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第篇 高考专题讲练 方法篇角度一特值(例)排除法 特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点,选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等,针对各选项进行代入对照,结合排除法,从而得到正确的答案.(1)使用前提:满足当一般性结论成立时,对符合条件的特殊化情况也一定成立;(2)使用技巧:找到满足条件的合适的特殊化例子,或举反例排除,有时甚至需要两次或以上的特殊化例子才可以确定结论;(3)常见问题:求范围、比较大小、求值或取值范围、恒成立问题、任意性问题等.而对于函数图像的判别、不等式、空间线面位置关系等不宜直接求解的问题,常通过排除法解决.示例解法关键2018全国卷 图F1-1来自古希腊数学家希波图F1-1克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3不妨设三角形ABC为等腰直角三角形,过A作AO垂直BC于O,则区域,的面积相等.答案选A2017全国卷 函数y=sin2x1-cosx的部分图像大致为()图F1-2取特殊值x=1,x=,结合函数的奇偶性进行排除,答案选C2017全国卷 已知0,2,tan=2,则cos-4=.取角终边上特殊点(1,2)利用定义代入计算,答案:310102017全国卷 函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3当x=4时,f(x-2)=f(2)b0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+1bb2alog2(a+b)B.b2alog2(a+b)a+1bC.a+1blog2(a+b)b2aD.log2(a+b)a+1bb|b|,则下列不等式一定成立的是()A.a3b3B.a2b2C.1a1bD.log12|a|1.若存在x1,x2R,且x1x2,使f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围为()A.a2B.3a5C.a2或3ab0)的离心率为32,过椭圆上一点M作直线MA,MB分别交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1k2的值为.角度二验证法验证法是把选择支代入题干中进行检验,或反过来从题干中找合适的验证条件,代入各选择支中进行检验,从而可否定错误选择支而得到正确选择支的一种方法.(1)使用前提:选项中存在唯一正确的选择支.(2)使用技巧:可以结合特例法、排除法等先否定一些明显错误的选项,再选择直觉认为最有可能的选项进行验证,这样可以快速获取答案.(3)常见问题:题干信息不全,选项是数值或范围,正面求解或计算繁琐的问题等.示例解法关键2018全国卷 已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为,最大值为3B.f(x)的最小正周期为,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2,最大值为4当sinx=0,cosx=1时,函数值为4,所以A,C错;把x+代入函数验证可得f(x+)=f(x),说明D错,故选B2018全国卷 下列函数中,其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)函数y=lnx的图像过定点(1,0),而(1,0)关于直线x=1的对称点还是(1,0),将(1,0)代入各选项,验证可知只有B满足,故选B2017全国卷 设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)选取四个选项的差异值m=3,m=4代入验证,答案选A2014全国卷 若tan0,则()A.sin0B.cos0C.sin20D.cos20令=240逐个验证选项,答案选C2014全国卷 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数取特殊函数f(x)=x,g(x)=x2进行验证排除,答案选C测题1.函数f(x)=xex+lgx-10的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.已知函数f(x)=sinx+6(其中0)的图像的一条对称轴方程为x=12,则的最小值为()A.2B.4C.10D.163.已知定义域为I的偶函数f(x)在(0,+)上单调递增,且x0I,f(x0)0,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,3)C.(-1,2)D.(-2,1)角度三估算法由于选择题提供了唯一正确的答案,解答又不需提供过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得答案.这样往往可以减少运算量,加强思维的层次.估算省去了很多推导过程和复杂的计算,节省了时间,从而显得快捷.(1)使用前提:针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值法结合起来使用.(2)使用技巧:对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等,对于几何体问题,常进行分割、拼凑、位置估算.(3)常见问题:求几何体的表面积、体积,三角函数的求值,求双曲线、椭圆的离心率,求参数的范围等.示例解法关键2018全国卷 设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.543等边三角形ABC的面积为93,显然球心不是此三角形的中心,所以三棱锥体积最大时,三棱锥的高h(4,8),所以13934V三棱锥D-ABC13938,即123V三棱锥D-ABCbcB.bacC.cbaD.caba=log2e1,b=ln2=1log2e(0,1),c=log1213=log23log2e,据此可得cab,故选D2017全国卷 函数f(x)=15sinx+3+cosx-6的最大值为()A.65B.1C.35D.15当x=6时,f(x)=65大于1,故选A2017全国卷 若a1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(2,+)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2)用a表示离心率e的表达式,根据a1,估算e的取值范围,答案选C测题1.某班设计了一个八边形的班徽(如图F3-1),它由腰长为1,顶角为的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为()图F3-1A.2sin-2cos+2B.sin-3cos+3C.3sin-3cos+1D.2sin-cos+12.