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第二章 2-1 试 证明图 P2-1 中周期性信号可以展开为 （图略） 0 4( 1 ) () c o s ( 2 1 ) 21 n n st n t n 证明：因为 ()() stst 所以 000 0 22 ( ) cos cos cos 2 kkk kkk kt kt s t ccc k t T 1 0 1 () 0 0 stdt c 11 11 22 1 1 11 2 2 4 ()c o s ( )c o s c o s s i n 2 k k c s t k tdt k tdt k tdt k 0, 2 4 (1 ) 2 1 (2 1) n kn kn n 所以 0 4( 1 ) () c o s ( 2 1 ) 21 n n st n t n 2-2 设一个信 号 () st 可以表示成 () 2c o s ( 2 ) st t t 试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：功率信号。 2 2 2 () c o s ( 2 ) sin ( 1) sin ( 1) 2(1 ) (1 ) jf t jj sf t e d t ff ee ff 2 1 ()l i m Pf s 22 22 222 2 2 2 sin ( 1) si n ( 1) sin ( 1) s in ( 1) lim 2 cos 2 4 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ffff fff f 由公式 2 2 sin lim ( ) t xt x tx 和 sin lim ( ) t xt x x 有 () ( 1 ) ( 1 ) 44 1 ( 1 ) ( 1 ) 4 Pf f f ff 或者 00 1 () ( ) ( ) 4 Pf f f f f 2-3 设有一信 号如下： 2exp( ) 0 () 00 tt xt t 试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解： 22 0 () 4 2 t xt dx e dt 是能量信号。 2 (1 2 ) 0 () () 2 2 12 jf t jft Sf xte d t ed t jf 2 22 24 () 12 14 Gf jff 2-4 试问下列 函数中哪一些满足功率谱密度的性质： （1 ） 2 ()c o s2 f f （2 ） () afa （3 ） exp( ) af 解： 功率谱 密度 () Pf 满足条件： () Pfd f 为有限值 （3 ）满足功 率谱密度条件， （1 ）和 （2 ）不满足 。 2-5 试求出 () c o s st A t 的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。 解：该信号是功率信号，自相关函数为 2 2 2 2 1 () l i m c o s c o s( ) cos 2 T T T RAtt T A 2 1 (0) 2 PR A 2-6 设信号 () st 的傅里叶变换为 ()s i n Sf f f ， 试求此信号的自相关函数 () s R 。 解： 2 2 2 22 () () sin 1,11 jf s jf R Pfe d f f ed f f 2-7 已知一信 号 () st 的自相关函数为 () 2 k s k R e ， k 为常数 （1 ）试求其 功率谱密度 () s Pf 和功率P ； （2 ）试画出 () s R 和 () s Pf 的曲线。 解： （1 ） 2 0 (2) (2) 0 2 22 2 () () 22 4 jf ss kjf kjf Pf R e d kk eded k kf 2 22 2 4 2 k Pd f kf k （2 ）略 2-8 已知一信 号 () st 的自相关函数是以 2 为周期的周期函数： () 1 R ， 11 试求功率谱密度 () s Pf ，并画出其曲线。 解： () R 的傅立叶变换为， （画图略） 2 2 2 2 1 2 22 1 2 1 () 1s i n (1 ) 2 sin T jf T jf Re d T f ed f cf 2 0 2 2 () s i n ( ) sin ( ) sin ( ) 2 Pf c f f n f n cff T n cff 2-9 已知一信 号 () st 的双边功率谱密度为 42 10 , 10 10 () 0 fk H zfk H z Pf 其他 试求其平均功率。 解： 4 4 10 42 10 8 () 10 2 10 3 PP f d f f df
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