抛物线及其标准方程.ppt

喷泉 拱桥 与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的点的轨迹 直线l不经过点F 当0 e 1时 点的轨迹是 当e 1时 点的轨迹是 我们把这个定义叫做椭圆和双曲线的第二定义 那么当e 1时 点的轨迹又是什么呢 椭圆 双曲线 复习提问 抛物线 抛物线的焦点 抛物线的准线 一 抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线 不经过点F M 1 建 建立直角坐标系 3 列 根据条件列出等式 4 代 代入坐标与数据 5 化 化简方程 2 设 设点 x y 回顾求曲线方程一般步骤 6 证 检验 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F不在定直线l上 点F叫做抛物线的焦点 直线l叫做抛物线的准线 一 抛物线的定义 想一想 定义中当直线l经过定点F 则点M的轨迹是什么 一条经过点F且垂直于l的直线 想一想 求抛物线方程时该如何建立直角坐标系 二 抛物线的标准方程 如图所示 以经过点F且垂直于l的直线为x轴 x轴与直线l交于点K 与抛物线交于点O 则O是线段KF的中点 以O为原点 建立直角坐标系 y O K 设点M x y 是抛物线上任意一点 点M到l的距离为d MN 想一想 p的几何意义 求抛物线的方程 为什么 由抛物线的定义 化简后得 抛物线的标准方程为 它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上 坐标是 准线方程是 注意 抛物线标准方程表示的是顶点在原点 对称轴为坐标轴的抛物线 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 想一想 怎样推导出其它几种形式的方程 y o x y2 2px p 0 x2 2py p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 P的意义 抛物线的焦点到准线的距离 方程的特点 1 左边是二次式 2 右边是一次式 决定了焦点的位置 四 四种抛物线的对比 想一想 如何判断上表中抛物线四种标准方程与图象的对应关系 第一 一次项变量决定对称轴 第二 一次项系数的正负决定了开口方向 说明 当对称轴和开口方向确定好之后 抛物线图象就随之确定 根据图象可以很容易判断焦点坐标和准线方程 整个判断过程体现出从数到形 再由形到数的数形结合思想 例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的方程是y 6x2 求它的焦点坐标和准线方程 3 已知抛物线的焦点坐标是F 0 2 求它的标准方程 112 1 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 解 y2 12x 解 y2 x 小结 强化提高 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 焦点到准线的距离是2 关键 理解p的几何意义 熟记标准方程四种形式 解 焦点到准线的距离为2 p 2又 焦点的位置不确定 该抛物线标准方程有四种形式y2 2px x2 2py此抛物线的标准方程有四种情况 y2 4x x2 4y 题后反思 用待定系数法求抛物线标准方程应先确定抛物线的形式 再求p值 无法确定焦点位置 注意分类讨论 2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 x2 y 3 x2 8y 0 5 0 x 5 y 2 0 2 感悟 求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程 例2一种卫星接收天线的轴截面如图 1 所示 卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线 经反射聚集到焦点处 已知接受天线的口径 直径 为4 8m 深度为0 5m 试建立适当的坐标系 求抛物线的标准方程和焦点坐标 0 5m 4 8m 解 如上图 在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系 使接收天线的顶点 即抛物线的顶点 与原点重合 即 所以 所求抛物线的标准方程是 焦点的坐标是 4 8m 0 5m 四 课堂小结 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 一个定义 两类问题 三项注意 四种形式 求抛物线标准方程 已知方程求焦点坐标和准线方程 定义的前提条件 直线l不经过点F p的几何意义 焦点到准线的距离 标准方程表示的是顶点在原点 对称轴为坐标轴的抛物线 抛物线的标准方程有四种 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 课外拓展 1 为什么说二次函数y ax2 a 0 的图像是抛物线 你能指出它的焦点坐标和准线方程 小结 所以不论a 0 还是a 0 都有 小结 例3 求过点A 3 2 的抛物线的标准方程 解 当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时 把A 3 2 代入x2 2py 得p 当焦点在x轴的负半轴上时 把A 3 2 代入y2 2px 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 例4 M是抛物线y2 2px P 0 上一点 若点M的横坐标为X0 则点M到焦点的距离是 例4 点M与点F 4 0 的距离比它到直线l x 5 0的距离小1 求点M的轨迹方程 例题讲解 解 由已知条件可知 点M与点F的距离等于它到直线x 4 0的距离 根据抛物线的定义 点M的轨迹是以点F 4 0 为焦点的抛物线 p 2 4 p 8 又因为焦点在轴的正半轴 所以点M的轨迹方程为y2 16x 小结 变式训练 1 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 焦点是 0 3 2 准线是 2 求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 1 y 8x2 2 x2 8y 0 x2 12y y2 2x 焦点 准线 焦点 准线 感悟 求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程 感悟 用待定系数法求抛物线标准方程应先确定抛物线的形式 再求p值 强化提高 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 焦点到准线的距离是2 2 焦点在直线3x 4y 12 0上 关键 理解p的几何意义 熟记标准方程四种形式 关键 标准方程表示的是顶点在原点 对称轴为坐标轴的抛物线 解 焦点到准线的距离为2 p 2又 焦点的位置不确定 该抛物线标准方程有四种形式y2 2px x2 2py此抛物线的标准方程有四种情况 y2 4x x2 4y 解 标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴上 又 抛物线的焦点在直线3x 4y 12 0上 焦点就是直线与坐标轴的交点 直线3x 4y 12 0与x轴的交点是 4 0 与y轴的交点是 0 3 焦点坐标为 4 0 或 0 3 当焦点为 4 0 时标准方程为y2 16x 当焦点为 0 3 时标准方程为x2 12y 综上 抛物线标准方程为y2 16x或x2 12y 例2 已知抛物线经过点 4 2 求它的标准方程 解 若抛物线焦点在x轴上 设它的标准方程为y2 2mx 由于点 4 2 在抛物线上 故有 2 2 2m 4 解得m 1 故此时所求标准方程为y2 x 若抛物线的焦点在y轴上 设它的标准方程为x2 my 由于点 4 2 在抛物线上 故有 4 2 m 2 解得m 故此时所求标准方程为x2 8y 综上所述 满足题意的抛物线的标准方程为y2 x或x2 8y 例题讲解 小结