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支上的一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,则PF1F2的内切圆圆心的横坐标为()A.aB.bC.a2+b2D.a+b-a2+b23.sin1,sin2,sin3的大小关系为()A.sin1sin2sin3B.sin2sin1sin3C.sin3sin2sin1D.sin2sin3sin14.若04,sin+cos=a,sin+cos=b,则()A.abC.ab2角度四构造法构造法是一种创造性的解题方法,它很好地体现了数学中的发散、类比、转化思想.利用已知条件和结论的特殊性构造函数、数列、方程或几何图形等,从而简化推理与计算过程,使较复杂或不易求解的数学问题得到简捷解答.构造法来源于对基础知识和基本方法的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比,从曾经类似的问题中找到构造的灵感.(1)使用前提:构造的函数、方程、图形等要合理,不能超越原题的条件限制.(2)使用技巧:对于不等式、方程、函数问题常构造新函数,对于不规则的几何体常构造成规则的几何体处理.(3)常见问题:比较大小、函数导数问题、不规则的几何体问题等.示例解法关键2018全国卷 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22在长方体ABCD-A1B1C1D1的面ABB1A1一侧再补添一个完全一样的长方体ABC2D2-A1B1B2A2,求AB2D1中D1AB2的余弦值即可,答案选C2016全国卷,是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)构造正方体,将正方体中的有关棱与面看作问题中的有关直线与平面,逐一判断,答案:2016全国卷 若ab0,0c1,则()A.logaclogbcB.logcalogcbC.accb构造函数y=logcx,y=cx和y=xc,利用函数的单调性可解决,答案选B2015全国卷 设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)根据题意构造新函数g(x)=f(x)x,对g(x)求导再解,答案选A2015全国卷 设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.由an+1=Sn+1-Sn,将原等式变形,再构造等差数列1Sn求解,答案:-1n测题1.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S5=7,S10=21,则S15=()A.35B.42C.49D.632.已知ab0,则下列不等式中成立的是()A.1a1bB.log2alog2bC.13ab-123.在我国古代数学名著九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图F4-1,在鳖臑ABCD中,AB平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()图F4-1A.12B.-12C.32D.-324.设函数f(x)的导数为f(x),且对任意xR都有f(x)f(x)成立,则()A.3f(ln2)2f(ln3)B.3f(ln2)=2f(ln3)C.3f(ln2)b2与log12|a|log12|b|都不成立,可排除选项B,D;a=1,b=-2时,1a1b不成立,可排除选项C.故选A.2.A解析 易知f(x)=ln1-x1+x+sin x的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln1+x1-x+sin(-x)=-ln1-x1+x-sin x=-f(x),即函数f(x)是奇函数,图像关于原点对称,故排除选项C,D;又f12=ln13+sin12=sin12-ln 31,f(-1)=f(1)=-1,故a=0符合题意,排除B,D选项.当a=4时,若x1,则f(x)3,若x1,则f(x)2,显然存在x11,x21,满足f(x1)=f(x2),故a=4符合题意,排除A选项.故选C.5.-14解析 不妨设M为椭圆的上顶点(0,b),A(-a,0),B(a,0)分别为椭圆的左、右顶点,显然满足题意,所以k1k2=-baba=-a2-c2a2=-1+e2=-14.角度二1.B解析f(x)=xex+lg x-10在(0,+)上单调递增,且f(1)0,函数f(x)=xex+lg x-10的零点所在的区间为(1,2),故选B.2.B解析 若=2,当x=12时,有f12=sin212+6=32,不符合题意;若=4,当x=12时,有f12=sin412+6=1,符合题意.所以的最小值为4.3.C解析 函数f(x)=x2-|x|的图像关于y轴对称,但在0,12上单调递减,在12,+上单调递增,不满足题意;函数f(x)=2x-2-x的图像关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,不满足题意;函数f(x)=x-43=13x40,即函数f(x)的值域为(0,+),不满足题意.故选C.4.D解析 若a=1,则f(a2)+f(a-2)=f(1)+f(-1)=0,不满足f(a2)+f(a-2)0,所以排除选项B,C;若a=-2,则f(a2)+f(a-2)=f(4)+f(-4)=0,也不满足f(a2)+f(a-2)0,所以排除A选项.故选D.角度三1.A解析 当顶角2或时,八边形的班徽趋近于边长为2的正方形,面积趋近于4.四个选项中,只有A符合,故选A.2.A解析 如图,当点P沿双曲线无限接近右顶点时,PF1F2的内切圆越来越小,直至“点圆”,此“点圆”应为双曲线的右顶点,则内切圆圆心的横坐标为a,故选A.3.B解析 因为sin 1=sin(-1),22sin(-1),即sin 2sin 1;因为223sin 3;因为sin 1=sin(-1),2-13sin 3,即sin 1sin 3.综上所述,sin 2sin 1sin 3.4.A解析 若0,则sin +cos =a1;若4,则sin +cos =b2.结合选项分析选A.角度四1.B解析 构造新数列.在等差数列an中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=214,解得S15=42.2.C解析 构造函数.因为ab0,所以1alog2b;因为y=x-12在(0,+)上为减函数,所以a-12b-12.故A,B,D中的不等式均不成立.因为y=13x为减函数,所以13af(x)成立,所以g(x)0,即g(x)在R上单调递增.又ln 2ln 3,所以g(ln 2)g(ln 3),即f(ln2)eln2f(ln3)eln3,即f(ln2)2f(ln3)3,所以3f(ln 2)2f(ln 3).故选C.5.1解析 由余弦定理及题设得cos B=a2+c2-b22ac=3ac2ac=32,又0B,B=6,则A+C=56,3cos A+cos C=3cos A+cos56-A=sinA+3,0A56,当A=6时,3cos A+cos C取得最大值1.
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