1.1
1．1.1 集合的含义与表示
第一课时 集合的含义
预习课本P2～3，思考并完成以下问题
(1)集合和元素的含义是什么？它们各自用什么字母表示？
(2)元素和集合之间有哪两种关系？常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？
1．元素与集合的概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．
[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于
a是集合A中的元素
a∈A
a属于集合A
不属于
a不是集合A中的元素
a∉A
a不属于集合A
[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明
(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．
(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
3．常用的数集及其记法
常用的数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
1．判断(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)你班所有的姓氏能组成集合． ( )
(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．( )
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( )
答案：(1)√ (2) (3)
2．下列元素与集合的关系判断正确的是( )
A．0∈N B．π∈Q
C.∈Q D．－1∉Z
答案：A
3．已知集合A中含有3个元素－2,4，x2－x，且6∈A，则x的值是( )
A．2 B．－2
C．3 D．3或－2
答案：D
4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．
答案：2
集合的基本概念
[例1] 考察下列每组对象，能构成一个集合的是( )
①某校高一年级成绩优秀的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2016年第31届奥运会金牌获得者．
A．③④ B．②③④
C．②③ D．②④
[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．
[答案] B
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
[活学活用]
1．给出下列说法：
①中国的所有直辖市可以构成一个集合；
②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合．
其中正确的有________．(填序号)
解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．
元素与集合的关系
答案：①③
[例2] (1)下列关系中，正确的有( )
①∈R；② ∉Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
[解析] (1)是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．
(2)由题意可得：3－x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.
[答案] (1)C (2)0,1,2
判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
[活学活用]
2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a∉B，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D ∵a∈A，a∉B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.
3．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则有：17________A；－5________A；17________B.
解析：令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.
所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－∉Z.
所以－5∉A.
令6m－1＝17得，m＝3∈Z，
所以17∈B.
答案：∈ ∉ ∈
集合中元素的特性及应用
[例3] 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
[解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.
[答案] －1
[一题多变]
1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
解：因2∈A，则a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝，或a＝－.
2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？
解：因A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得
a≠0且a≠1.
3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
解：由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，
所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．
综上可知，a＝0.
根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤
层级一 学业水平达标
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B．由1,2,3和 ，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．
2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1∉A
解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
3．下面几个命题中正确命题的个数是( )
①集合N*中最小的数是1；
②若－a∉N*，则a∈N*；
③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．
4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：选B 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.
5．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.
6．下列说法中：
①集合N与集合N＋是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的有________(填序号)．
解析：因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填∈或∉)．
解析：∵a是偶数，b是奇数，
∴a＋b是奇数，ab是偶数，
故a＋b∉A，ab∈A.
答案：∉ ∈
8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2
3.
答案：a>3
6．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．
解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．
(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．
(3)若a2－4＝－3，则a＝1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．
综上可知：a＝0或a＝1.
答案：0或1
7．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．
解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，则a＝3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．
综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.
8．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明：(1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中必还有另外两个元素，且为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．
第二课时 集合的表示
预习课本P3～5，思考并完成以下问题
(1)集合有哪两种表示方法？它们如何定义？
(2)它们的使用条件各是什么？又如何用符号表示？
1．列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
[点睛] 列举法表示集合时的4个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
[点睛] 描述法表示集合时的3个关注点
(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．
(3)不能出现未被说明的字母．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )
答案：(1) (2) (3)√
2．方程组的解集是( )
A．(－1,2) B．(1，－2)
C．{(－1,2)} D．{(1，－2)}
答案：C
3．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案：B
4．不等式4x－5<7的解集为________．
答案：{x|4x－5<7}
用列举法表示集合
[例1] 用列举法表示下列集合．
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，
故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
[活学活用]
1．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．
2．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.
(3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
解：(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3，所以B＝{－3,3}．
(3)由得
用描述法表示集合
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．
[例2] 用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
[解] (1)根据被除数＝商除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
描述法表示集合的2个步骤
[活学活用]
3．用符号“∈”或“∉”填空：
(1)A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；
(2)(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．
解析：(1)易知A＝{0,1}，故1∈A，－1∉A；
(2)将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立．
答案：(1)∈ ∉ (2)∈
4．用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
解：(1)列举法：P＝{0,2,4}．
(2)描述法：.
或列举法：{(0,0)，(2,0)}．
集合表示法的综合应用
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
[例3] (1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝( )
A．1 B．2
C．0 D．0或1
(2)设∈，则集合中所有元素之积为________．
[解析] (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)因为∈，
所以2－a－＝0，
解得：a＝－，
当a＝－时，方程x2－x＋＝0的判别式Δ＝2－4＝>0，
所以集合的所有元素的积为方程的两根之积等于.
[答案] (1)D (2)
解答此类问题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．
(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．
[活学活用]
5．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．
解：由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，因此a＝5，b＝6.
6．设集合B＝.
试判断元素1,2与集合B的关系；
用列举法表示集合B.
解：(1)当x＝1时，＝2∈N.
当x＝2时，＝∉N.所以1∈B,2∉B.
