF=3x x= x， = x，解得 x= ，综上所述，正方形的边长为 或 【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质