(2)∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.
∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}.
集合含义的再认识
[例4] 用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．
[解] 抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合可表示为：{(x，y)|y＝x2＋1}．
[一题多变]
1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？
解：集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，
所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数．
2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？
解：集合{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数．
识别集合含义的2个步骤
(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．
(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．
层级一 学业水平达标
1．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选D 集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.
2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
解析：选B {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.
3．已知M＝{x|x－1<}，那么( )
A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2∉M
C．2∉M，－2∉M D．2∉M，－2∈M
解析：选A 若x＝2，则x－1＝1<，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<，所以－2∈M.故选A.
4．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
解析：选D 选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．
5．方程组的解集是( )
A．(－5,4) B．(5，－4)
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
解析：选D 解方程组得故解集为{(5，－4)}，选D.
6．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.
解析：由集合相等的概念得解得a＝1.
答案：1
7．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，
所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
答案：{1,3}
8．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．
解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．
10．含有三个实数的集合A＝，若0∈A且1∈A，求a2 016＋b2 016的值．
解：由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0，故a2≠0，所以＝0，即b＝0.
又1∈A，可知a2＝1或a＝1.
当a＝1时，得a2＝1，由集合元素的互异性，知a＝1不合题意．
当a2＝1时，得a＝－1或a＝1(由集合元素的互异性，舍去)．
故a＝－1，b＝0，所以a2 016＋b2 016的值为1.
层级二 应试能力达标
1．下列命题中正确的是( )
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D．{1,2}与{2,1}是不同的集合
解析：选A {x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，所以∉{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．
2．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( )
A．x1x2∈A B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
解析：选D 集合A表示奇数集，B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．
3．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
解析：选C 集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．
4．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P*Q中元素的个数是( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
解析：选A 若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1,2,3；若a＝2，则ab＝2,4,6.故P*Q＝{0,1,2,3,4,6}，共6个元素．
5．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为________．
解析：∵x＋y＝6，x∈N，y∈N，
∴x＝6－y∈N，
∴
∴A＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．
答案：{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}
6．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若(x0，y0)∈A，(x0，y0)∈B，则(x0，y0)的值为________．
解析：由题意知，(x0，y0)∈A，(x0，y0)∈B，所以(x0，y0)是方程组的解，解得
答案：(2,5)
7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，A＝；
当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，
所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.
故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.
8．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解：①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
1．1.2 集合间的基本关系
预习课本P6～7，思考并完成以下问题
[预习导入]
(1)集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间这些关系？
(2)集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？
(3)空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？
1．子集的概念
定义
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
记法
与读法
记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)
图示
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.
(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C
[点睛] “A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.
2．集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
[点睛] (1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．
3．真子集的概念
定义
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集
记法
记作AB(或BA)
图示
结论
(1)AB且BC，则AC；
(2)A⊆B且A≠B，则AB
[点睛] 在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
4．空集的概念
定义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集
记法
∅
规定
空集是任何集合的子集，即∅⊆A
特性
(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅
(2)A≠∅，则∅A
1．判断(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )
(2)任何一个集合都有子集．( )
(3)若A＝B，则A⊆B.( )
(4)空集是任何集合的真子集．( )
答案：(1) (2)√ (3)√ (4)
2．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是( )
A．N∈M B．N∉M
C．N⊇M D．N⊆M
答案：D
3．下列四个集合中，是空集的为( )
A．{0} B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}
答案：B
4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.
答案：－1
集合间关系的判断
[例1] 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}．
(2)A＝{x|－12m－1，即m<－5.
当B≠∅时，
即m∈∅.
故实数m的取值范围是{m|m<－5}．
2．[变条件]本例若将集合A，B分别改为A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}，其他条件不变，求实数m的值．
解：因为A⊆B，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，B＝{－1,3,1}，A＝{3,1}满足A⊆B.
由集合间的关系求参数的2种方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
层级一 学业水平达标
1．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于( )
A．2 B．－1
C．2或－1 D．4
解析：选C ∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.
2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )
A．0⊆A B．{0}∈A
C．∅∈A D．{0}⊆A
解析：选D 集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，∅⊆A，D正确．
3．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A⊆B B．C⊆B
C．D⊆C D．A⊆D
解析：选B 由已知x是正方形，则x必是矩形，所以C⊆B，故选B.
4．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
解析：选D 由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1.
5．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.
6．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是____________________．
解析：{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．
答案：{(1,2)}，{(－3,4)}
7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.
答案：BA
8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x2.
(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.
10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，求a的值．
解：∵BA，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
(1)当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.
经检验，满足题意．
(2)当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．
综上所述，a＝－1或a＝2为所求．
层级二 应试能力达标
1．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于( )
A．0 B．1
C．2 D．－1
解析：选C 由A＝B，得x＝0或y＝0.
当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|03}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
解：∵B⊆A，
∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种．
①当B≠∅时，
∵B⊆A，∴或成立，
解得a>3；
②当B＝∅时，由a>2a－1，得a<1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．
8．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1－2时，
B＝{x|m－1
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